§1 － 9 含受控源的电路分析

1. §1－9 含受控源的电路分析 在电子电路中广泛使用各种晶体管、运算放大器等多端器件。这些多端器件的某些端钮的电压或电流受到另一些端钮电压或电流的控制。为了模拟多端器件各电压、电流间的这种耦合关系，需要定义一些多端电路元件(模型)。 本节介绍的受控源是一种非常有用的电路元件，常用来模拟含晶体管、运算放大器等多端器件的电子电路。从事电子、通信类专业的工作人员，应掌握含受控源的电路分析。

2. 一、受控源 受控源又称为非独立源。一般来说，一条支路的电压或电流受本支路以外的其它因素控制时统称为受控源。受控源由两条支路组成，其第一条支路是控制支路，呈开路或短路状态；第二条支路是受控支路，它是一个电压源或电流源，其电压或电流的量值受第一条支路电压或电流的控制。 受控源可以分成四种类型，分别称为电流控制的电压源(CCVS)，电压控制的电流源(VCCS)，电流控制的电流源(CCCS)和电压控制的电压源(VCVS),如下图所示。

3. 每种受控源由两个线性代数方程来描述： CCVS： r具有电阻量纲，称为转移电阻。 VCCS： g具有电导量纲，称为转移电导。 CCCS： 无量纲，称为转移电流比。 VCVS： 亦无量纲，称为转移电压比。

4. 当受控源的控制系数r、g、和为常量时，它们是时不变双口电阻元件。本书只研究线性时不变受控源，并采用菱形符号来表示受控源(不画出控制支路)，以便与独立电源相区别。当受控源的控制系数r、g、和为常量时，它们是时不变双口电阻元件。本书只研究线性时不变受控源，并采用菱形符号来表示受控源(不画出控制支路)，以便与独立电源相区别。 受控源与独立电源的特性完全不同，它们在电路中所起的作用也完全不同。

5. 独立电源是电路的输入或激励，它为电路提供按给定时间函数变化的电压和电流，从而在电路中产生电压和电流。独立电源是电路的输入或激励，它为电路提供按给定时间函数变化的电压和电流，从而在电路中产生电压和电流。 受控源则描述电路中两条支路电压和电流间的一种约束关系，它的存在可以改变电路中的电压和电流，使电路特性发生变化。

6. 图2－34 图(a)所示的晶体管在一定条件下可以用图(b)所示的模型来表示。这个模型由一个受控源和一个电阻构成，这个受控源受与电阻并联的开路的控制，控制电压是ube，受控源的控制系数是转移电导gm。

7. 图2－34 图(d)表示用图(b)的晶体管模型代替图(c)电路中的晶体管所得到的一个电路模型。

8. 二、含受控源单口网络的等效电路 在本章第一节中已指明，由若干线性二端电阻构成的电阻单口网络，就端口特性而言，可等效为一个线性二端电阻。 由线性二端电阻和线性受控源构成的电阻单口网络，就端口特性而言，也等效为一个线性二端电阻，其等效电阻值常用外加独立电源计算单口VCR方程的方法求得。现举例加以说明。

9. 图2－35 例2－22 求图2-35(a)所示单口网络的等效电阻。 解: 设想在端口外加电流源i，写出端口电压u的表达式 求得单口的等效电阻

10. 图2－35 求得单口的等效电阻 由于受控电压源的存在，使端口电压增加了u1=Ri，导致单口等效电阻增大到(+1)倍。若控制系数=－2，则单口等效电阻Ro=－R，这表明该电路可将正电阻变换为一个负电阻。

11. 图2－36 例2－23 求图2-36(a)所示单口网络的等效电阻。 解：设想在端口外加电压源u，写出端口电流i的表达式为 由此求得单口的等效电导为

12. 图2－36 由此求得单口的等效电导为 该电路将电导G增大到原值的(+1)倍或将电阻R=1/G变小到原值的1/(+1)倍，若=-2 ，则Go=-G 或Ro=-R，这表明该电路也可将一个正电阻变换为负电阻。

13. 由线性电阻和独立电源构成的单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联单口，或等效为一个线性电阻和电流源的并联单口。 由线性受控源、线性电阻和独立电源构成的单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联单口，或等效为一个线性电阻和电流源的并联单口。 同样，可用外加电源计算端口 VCR方程的方法，求得含线性受控源电阻单口网络的等效电路。

14. 图2－37 例2－24 求图2-37(a)所示单口网络的等效电路。 解：用外加电源法，求得单口VCR方程为 其中 得到

15. 图2－37 求得单口VCR方程为 或 以上两式对应的等效电路为10电阻和20V电压源的串联，如图(b)所示，或10电阻和2A电流源的并联，如图(c)所示。

16. 图2－38 三、含受控源电路的等效变换   独立电压源和电阻串联单口可以等效变换为独立电流源和电阻并联单口网络。 与此相似，一个受控电压源(仅指其受控支路，以下同)和电阻串联单口，也可等效变换为一个受控电流源和电阻并联单口，如图2-38所示。

17. 图2－39 例2－25 图2-39(a)电路中，已知转移 电阻r =3。 求单口网络的等效电阻。 解：先将受控电压源和2电阻的串 联单口等效变换为受控电流源0.5ri和2电阻的并联单口， 如图(b)所示。

18. 将2和3并联等效电阻1.2和受控电流源0.5ri并联，等效变换为1.2电阻和受控电压源0.6ri的串联，如图(c)所示。将2和3并联等效电阻1.2和受控电流源0.5ri并联，等效变换为1.2电阻和受控电压源0.6ri的串联，如图(c)所示。 由此求得 单口等效电阻为

19. 例2－26 求图2-40(a)所示单口网络的 等效电阻。 解：先将受控电流源3i1和10电阻 并联单口等效变换为受控电压 源30i1和10电阻串联单口，如 图(b)所示。由于变换时将控制 变量i1丢失，应根据原来的电路 将i1转换为端口电流i。 图2－40

20. 根据 KCL方程 求得 即 得到图(c)电路,写出单口VCR方程 单口等效电阻为

21. 四、含受控源电路的网孔方程 在列写含受控源电路的网孔方程时，可： (1) 先将受控源作为独立电源处理； (2) 然后将受控源的控制变量用网孔电流表示，再经过移项整理即可得到如式(2－25)形式的网孔方程。 下面举例说明。

22. 图2－41 例2－27 列出图2-41电路的网孔方程。 解：在写网孔方程时，先将受控电压源的电压ri3写在方程 右边： 将控制变量i3用网孔电流表示，即补充方程

23. 图2－41 代入上式，移项整理后得到以下网孔方程： 由于受控源的影响,互电阻R21=( r - R3)不再与互电阻R12=-R3相等。自电阻R22=( R2+ R3 - r)不再是网孔全部电阻R2、R3的总和。

24. 图2－42 例2－28 图2-42电路中，已知=1,=1。试求网孔电流。 解：以i1, i2和i3为网孔电流，用观察法列出网孔 1和网孔2的网孔方程分别为：

25. 图2－42 补充两个受控源控制变量与网孔电流i1和i2关系的方程： 代入=1,=1和两个补充方程到网孔方程中，移项整理后得到以下网孔方程： 解得网孔电流i1=4A, i2=1A和i3=3A。

26. 五、含受控源电路的结点方程 与建立网孔方程相似，列写含受控源电路的结点方程时，(1) 先将受控源作为独立电源处理；(2) 然后将控制变量用结点电压表示并移项整理，即可得到如式(2－30)形式的结点方程。现举例加以说明。 例如对于独立电流源、受控电流源和线性电阻构成电路的结点方程如下所示：

27. 图2－43 例2－29 列出图2-43电路的结点方程。 解：列出结点方程时，将受控电流源gu3写在方程右边： 补充控制变量u3与结点电压关系的方程

28. 图2－43 代入上式，移项整理后得到以下结点方程： 由于受控源的影响，互电导 G21 = ( g - G3) 与互电导G12 = -G3 不再相等。自电导 G22 = ( G2+ G3- g) 不再是结点②全部电导之和。

29. 图2－44 例2－30 电路如图2-44所示。已知g=2S，求结点电压和受 控电流源发出的功率。

30. 图2－44 解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量I来建立结点方程。 补充方程

31. 图2－44 代入g=2S,消去电流i，经整理得到以下结点方程： 求解可得u1=4V, u2=3V, u3=5V。受控电流源发出的功率为

32. §1－10 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律是任何集总参数电路都适用的基本定律，它包括电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律描述电路中各电流的约束关系，基尔霍夫电压定律描述电路中各电压的约束关系。 一、电路的几个名词 二、基尔霍夫电流定律 三、基尔霍夫电压定律

33. 支路：电路中每一个分支 结点：三个或三个以上支路的联结点 回路：电路中任一闭合路径 基尔霍夫定律用来描述电路中各部分电压或各部分电流间的关系,其中包括电流和电压两个定律。 名词注释：

34. 一、电路的几个名词 电路由电路元件相互连接而成。在叙述基尔霍夫定律之前，需要先介绍电路的几个名词。 (1) 支路：一个二端元件视为一条支路，其电流和电压分别称为支路电流和支路电压。下图所示电路共有6条支路。

35. (2) 结点：三条及以上支路的连接点称为结点。 图示电路中，a、b点是结点， c点不是结点，d点和e点间由理想导线相连，应视为一个结点。该电路共有3个结点。

36. (3) 回路：由支路组成的闭合路径称为回路。 图示电路中 {1,2}、{1,3,4}、{1,3,5,6}、{2,3,4}、{2,3,5,6}和{4,5,6}都是回路。

37. (4) 网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。 图示电路中的{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}回路都是网孔。

38. 网孔与平面电路的画法有关，例如将图示电路中的支路1和支路2交换位置，则三个网孔变为网孔与平面电路的画法有关，例如将图示电路中的支路1和支路2交换位置，则三个网孔变为 {1,2}、{1,3,4}和{4,5,6}。 {1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}是网孔。 注：平面电路是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。

39. b I1 I2 R2 R1 I6 a c R6 R4 R5 + I4 I5 - E4 I3 d _ + R3 E3 例 支路：ab、ad、… ... （共6条） 节点：a、 b、… ... (共4个） 回路：abda、 bcdb、 … ... （共7 个）

40. 二、基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’s Current Law),简写为KCL，它陈述为： 对于任何集总参数电路的任一结点，在任一时刻，流出该结点全部支路电流的代数和等于零，其数学表达式为 对电路某结点列写 KCL方程时，流出该结点的支路电流取正号，流入该结点的支路电流取负号。

41. I2 即：  I =0 I1 I3 I4 或： 对任何节点，在任一瞬间，流入节点的电流等于由节点流出的电流。或者说，在任一瞬间，一个节点上电流的代数和为 0。 例 电流定律的依据：电流的连续性

42. 例如下图所示电路中的 a、b、c、d 4个结点写出的 KCL方程分别为： KCL方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程，它对连接到该结点的各支路电流施加了线性约束。

43. 若已知i1=1A, i3=3A和i5=5A，则由 KCL可求得： 3A 5A 1A 5A -4A -2A 此例说明，根据KCL，可以从一些电流求出另一些电流。

44. KCL不仅适用于结点，也适用于任何假想的封闭面，即流出任一封闭面的全部支路电流的代数和等于零。例如对图示电路中虚线表示的封闭面，写出的KCL方程为

45. 电流定律的扩展 例 例 I1 R R R I2 + + + R1 E1 E2 E3 _ _ _ I3 电流定律还可以扩展到电路的任意封闭面。 I=? I=0 I1+I2=I3

47. 从以上叙述可见： KCL的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另外一些支路电流，即 集总参数电路中任一支路电流等于与其连接到同一结点(或封闭面)的其余支路电流的代数和，即 流出结点的i1取正号时，流出结点的ik取负号。

48. 图l－10 结点的 KCL方程可以视为封闭面只包围一个结点的特殊情况。根据封闭面 KCL对支路电流的约束关系可以得到：流出(或流入)封闭面的某支路电流，等于流入(或流出)该封闭面的其余支路电流的代数和。由此可以断言：当两个单独的电路只用一条导线相连接时(图l－10)，此导线中的电流必定为零。 i = 0

49. 在任一时刻，流入任一结点(或封闭面)全部支路电流的代数和等于零，意味着由全部支路电流带入结点(或封闭面)内的总电荷量为零，这说明KCL是电荷守恒定律的体现。

50. 思考与练习 l－3－l 求图 l－3－1电路中的电流i.