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Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa. Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni D’Orio E-mail: giovanni.dorio@unical.it. Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa. Introduzione ai giochi

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giochi statici o a mosse simultanee con informazione completa

Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa

Corso di Teoria dei Giochi

Laurea specialistica in Economia Applicata

Docente: Giovanni D’Orio

E-mail: giovanni.dorio@unical.it

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa
Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa
  • Introduzione ai giochi
  • Rappresentazione in forma Normale (o strategica)
  • Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate
  • Equilibrio di Nash
  • Ripasso delle funzioni concave, ottimizzazione
  • Applicazione dell’equilibrio di Nash
  • Equilibrio di Nash in strategie miste

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

agenda
Agenda
  • Che cosa è la teoria dei giochi
  • Esempi
    • Dilemma del prigioniero
    • La battaglia dei sessi
    • Matching pennies
  • Giochi statici ad informazione completa (o a mosse simultanee)
  • Rappresentazione in forma Normale o strategica

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

che cosa la teoria dei giochi
Che cosa è la teoria dei giochi?
  • Noi ci concentreremo su giochi dove:
    • Ci sono almeno due giocatori razionali
    • Ogni giocatore ha più di una scelta
    • Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori; c’è interazione strategica.
  • Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante.
    • Ogni persona paga il proprio pasto – un problema semplice di decisione
    • Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere il conto fra tutti i partecipanti – un gioco

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

che cosa la teoria dei giochi1
Che cosa è la teoria dei giochi?
  • La Teoria dei Giochi è un modo formale di analizzare l’interazione strategica tra un gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si comportano strategicamente
  • La teoria dei giochi ha applicazioni
    • Economiche
    • Politiche
    • etc.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio classico il dilemma del prigioniero

Prigioniero 2

Nega

Confessa

Nega

Prigioniero 1

Confessa

Esempio Classico: Il Dilemma del prigioniero
  • Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine rilevante. Non ci sono però prove sufficienti.
  • Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola:
    • Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un crimine minore e condannati ad un mese di carcere.
    • Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei mesi di carcere.
    • Se uno confessa ma l’altro nega, allora chi confessa sarà rilasciato ma l’altro sconterà nove mesi di carcere.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio la battaglia dei sessi

Pat

Opera

Boxe

Opera

Chris

Boxe

Esempio: La battaglia dei sessi
  • In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la serata all’opera o a un combattimento di boxe.
  • Sia Chris che Pat sanno quanto segue:
    • Entrambi vorrebbero passare la serata insieme.
    • Ma Chris preferisce l’opera.
    • Pat preferisce la boxe.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio matching pennies

Giocatore 2

Testa

Croce

Testa

Giocatore 1

Croce

Esempio: Matching pennies
  • Ognuno dei due giocatori ha una monetina.
  • I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare Testa o Croce.
  • Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole:
    • Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito (entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2 vince la moneta del giocatore 1.
    • In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore 2.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco statico o a mosse simultanee con informazione completa
Un insieme di giocatori (almeno 2)

Per ogni giocatore, un insieme di strategie/azioni

Payoffs ottenuti da ogni giocatore data la combinazione delle strategie, o preferenze per ogni giocatore sulle combinazioni delle strategie

{Giocat. 1, Giocat. 2, ... Giocat. n}

S1 S2 ... Sn

ui(s1, s2, ...sn), per ognis1S1, s2S2, ... snSn.

Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa

Un gioco statico consiste di:

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco statico o a mosse simultanee con informazione completa1
Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa
  • Mosse simultanee
    • Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere la scelta degli altri.
  • Informazione completa
    • Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori.
  • Assunzioni sui giocatori
    • Razionalità
      • I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs
      • I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori)
    • Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco statico o a mosse simultanee con informazione completa2
Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa
  • I giocatori cooperano?
    • No. Questi sono giochi non cooperativi
  • Il timing (la sequenza degli eventi)
    • Ogni giocatore i sceglie la propria strategia sisenza conoscere la scelta altrui.
    • Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio payoff ui(s1, s2, ..., sn).
    • Il gioco finisce

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione rappresentazione in forma normale o strategica
Definizione: Rappresentazione in forma normale o strategica
  • La rappresentazione in forma normale (o strategica)di un gioco G specifica:
    • Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
    • Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e
    • Le funzioni di pay-off u1 u2 ... undove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

rappresentazione in forma normale gioco a 2 giocatori
Rappresentazione in forma normale: gioco a 2 giocatori
  • Rappresentazione Bi-matriciale
    • 2 giocatori: Player 1 e Player 2
    • Ogni giocatore ha un numero finito di strategie
  • Esempio:S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio classico rappresentazione normale del dilemma del prig

Prig. 2

Giocat.

Strateg.

Nega

Confessa

Nega

Prig. 1

Confessa

Esempio Classico: Rappresentazione “normale” del Dilemma del Prig.
  • Insieme di giocatori: {Prigioniero 1, Prigioniero 2}
  • Insieme delle strategie:S1= S2= {Nega, Confessa}
  • Funzioni di Payoff :u1(N, N)=-1, u1(N, C)=-9, u1(C, N)=0, u1(C, C)=-6;u2(N, N)=-1, u2(N, C)=0, u2(C, N)=-9, u2(C, C)=-6

Payoffs

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio la battaglia dei sessi1

Pat

Opera

Boxe

Opera

Chris

Boxe

Esempio: La battaglia dei sessi
  • Rappresentazione in forma Normale:
    • Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2})
    • Insieme strategie: S1= S2 = { Opera, Boxe}
    • Funzioni di Payoff :u1(O, O)=2, u1(O, B)=0, u1(B, O)=0, u1(B, B)=1;u2(O, O)=1, u2(O, B)=0, u2(B, O)=0, u2(B, B)=2

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio matching pennies1

Player 2

Testa

Croce

Testa

Player 1

Croce

Esempio: Matching pennies
  • Rappresentazione in forma normale:
    • Insieme giocatori: {Player 1, Player 2}
    • Insieme strategie: S1= S2 = { Testa, Croce }
    • Funzioni di Payoff :u1(T, T)=-1, u1(T, C)=1, u1(C, T)=1, u1(C, C)=-1;u2(T, T)=1, u2(T, C)=-1, u2(C, T)=-1, u2(C, C)=1

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi
Esempio: Turisti e Nativi
  • Solo due bars (bar 1, bar 2) in città
  • Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $5
  • 6000 turisti scelgono un bar casualmente
  • 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore
  • Esempio 1: Entrambi fissano $2
    • Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000
  • Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5
    • Bar 1 prende 3000+4000=7,000 clienti e $28,000
    • Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio il modello di duopolio di cournot
Esempio: Il modello di duopolio di Cournot
  • Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere la quantità scelta dall’altra..
  • Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q1+q2.
  • Il costo dell’impresa i di produrre qi è Ci(qi)=cqi.

Rappresentazione in forma normale:

    • Insieme giocatori: { Firm 1, Firm 2}
    • Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
    • Funzione di Payoff : u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

ancora un esempio
Ancora un esempio
  • Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xiil numero selezionato dal giocatore i.
  • Sia y la media di questi numeri
  • Il payoff del giocatore i sia = xi – 3y/5

La rappresentazione in forma normale:

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

risolvere il dilemma del prigioniero

Prisoner 2

Giocatori

Strategie

Nega

Confessa

Nega

Prigion. 1

Confessa

Risolvere il Dilemma del Prigioniero
  • Confessare dà sempre un risultato migliore indipendentemente dalla scelta dell’altro
  • Strategia dominata
    • Esiste un’altra strategia che dà sempre risultati migliori indipendentemente dalla scelta degli altri.

Payoffs

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione strategie strettamente dominate

si” è strettamente meglio di si’

Prig. 2

Nega

Confessa

Indipend. Scelta altrui

Nega

Prig. 1

Confessa

Definizione: strategie strettamente dominate

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

riassunto
Riassunto
  • Giochi statici ad informazione completa
  • Rappresentazione normale o strategica
  • Prossimo argomento
    • Strategie dominate
    • Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
    • Equilibrio di Nash

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

ripasso veloce
Ripasso veloce
  • La forma normale di un gioco G specifica:
    • Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
    • Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e
    • Le loro funzioni di payoff u1 u2 ... undove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R.

Tutte le combinazioni delle strategie.

Una combinazione di strategie è un insieme di strategie, una per ogni giocatore

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione strategie strettamente dominate1

si” è strettamente meglio di si’

Prig. 2

Nega

Confessa

Indipend. Scelta altrui

Nega

Prig. 1

Confessa

Definizione: strategie strettamente dominate

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio
Esempio
  • Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt.
  • Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria clientela se nessuna fa pubblicità (Ad)
  • La pubblicità costa all’impresa $20 milioni
  • La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dell’altro concorrente

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco a 2 con strategie finite
Gioco a 2 con strategie finite
  • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
  • s11è strettamente dominata das12se u1(s11,s21)<u1(s12,s21) eu1(s11,s22)<u1(s12,s22).
  • s21 è strettamente dominata das22seu2(s1i,s21) < u2(s1i,s22), per i = 1, 2, 3

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione strategie debolmente dominate

si” è almeno tanto buono quanto si’

Player 2

L

R

Qualsiasi sia la scelta altrui

U

Player 1

B

Definizione: strategie debolmente dominate

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

strategie dominate in modo stretto o in modo debole
Strategie dominate in modo stretto o in modo debole
  • Un giocatore razionale non sceglie mai strategie strettamente dominate. Quindi ogni strategia strettamente dominata può essere eliminata.
  • Un giocatore razionale può scegliere una strategia debolmente dominata.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
  • Se una strategia è strettamente dominata, eliminatela
  • La dimensione e complessità del gioco risulterà ridotta
  • Eliminate ogni strategia strettamente dominata dal gioco ridotto
  • Continuate le eliminazioni finchè non ci saranno più strategie strettam. dominate

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

eliminazione iterata di strategie strettamente dominate un esempio

Player 2

Sinistra

Centro

Su

Player 1

Giù

Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate: un esempio

Player 2

Sinistra

Centro

Destra

Su

Player 1

Giù

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi1
Esempio: Turisti e Nativi
  • Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città
  • Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $5
  • 6000 turisti scelgono un bar casualmente
  • 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore
  • Esempio 1: Entrambi fissano $2
    • Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000
  • Esempio 2: Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5
    • Bar 1 attrae 3000+4000=7,000 clienti e $28,000
    • Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi2
Esempio: Turisti e Nativi

Payoffs sono in migliaia di dollari

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

ancora un esempio1
Ancora un esempio
  • Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xiil numero selezionato dal giocatore i.
  • Sia y la media di questi numeri
  • Il payoff del giocatore I sarà = xi – 3y/5

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

un esempio ulteriore
Un esempio ulteriore
  • La rappresentazione in forma normale:
    • Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n}
    • Strategie: Si=[0, 100], per i = 1, 2, ..., n.
    • Funzione di payoff:

ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5

  • Ci sono strategie dominate?
  • Quali numeri dovrebbero essere selezionati?

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

un nuovo concetto di soluzione l equilibrio di nash
Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash

La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà:

  • Il Giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R.
  • Il Giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

un nuovo concetto di soluzione l equilibrio di nash1
Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash

La combinazione di strategie (B’, R’) ha la seguente proprietà:

  • Il giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B’, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R’.
  • Il giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R’, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B’.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

equilibrio di nash l idea
Equilibrio di Nash : l’idea
  • L’equilibrio di Nash
    • Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore risposta possibile nel momento in cui gli altri giocatori stanno giocando le loro strategie di equilibrio.
    • BR to BR= Best response to a best response

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco a 2 giocatori con strategie finite
Gioco a 2 giocatori con strategie finite
  • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
  • (s11,s21)è un equilibrio di Nash se u1(s11,s21) u1(s12,s21), u1(s11,s21) u1(s13,s21) eu2(s11,s21) u2(s11,s22).

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

ricerca dell equilibrio di nash ispezione cella a cella

Player 2

Left

Middle

Up

Player 1

Down

Ricerca dell’equilibrio di Nash: ispezione cella a cella

Player 2

Left

Middle

Right

Up

Player 1

Down

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

riassunto1
Riassunto
  • Strategie dominate
  • Eliminazione iterata
  • Equilibrio di Nash
  • Prossimo argomento
    • Equilibrio di Nash
    • Funzione di risposta ottima

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

equilibrio di nash idea
Equilibrio di Nash : idea
  • Equilibrio di Nash
    • Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno giocando la loro migliore strategia o
    • Una situazione stabile nella quale nessun giocatore vuole deviare se gli altri confermano la propria posizione

(Confessa, Confessa) è un equilibro di Nash.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi3
Esempio: Turisti e Nativi

Payoffs sono in migliaia di dollari

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

ancora quell esempio
Ancora quell’esempio
  • Rappresentazione in forma normale:
    • Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n}
    • Strategie: Si=[0, 100], for i = 1, 2, ..., n.
    • Funzioni di Payoff :

ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5

  • Quale è l’equilibrio di Nash?

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

funzione di risposta ottima esempio
Funzione di risposta ottima: esempio
  • Se Player 2 sceglie L’ allora la strategia ottima di Player 1 è M’
  • Se Player 2 sceglie C’ allora la strategia ottima di Player 1 è T’
  • Se Player 2 sceglie R’ allora la strategia ottima di Player 1 è B’
  • Se Player 1 sceglie B’ allora la strategia ottima di Player 2’ è R’
  • Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore, data la strategia scelta da altri giocatori

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi4
Esempio: Turisti e Nativi
  • Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5?
  • Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5?

Payoffs in migliaia di dollari

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

gioco a 2 giocatori con strategie finite1
Gioco a 2 giocatori con strategie finite
  • S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22}
  • La strategia di Player 1 s11è la migliore risposta alla strategia di Player 2 s21se u1(s11,s21) u1(s12,s21) eu1(s11,s21) u1(s13,s21).

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l equilibrio di nash

Prisoner 2

Mum

Confess

Mum

Prisoner 1

Confess

Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash
  • In un gioco a due giocatori, ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia di player 1’ s1 è la migliore risposta alla strategia di player 2 s2, e la strategia di player 2 s2 è la migliore risposta alla strategia di player 1 s1.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l equilibrio di nash esempio
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash : esempio
  • M’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L’diPlayer 2
  • T’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C’ di Player 2
  • B’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R’di Player 2
  • L’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T’ di Player 1
  • C’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategiaM’ di Player 1
  • R’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategiaB’ di Player 1

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio turisti e nativi5
Esempio: Turisti e Nativi

I Payoffs sono in migliaia di dollari

Usate la funzione di rsposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio la battaglia dei sessi2

Pat

Opera

Prize Fight

Opera

Chris

Prize Fight

Esempio: La battaglia dei sessi
  • Opera è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Opera
  • Opera è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Opera
    • Quindi, (Opera, Opera) è un Equilibrio di Nash
  • Fight è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Fight
  • Fight è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Fight
    • Quindi, (Fight, Fight) è un Equilibrio di Nash

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

esempio matching pennies2

Player 2

Head

Tail

Head

Player 1

Tail

Esempio: Matching pennies
  • Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Tail
  • Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Tail
  • Tail è la risposta ottima di Player alla strategia di Player 2 Head
  • Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Head
    • Quindi, NON c’è equilibrio di Nash

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione funzione di risposta ottima
Definizione: funzione di risposta ottima

Date le strategie degli altri

La risposta ottima di Player i

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

definizione funzione di risposta ottima1
Definizione: funzione di risposta ottima

La risposta ottima di Player 1 alle strategie altrui è una soluzione d’ottimo di

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

utilizzo delle funzioni di risposta ottima per la definizione degli equilibri di nash
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per la definizione degli equilibri di Nash
  • Insieme di strategie, una per giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore è per lui la migliore, assunto che gli altri stanno giocando le loro strategie ottime, o
  • Una situazione stabile che nessun giocatore vuole cambiare se gli altri non cambiano

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

riassunto2
Riassunto
  • Equilibrio di Nash
  • Funzione di risposta ottima
  • Utilizzo della funzione di risposta ottima per la definizione dell’equilibrio di Nash
  • Utilizzo della funzione di risposta ottima per la determinazione dell’equilibrio di Nash
  • Prossimo argomento
    • Funzioni concave e ottimizzazione
    • Applicazioni

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

riassunto3
Riassunto
  • In un gioco a n-giocatori in forma normale, se l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate elimina tutte le strategie tranne ( s1*, s2*, ..., sn*), allora (s1*, s2*, ..., sn*) è l’unico equilibrio di Nash.
  • In un gioco a n-giocatori in forma normale, se le strategie ( s1*, s2*, ..., sn*) è un equilibrio di Nash allora esse sopravvivono all’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate. Male strategie che superano l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate non necessariamente sono equilibri di Nash.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

il modello del duopolio di cournot
Il modello del duopolio di Cournot
  • Un prodotto è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate rispettivamente da q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la propria quantità senza conoscere la scelta dell’altra.
  • Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2.
  • Il costo dell’impresa i per produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi.

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

il modello del duopolio di cournot1
Il modello del duopolio di Cournot

La rappresentazione in forma normale:

  • Insieme dei giocatori: { Impresa 1, Impresa 2}
  • Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
  • Funzioni di payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c)u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

il modello del duopolio di cournot2
Il modello del duopolio di Cournot
  • Come trovare l’equilibrio di Nash:
    • Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1
    • Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)soggetto a 0  q1  +∞e q2* risolveMaxu2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)soggetto a 0  q2  +∞

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

funzioni concave

f(x)

x

0

Funzioni concave

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

funzioni convesse

f(x)

x

0

Funzioni convesse

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

concavit e convessit
Concavità e convessità

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

concavit e convessit1
Concavità e convessità

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

massimi e minimi

f(x)

0

x’

x*

x

Massimi e minimi

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

massimo e minimo

f(x)

0

x

Massimo e minimo

f(x)

0

x

x’

x*

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

trovare il massimo di una funzione concava
Trovare il massimo di una funzione concava

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

massimo e minimo1
Massimo e minimo

f(x)

x1

0

x2

x’

x*

x

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

trovare il massimo di una funzione concava con vincoli
Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli

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trovare il massimo di una funzione concava con vincoli1
Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli

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trovare il massimo di una funzione concava con vincoli2
Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli

f(x)=-3x2+6x-4

x

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utilizzo della funzione di risposta ottima per la ricerca dell equilibrio di nash

Prig. 2

Nega

Confessa

Nega

Prig. 1

Confessa

Utilizzo della funzione di risposta ottima per la ricerca dell’equilibrio di Nash
  • In un gioco a due gioc., ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia s1 del gioc.1 è la rsipsota ottima alla strategia s2 del gioc. 2, e se la strategia s2 del giocatore 2 è la risposta ottima alla strategia s1 del giocatore 1

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il modello del duopolio di cournot3
Il modello del duopolio di Cournot
  • Come trovare l’equilibrio di Nash:
    • Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1
    • Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)soggetto a 0  q1  +∞e q2* risolveMaxu2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)soggetto a 0  q2  +∞

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il modello del duopolio di cournot4
Il modello del duopolio di Cournot
  • Ricerca dell’equilibrio di Nash
    • Risolvete Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c)s. a 0  q1  +∞FOC: a - 2q1 - q2*- c = 0 q1 = (a - q2*- c)/2

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il modello del duopolio di cournot5
Il modello del duopolio di Cournot
  • Ricerca dell’equilibrio di Nash
    • RisolveteMaxu2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c)s. a 0  q2  +∞FOC: a - 2q2 – q1* –c = 0 q2 = (a – q1* –c)/2

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il modello del duopolio di cournot6
Il modello del duopolio di Cournot
  • Ricerca dell’equilibrio di Nash
    • La coppia (q1*, q2*) è un equilibrio di Nash seq1* = (a – q2* –c)/2q2* = (a – q1* –c)/2
    • Risolvere queste due equazioni ci dà:q1* = q2* = (a –c)/3

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il modello del duopolio di cournot7
Il modello del duopolio di Cournot
  • Funzione di risposta ottima
    • La funzione di risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2 dell’impresa 2R1(q2) = (a – q2–c)/2 if q2 < a–c; 0 negli altri casi, e
    • La funzione di risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1 dell’impresa 1
    • R2(q1) = (a – q1–c)/2 if q1 < a–c; 0 negli altri casi

q2

Equilibrio di

Nash

a –c

(a –c)/2

q1

(a –c)/2

a –c

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il modello del duopolio di cournot a n imprese
Il modello del duopolio di Cournot a n imprese
  • Un prodotto è realizzato da n imprese: dall’impresa 1 all’impresa n. La quantità dell’impresa i sia qi.Ogni impresa effettua la propria scelta senza sapere ciò che fanno le altre.
  • Il prezzo di mkt. è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2+...+qn.
  • Il costo dell’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi.

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il modello del duopolio di cournot8
Il modello del duopolio di Cournot

La rappresentazione in forma normale:

  • Insieme dei giocatori: { Impresa 1, ... Impresa n}
  • Insieme delle strategie: Si=[0, +∞), per i=1, 2, ..., n
  • Funzioni di payoff: ui(q1 ,..., qn)=qi(a-(q1+q2 +...+qn)-c)for i=1, 2, ..., n

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il modello del duopolio di cournot9
Il modello del duopolio di Cournot
  • Come trovare l’equilibrio di Nash
    • Trovate le quantità (q1*, ... qn*) tali che qi* e la risposta ottima dell’impresa i alle quantità delle altre imprese.
    • Ciò significa che q1* risolve Max u1(q1, q2*, ..., qn*)=q1(a-(q1+q2* +...+qn*)-c)s. a 0  q1  +∞e q2* risolveMaxu2(q1*, q2 , q3*, ..., qn*)=q2(a-(q1*+q2+q3*+ ...+ qn*)-c)s. a 0  q2  +∞.......

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riassunto4
Riassunto
  • Equilibrio di Nash
  • Funzioni concave e massimizzazione
  • Il modello del duopolio e dell’oligopolio di Cournot
  • Prossimo argomento
    • Il modello del duopolio di Bertrand

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