1 / 25

一、微分的概念

§3 － 4 微分与差分. 一、微分的概念. 实际工作中，常要计算  y = f ( x +  x ) f ( x ). 但当. f ( x ) 的表达式复杂时,  y 的计算也较复杂, 不好算. 要找  y 的近似公式. 这一近似公式应满足 (i). 好算 , (ii) 具有起码的精度.  x.  x.  x. x 0. x 0.  x. 例 1. 一正方形金属薄片受温度影响 , 其边长由 x 0 变到 x 0 +  x , 求此薄片面积改变了多少？. 解： 如图 ,. 当正方形边长为 x 时,面积 A = x 2.

ferdinand-curtis
Download Presentation

一、微分的概念

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §3－4 微分与差分 一、微分的概念 实际工作中，常要计算y=f (x+ x)f (x). 但当 f (x)的表达式复杂时, y的计算也较复杂, 不好算. 要找y的近似公式. 这一近似公式应满足(i) 好算, (ii)具有起码的精度.

  2. x x x x0 x0 x 例1.一正方形金属薄片受温度影响, 其边长由x0变到x0+x, 求此薄片面积改变了多少？ 解：如图, 当正方形边长为x时,面积A=x2. 因此,面积的改变量为

  3. 1. 定义.设y=f (x)在 x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果 y = f (x0+ x)f (x0)可表示成 y = Ax+o ( x) 其中A为只与x0有关而与x无关的常数. 则称 y=f (x)在点x0处可微. 称Ax为f (x)在x0点相应于 x的微分. 记作d y，即dy = Ax

  4. 注1.若y=f (x)在x0可微，则微分d y= Ax是x的线性函数. 另外, 当A0, x0时, y ~ dy. 这是因为 (x0) 注2.当y = f (x)在x0可微时，ydy = o(x) (x0)

  5. 2. 可微与可导的关系 定理1.y=f (x)在x0可微的充要条件是y=f (x)在x0可导. 且当y在x0可微时. dy=f '(x0)x. 由定义 证： 必要性.若y=f (x)在x0可微. y=Ax+o ( x) 从而 故 y = f (x)在x0可导. 且 即

  6. 充分性，若y=f (x)在x0可导. 故 或 由于 故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f '(x0)x. 定理1告诉我们，对于一元函数y=f (x)而言,可微与可导是等价的.

  7. 3. 若y=f (x)在(a, b)内每一点处均可微(可导),则称f (x)在(a, b)内可微.这时, 对x(a, b), 有dy=f '(x)x, 称为函数y(在x点)的微分. dy=f '(x)x是一个既与x又x与有关的量. 这里x 与x是独立变化的.

  8. 4. 记dx=x. 称为自变量x的微分. 即, 自变量x的微分就等于自变量的增量. 上述定义是合理的.

  9. 例2.设y=x，求y的微分dy=dx. 解：dy = f '(x)x=(x)' x=x 即 dx = x 由于有3、4中记号，从而dy = f '(x)dx. 同除以dx, 及 即 函数的导数就等于函数的微分与自变量的微分之比.

  10. y=f (x) y · T N P  M · Q o x0 x 5. 微分的几何意义 如图 过M作切线MT, 倾角为 给x=dx>0. 得点x0+ x, 以及点N, P, Q. 由导数的几何意义 同乘以x=dx, 得 dy=PQ.

  11. y=f (x) y · T N P  M · Q o x0 x y = NQ表示曲线y = f (x)上纵坐标的增量， dy =PQ 表示切线MT上纵坐标的增量, ydy = NP= o(x) 在PMQ中, MQ=dx, PQ=dy. 而

  12. 二、微分公式及运算法则 由于dy=f '(x)dx. 因此，微分公式及运算法则与导数公式及运算法则完全类似.如 (sinx)'=cosx.从而d(sinx)=cosxdx. 等等.

  13. 则 1. 四则运算法则：设u = u(x), v = v(x)均可微.

  14. 2. 复合函数的微分 我们知道当x为自变量时, 有dy=f '(x)d x. 若y=f (u), u不是自变量, 是否仍然有dy=f '(u)du? 设u= (x), 在x点可导, 而y=f (u)在相应的点u=(x)处可导. 求复合函数 y=f [(x)]的微分.

  15. 由于复合函数y的导数 从而, 即 可见，不论u是自变量还是中间变量, 总有 这一性质，称为一阶微分形式的 不变性.

  16. 例3.设y = sin(2x+x2), 求dy. 解：

  17. 例4.设y = e3vcos2v. 求dy. 解：不论v是否为自变量, 由一阶微分形式不变性. 有

  18. x =acos t 例5.设 , 求 y =a sin t 解：dx = d(acost) = ad(cost) = asintdt dy = d(asint) = ad(sint) = acostdt 从而

  19. 例6.填入适当的函数，使等式成立 (1) d( )= xdx (2) d( )= exdx (4) d( )= sinxdx 解：(1) 由于d(x2)=2xdx. 其中C为任意常数.

  20. (2) (3) (4)

  21. 三、高阶微分 　　设 y = f (x)有直到n阶导数. 其中x为自变量.我们知道, 当x为自变量时, dx=x, 从而dy=f '(x)dx = f '(x)x.这里 x 和 dx = x是两个独立的变量.当dx=x固定不变时, dy是x的函数, 可考虑dy的微分.

  22. 一般, 记 d2y = d(dy), 称为y的二阶微分. 当x为自变量时, 有, d2y = d(dy) =d(f '(x)dx) = (f '(x)dx)'dx = f ''(x)(dx)2 = f ''(x)dx2 其中dx2 = (dx)2 .

  23. 类似, 记d3y = d(d2y), 称为y的三阶微分. 当x为自变量时, 有, d3y = d(d2y) = ( f ''(x)dx2)'dx =f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 . 其中dx3 = (dx)3 .

  24. 一般, 记 dny = d(dn–1y), 称为y的n阶微分. 当x为自变量时, dny = f (n)(x)dxn.其中dxn = (dx)n 注1.符号 dnu 和 dun 有不同含意. 注2.对复合函数而言, 二阶以上的微分不再具有微分形式不变性.

  25. 例如.设 y = f (u), u = f ()均二阶可微. 则 dy = f '(u)du, 其中du = '(x)dx 而d2y= d(f '(u) ·du) =d(f '(u)) ·du + f '(u) ·d(du) = f ''(u)du ·du + f '(u) ·d2u. = f ''(u)du2 + f '(u)d2u. 即, 当y = f (u), u不是自变量时, d2y  f ''(u)du2.

More Related