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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2005. Resumen. Optimización:. Problemas primal y dual. Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor.

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universidad complutense de madrid d epartamento de fundamentos del an lisis econ mico i

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:

Tema 3

Rafael Salas

octubre de 2005

resumen
Resumen...

Optimización:

Problemas primal y dual

Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor

C. de demanda ordinaria

C. de demanda compensada

F. indirecta de utilidad y F. de gasto

el problema primal
El problema primal
  • El consumidor maximiza la utilidad

U(x)

U satisface los axiomas (1) a (6)

  • Sujeto a la restricción de factibilidad

xR+n

El conjunto de consumo posible es el ortante no negativo.

  • y a la restricción presupuestaria n

S pixi≤Y

i=1

La renta Y>0 es exógena

el problema primal4

Contornos de la función objetivo

incremento

preferencias

El problema primal
  • El consumidor maximiza su utilidad...

x2

  • Sujeto al conj. presupuestario
  • Define el problema primal
  • Solución al problema primal

Max U(x) sujeto a

n

Spixi £ Y

i=1

Conjunto

presupuestario

  • x*
  • Existe una forma equivalente de verlo (más adelante)

x1

el problema primal5

R

n

+

+

El problema primal

Multiplicador

Lagrange

  • maximizamos la función objetivo s. a la restricción presupuestaria
  • Maximiza

n

Y  Spi xi

i=1

n

+ m[ Y – Spi xi ]

i=1

U(x)

  • ...construimos el Lagrangiano
  • Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0
  • Si tenemos una solución interior x*
  • ... y c.r.a m
  • Un sistema de n+1 condiciones de primer orden de tangencia:
  • * denota valores maximizadores de utilidad

ü

ý

þ

U1(x) = mp1

U2(x) = mp2

… … …

Un(x) = mpn

**

**

**

*

una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

Interpretación

n

Y = Spi xi

i=1

Restricción presup.

condiciones de primer orden cpo
Condiciones de primer orden CPO
  • si ambos bienes i y j son positivos...

Ui(x*) pi

——— = —

Uj(x*) pj

  • RMS = precios relativos
  • Si consumo de bien i fuera cero entonces...

Ui(x*) pi

——— £ —

Uj(x*) pj

Solución

  • RMS £ precios relativos
la soluci n
La solución...
  • Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo de cada bien maximizador de utilidad...

xi* = xid(p, Y)

  • que se conoce como la función de demanda ordinaria o marshalliana del bien i
  • ...y para el multiplicador de Lagrange

m* = m*(p, Y)

  • ...y para el valor máximo de utilidad, que se conoce como la función indirecta de utilidad :

V(p, Y) := max U(x) = U(x*)

{S pixi Y}

teorema existencia de funciones de demanda
Teorema: Existencia de funciones de demanda

Teorema:Si U(x) es continua, monótona estricta, estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, y si la renta y los precios son estrictamente positivos, las funciones de demanda xi* = xid(p, Y) están bien definidas, son continuas y diferenciables para todo xi* estrictamente positivo.

Demostración: Se basa en el teorema de la función implícita: el sistema de n+1 ecuaciones de las CPO interiores tienen una solución, contínua y diferenciable, si el jacobiano es no singular. Si U(x) es estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, el jacobiano es no singular, para los precios estrictamente positivos.Detalles

Nota: Este teorema hace referencia a la cualificación técnica de precios estrictamente positivos. Esto asegura que estamos en la región donde la estricta cuasiconcavidad implica que el jacobiano del sistema sea no singular. Si quisieramos ser más generales y analizar situaciones con precios no negativos, deberíamos imponer la propiedad del jacobiano no singular en la función de utilidad, que es una condición sutilmente más restrictiva que la estricta cuasiconcavidad

el problema dual

x2

Reducción del gasto

x1

Contornos de la f. objetivo

El problema dual
  • Existe una forma alternativamente de verlo
  • el consumidor podría minimizar el gasto...

u

Conjunto presupuest.

  • Sujeto a la restricción de utildad constante
  • Define el problema dual
  • Solución al problema dual

Min

n

Spixi

i=1

sujeto a U(x) u

x*

una conexi n clara

x2

x2

u

  • x*

x*

x1

x1

Una conexión clara
  • Compara el problema primal...
  • ...con el problema dual
  • Los dos son equivalentes

Bajo unas condiciones

el primal y el dual
El primal y el dual…
  • Tienen una simetría interesante
  • En ambos casos p está dado y determinan x*. La restricción del primal coincide con la f. objetivo del dual…y viceversa

n

Spixi+ l[u– U(x)]

i=1

n

U(x) + m[ Y – Spi xi ]

i=1

  • Son problemas equivalentes: obtienen la misma x* si elegimos como la restricción del dual la solución del primal (u=U(x*)) y viceversa
el problema dual12
El problema dual
  • minimizamos la función objetivo s. a la restricción
  • Minimiza

n

Spi xi

i=1

  • ...construimos el Lagrangiano

+ l[u– U(x)]

u U(x)

  • Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0.
  • ... Y c.r.a l
  • Si tenemos una solución interior:
  • * denota valores minimizadores del gasto
  • Un sistema de n+1 ecuaciones

**

**

**

*

lU1 (x) = p1

lU2 (x) = p2

… … …

lUn (x) = pn

Una para cada bien.

Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “”

ü

ý

þ

Restricción de utilidad

u= U(x)

mismas condiciones de primer orden
Mismas condiciones de primer orden
  • si ambos bienes i y j son positivos...

Ui(x*) pi

——— = —

Uj(x*) pj

  • RMS = precios relativos
  • Si consumo de bien i fuera cero entonces...

Ui(x*) pi

——— £ —

Uj(x*) pj

Solución

  • RMS £ precios relativos
las n 1 soluciones
Las n+1 soluciones...
  • Resolviendo las CPO del dual, se obtiene un valor de consumo de cada bien minimizador del gasto...

xi* = xic(p, u)

  • que se conoce como la función de demanda compensada o hicksiana del bien i
  • ...y para el multiplicador de Lagrange

* = *(p, u)

  • ...y para el valor del mínimo gasto, que se conoce como la función de gasto:

e(p, u) := minSpixi= Spixi*

{U(x) ³u}

pr ctica
Práctica:

(1) Evalúa las funciones de demanda y funciones indirectas de utilidad de:

    • U=a log(x1) + b log(x2) a, b > 0 Cobb-Douglas SOL
    • U=a1 log(x1- g1) + a2 log(x2- g2) SOLa1, a2 > 0;g1, g2 ≥ 0; x1 > g1, x2 > g2

Sistema lineal de gasto (Stone-Geary). Stone, Economic Journal, 1954

  • (2) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:
      • U=x1 x2 SOL
      • U=min(x1, x2) SOL
      • U=x10,5 + x20,5

.

pr ctica16
Práctica:
  • (3) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:
      • U=x1 + x2 ,   1 SOL
      • U=log x1+x2 SOL
      • U=x1+x20,5
      • U=x1-1/x2
      • U=-e-x-e-y

.

universidad complutense de madrid d epartamento de fundamentos del an lisis econ mico i17

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:

Tema 3

Rafael Salas

octubre de 2004