Διπλωματική Εργασία:
Download
1 / 54

??????????? ???????: - PowerPoint PPT Presentation


  • 173 Views
  • Uploaded on

Διπλωματική Εργασία:. Το πρόβλημα της Εύρωστης Σταθεροποίησης Διακριτών Συστημάτων Μιας Εισόδου-Μιας Εξόδου σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης. Άρτεμις Κωσταρίγκα Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 . Περιεχόμενα:. Θεωρητική εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '??????????? ???????:' - fia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
2886683

Διπλωματική Εργασία:

Το πρόβλημα της Εύρωστης Σταθεροποίησης

Διακριτών Συστημάτων Μιας Εισόδου-Μιας Εξόδου

σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης

Άρτεμις Κωσταρίγκα

Επίβλεψη: Ν. Καραμπετάκης

ΙΟΥΝΙΟΣ 2005


2886683
Περιεχόμενα:

  • Θεωρητική εισαγωγή & Μαθηματικά Εργαλεία

  • Διατύπωση και Ανάλυση του προβλήματος

    «Πεπερασμένου Χρόνου Αποκατάστασης»

    (Finite Settling Time Problem – FST)

    Karkanias & Milonidis (1988)

  • Αριθμητικά Αποτελέσματα


2886683
A’ μέρος

Θεωρητική Εισαγωγή &

Μαθηματικά Εργαλεία


2886683

Χρήση των ακολουθιών ή των τυπικών δυναμοσειρών σαν

εργαλείο για τη μελέτη των Διακριτών συστημάτων

Kalman (1969)

Kucera (1973)

Αν οποιοδήποτε σώμα, το σύνολο των απείρων ακολουθιών:

ή


2886683

Πράξεις: τυπικών δυναμοσειρών σαν

  • Πρόσθεση

  • Συνέλιξη

  • Πολ/σμος

δακτύλιος με:

  • Μηδενικό στοιχείο:

  • Μοναδιαίο στοιχείο:

Συμφωνούμε να ταυτίζουμε με την


2886683

Ορίζουμε: τυπικών δυναμοσειρών σαν x απροσδιόριστη ακολουθία (indeterminate)

x =

Αποδεικνύεται ότι:

  • :

  • και

  • .


2886683

Συνεπώς, κάθε ακολουθία τυπικών δυναμοσειρών σαν μπορεί να γραφεί με τη μορφή τυπικών σειρών Laurent( ):

Τυπικές Δυναμοσειρές: Το σύνολο των ακολουθιών με μη αρνητική τάξη ( )

Τυπικά Πολυώνυμα: Το σύνολο των πεπερασμένων τυπικών δυναμοσειρών ( )

Ρητές ακολουθίες: O δακτύλιος των κλασμάτων των τυπικών πολυωνύμων ( )


2886683
Αναγωγή στα Διακριτά συστήματα τυπικών δυναμοσειρών σαν

  • Πεδίο

  • Απροσδιόριστη x=

  • Τυπικές σειρές Laurent


2886683
Συστήματα Διακριτού Χρόνου τυπικών δυναμοσειρών σαν

Σήματα Διακριτού Χρόνου  ορίζονται σε διακριτά χρονικά διαστήματα

 μπορούν να αναπαρασταθούν σαν ακολουθίες

  • ο διακριτός χρόνος

  • ο χώρος των εισόδων

  • ο χώρος των εξόδων

Συστήματα Διακριτού Χρόνου  διεγείρονται από ακολουθίες

& παράγουν ακολουθίες


2886683
Γραμμικότητα & Χρονική ανεξαρτησία

  • Γραμμικό διακριτό σύστημα:

  • Χρονικά Ανεξάρτητο διακριτό σύστημα:

  • ο διακριτός χρόνος

  • ο χώρος των εισόδων

  • ο χώρος των εξόδων

  • ο πίνακας κρουστικής

    απόκρισης :


2886683
Συστήματα κλειστού βρόγχου ανεξαρτησία(βρόγχος μοναδιαίας ανάδρασης)

Σήματα  διανυσματικές ακολουθίες ως προς d (απροσδιόριστη)


2886683

Πίνακες συναρτήσεων μεταφοράς συστήματος

ή

όπου

Για να είναι το σύστημαwell-formedθα πρέπει το

να είναι μη μηδενικό στοιχείο του , όπου:

ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη των



2886683

Έστω: πίνακες ,

Οι πίνακες γίνονται:

όπου:


2886683

Το σύστημα ( πίνακεςP,C) είναι σταθεροποιήσιμο

Ο είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας

Ο είναι σταθερός πολυωνυμικός πίνακας

Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες:

Γενική Σταθεροποίηση: Σχεδιασμός ελεγκτή τ.ω. ο Δ να είναι

σταθερός πολυωνυμικός πίνακας.

(Στην SISO περίπτωση θα πρέπει το Δ να είναι σταθερό πολυώνυμο)

Οποιοσδήποτε ελεγκτής ικανοποιεί το πρόβλημα γενικής

σταθεροποίησης ονομάζεται Σταθεροποιητικός Ελεγκτής

(stabilizing controller)


2886683

Youla-Bongiorno πίνακες-Kucera παραμετροποίηση

Ο σταθεροποιητικός ελεγκτής ικανοποιεί τις Διοφαντικές εξισώσεις:

όπου γνωστοί σταθεροί πολυωνυμικοί πίνακες

Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών παραμετροποιείται ως εξής:

,

Όπου R, Sείναι αυθαίρετοι πολυωνυμικοί πίνακες


2886683
Β’ μέρος πίνακες

Το πρόβλημα της Ολικής Σταθεροποίησης σε Πεπερασμένο Χρόνο Αποκατάστασης

Total Finite Settling Time Stabilization

Problem

(FSTS problem)

Karkanias & Milonidis (1988)


2886683

FST (finite settling time) πίνακεςπρόβλημα:

Όλες οι εσωτερικές και εξωτερικές μεταβλητές απαιτείται να

καταλήγουν σε μια νέα σταθερή κατάσταση μετά από πεπερασμένο

χρονικό διάστημα από την εφαρμογή μιας βηματικής συνάρτησης

σε οποιαδήποτε από τις εισόδους, ανεξαρτήτως της αρχικής

κατάστασης του συστήματος.

Λήμμα: Ένα αιτιατό διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση g(d)

παρουσιάζει FST απόδοση αν-ν η g(d)είναι πολυώνυμο ως προς d.


2886683

SISO πίνακεςπερίπτωση:

και οι συναρτήσεις μεταφοράς:


2886683

Θεώρημα: πίνακες Το FST πρόβλημα έχει λύση αν-ν

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να πούμε ότι .

Παραμετροποίηση FST σταθεροποιητικών ελεγκτών

όπου x, yσυγκεκριμένο ζεύγος λύσεων της γραμμικής Διοφαντικής εξίσωσης



2886683

«Πρώτος» ( οικογένειαςprime) FST ελεγκτής:

Υπάρχει πάντα ένας μοναδικός FST ελεγκτής με

και

FST ανίχνευση (tracking):

Η έξοδος y2ανιχνεύειτην είσοδο u1=nr/dr σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα αν-ν dr|dpdc.


2886683

Βέλτιστη και Εύρωστη οικογένειαςFST σταθεροποίηση

  • , βελτιστοποίηση

  • Σχεδιασμός εύρωστωνFST σταθεροποιητικών ελεγκτών

βέλτιστη FST σταθεροποίηση

Vidyasagar (1986) , Dahleh & Pearson (1986)

Ελαχιστοποίηση της ή της νόρμας του σφάλματος ενός

συστήματος για συγκεκριμένο χρόνο αποκατάστασης

 Ζητούμε ελάχιστο σφάλμα σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα.


2886683

Νόρμες συστημάτων Διακριτού Χρόνου

Έστω το σύνολο

η p-νόρμα του f:

O χώρος όλων των ακολουθιών για τις οποίες ορίζεται

η νόρμα ( δηλαδή ) συμβολίζεται με .


2886683

θεωρούμε Α τον χώρο των φραγμένων LTI τελεστών στο

Επαγόμενη νόρμα

στο Α:

Ένας τελεστής ονομάζεταιlP- ευσταθής , 1<p<∞ , αν-ν το είναι μια απεικόνιση από το lP στο lP και το κέρδος (gain) του τελεστή ορίζεται σαν:


2886683

Γραμμικός Προγραμματισμός διανυσματικών ακολουθιών με

Αν Α γραμμική απεικόνιση από γρ.δ.χ Χ στο γρ. δ.χ. Z

b  στοιχείο του Z

c* γραμμικό συναρτησιακό στο Χ

Στην περίπτωση πραγματικών γραμμικών διανυσματικών χώρων:


2886683

Βέλτιστο Πρόβλημα διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίησης

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, ο οποίος να ελαχιστοποιεί:

  • Την l1-νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης

  • Την l∞-νόρμα του διανύσματος του σφάλματος

Συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος:


2886683

Αν και διανυσματικών ακολουθιών με

Για βηματική είσοδο της μορφής:

το σφάλμα είναι:

Διάνυσμα σφάλματος:

Σφάλμα σταθ. κατ.:


2886683

  • Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (Ι), διανυσματικών ακολουθιών με l1-βελτιστοποίηση:

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί

  • την l1νόρμα του σφάλματος σταθερής κατάστασης

  • για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.

  • Πρόβλημα Βελτιστοποίησης (ΙΙ), l∞-βελτιστοποίηση:

  • Ζητούμε FST σταθεροποιητικό ελεγκτή, που να ελαχιστοποιεί

  • την l∞νόρμα του διανύσματος του σφάλματος

  • για δεδομένο χρόνο αποκατάστασης.


2886683

1 διανυσματικών ακολουθιών με ος Περιορισμός: 0 σταθεροποιητικός Ελεγκτής πρέπει να ικανοποιεί

τη Διοφαντική εξίσωση

Η λύση δίνεται από :

όπου

είναι οι i-οστές στήλες των πινάκων

είναι η i-οστή στήλη του μοναδιαίου πίνακα Il

2ος Περιορισμός:To διάνυσμα σφάλματος και το σφάλμα σταθερής

κατάστασης δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις

και


2886683

l διανυσματικών ακολουθιών με 1-βέλτιστη FST σταθεροποίηση

l∞-βέλτιστη FST σταθεροποίηση


2886683

Εύρωστη διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίηση

Ο σχεδιασμός FST σταθεροποιητικού ελεγκτή είναι ευαίσθητος σε

μεταβολές των παραμέτρων της ελεγχόμενης διεργασίας.

Εύρωστη FST σταθεροποίηση: Επιλογή ελεύθερης παραμέτρου R

της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών για εύρωστη

απόδοση του συστήματος

Zhao & Kimura (1986) : εύρωστος deadbeat έλεγχος

Κarcanias & Milonidis (1996) : εύρωστος FST έλεγχος


2886683

P διανυσματικών ακολουθιών με 0: ονομαστική ελεγχόμενη διεργασία, P: δυναμική ελεγχόμενη διεργασία

Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές:

  • Η ονομαστική συνάρτηση

  • μεταφοράς του κλειστού συστήματος:

  • Η διαταραγμένη συνάρτηση

    μεταφοράς του κλειστού συστήματος:

όπου

Έτσι

Δείκτης ευρωστίας:

ή


2886683

Εύρωστη διανυσματικών ακολουθιών με FST σταθεροποίηση

όπου αριστερή MFD της εισόδου και

η οικογένεια των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών.

Παρατήρηση: Ο ελεγκτής του παραπάνω προβλήματος δεν εγγυάται

ευστάθεια της διαταραγμένης συνάρτησης μεταφοράς. Για ευστάθεια

θα πρέπει:


2886683

Γ’ μέρος διανυσματικών ακολουθιών με

Αλγόριθμοι υλοποίησης &

Αριθμητικά Παραδείγματα


2886683

SISO διανυσματικών ακολουθιών με περίπτωση

Η οικογένεια των σταθεροποιητικών ελεγκτών:

Η συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος:

Ο δείκτης ευρωστίας:


2886683

FST διανυσματικών ακολουθιών με αλγόριθμος

Βήμα 1: Υπολογισμός της οικογένειας των FST σταθεροποιητικών

ελεγκτών (ncp,dcp) και παραμετροποίηση τους:

Βήμα 2: Υπολογισμός της ελεύθερης παραμέτρου tελαχιστοποιώντας

την 1-νόρμα ως προς τη συνθήκη ανίχνευσης

Βήμα 3: Αντικατάσταση του tπου υπολογίσαμε στην οικογένεια των

FST ελεγκτών για υπολογισμό του βέλτιστα εύρωστου.


2886683

Βήμα 1: διανυσματικών ακολουθιών με

  • Υπολογισμός των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών με επίλυση

  • της Διοφαντικής εξίσωσης:

Εύκολα υπολογίζεται ο «πρώτος» (prime) ελεγκτής:

με

  • Παραμετροποίηση της οικογένειας των FST ελεγκτών:


2886683

Βήμα 2: διανυσματικών ακολουθιών με

(1)

(2)

(3)

Επιπλέον συνθήκη:

  • Αντικειμενική συνάρτηση

(1)

(3)

(Α)


2886683

  • 1 διανυσματικών ακολουθιών με ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης)

(2)

(Β)

ή


2886683

  • 2 διανυσματικών ακολουθιών με ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας)

(Γ)


2886683

Για άγνωστο διάνυσμα: διανυσματικών ακολουθιών με

  • Αντικειμενική συνάρτηση

(Α)

  • 1ος περιορισμός (συνθήκη ανίχνευσης)

(Β)

  • 2ος περιορισμός (συνθήκη ανισότητας)

(Γ)


2886683

Βήμα 3: διανυσματικών ακολουθιών με

Αντικαθιστώντας το tπου υπολογίσαμε στο Βήμα 2,

υπολογίζουμε τον εύρωστο ελεγκτή από τις σχέσεις:

Ο εύρωστος FST σταθεροποιητικός ελεγκτής έχει συνάρτηση μεταφοράς:


2886683

Υλοποίηση & αποτελέσματα στο διανυσματικών ακολουθιών με MATLAB

  • [nc,dc]=prime_FSTS(np,dp)

    Η συνάρτηση επιστρέφει το «πρώτο» ζεύγος λύσεων της Διοφαντικής

    εξίσωσης np.nc+dp.dc=1, ενός συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης.

  • [opt_norm,nc,dc]=optimal_FSTS(m,np,dp,dr)

    H συνάρτηση επιστρέφει τον αριθμητή και τον παρονομαστή του FST σταθεροποιητικού ελεγκτή (nc,dc) ενός διακριτού SISO συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης, ο οποίος ελαχιστοποιεί την L_1 νόρμα του «σφάλματος σταθερής κατάστασης».

    m := ο βαθμός της ελεύθερης παραμέτρου tτης οικογένειας των FST σταθεροποιητικών ελεγκτών.


2886683

Παράδειγμα διανυσματικών ακολουθιών με

Παραβολική είσοδος:

Γιαm=3:


2886683

Απόκριση του Σφάλματος διανυσματικών ακολουθιών με

Σταθερής Κατάστασης (m=3)

Απόκριση του συστήματος

σε παραβολική είσοδο (m=3)


2886683

Βελτίωση της απόκρισης του συστήματος στην αύξηση του m (στην αύξηση του χρόνου αποκατάστασης)

Απόκριση του συστήματος σε

βηματική είσοδο για m=3,10,20

Απόκριση του Σφάλματος Σταθερής

Κατάστασης για m=3,10,20


2886683

Μεταβολή της βέλτιστης συστήματος στην αύξηση του τιμής της νόρμας ως προς το βαθμό της ελεύθερης παραμέτρου t.


2886683

Επαλήθευση της ευρωστίας του συστήματος

Εφαρμόζουμε πολλαπλασιαστικές διαταραχές:

όπου

Περιπτώσεις:

Η διαταραγμένη ελεγχόμενη διεργασία:

Συνθήκη για ευστάθεια:


2886683

α’ περίπτωση : συστήματος


2886683

β’ περίπτωση : συστήματος


2886683

γ’ περίπτωση : συστήματος


2886683

δ’ περίπτωση : συστήματος


2886683

Συμπεράσματα συστήματος

  • Για κάθε διακριτό σύστημα μπορεί να βρεθεί μια οικογένεια FST σταθεροποιητικών ελεγκτών

  • Ο βαθμός ελευθερίας (παράμετρος t) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιτευχθεί εύρωστη απόδοση του συστήματος κλειστού βρόγχου. Ο εύρωστος σχεδιασμός επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση της l1νόρμας του δείκτη ευρωστίας.

  • Ο βέλτιστος δείκτης ευρωστίας ελαττώνεται με την αύξηση του χρόνου αποκατάστασης του συστήματος. Επομένως η ευρωστία βελτιώνεται εις βάρος της χρονικής βελτιστοποίησης


ad