Kovarianzanalyse

1. Kovarianzanalyse Kovarianzanalyse • Störvariablen • Veranschaulichung der Kovarianzanalyse • Quadratsummen und „modifizierte“ Quadratsummen • F-Test • Reduktion der Fehlervarianz • Voraussetzungen • Die Kovarianzanalyse in SPSS 09_ancova1

2. Kovarianzanalyse Kovarianzanalyse • Die Kovarianzanalyse ist ein Verfahren, das eine Varianzanalyse mit einer Regressionsanalyse kombiniert. • Die Kovarianzanalyse wird eingesetzt, um die Fehlervarianz einer ANOVA zu verringern und damit die Power zu erhöhen. • Dazu wird der Einfluss einer zusätzlichen Variable aus der AV einer Varianzanalyse „herauspartialisiert“. • Beispiel: Vor dem Vergleich der Gedächtnisleistung (AV) zwischen zwei Lernbedingungen (UV) wird der Einfluss des Alters (Kovariate) heraus gerechnet. 09_ancova 2

3. Störvariablen Statistische Kontrolle von Störvariablen Beispiel: Untersuchung zum Therapieerfolg • Faktor Geschlecht des Patienten (2-fach) • Faktor Therapieform (3-fach)  Es werden ungefähr 2 x 3 x 20 = 120 Vpn benötigt. • Wenn das Alter (Störvariable) als dritter Faktor (z.B. drei Stufen) berücksichtigt werden soll, braucht man schon 3 x 120 = 360 Vpn. • Weil ein solches Vorgehen wenig ökonomisch wäre, ist eine statistische Kontrolle des Alters vorzuziehen  Kovarianzanalyse 09_ancova 3

4. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse: • Ziel: Statistische Kontrolle einer (Stör-) Variablen, die möglicherweise die Daten der Untersuchung beeinflusst haben könnte: • Frage: Wie sähen die Ergebnisse aus, wenn die Kovariate in allen Gruppen gleich gewesen wäre? • (Theoretisches) Vorgehen: 1. Die Störvariable wird zusätzlich erhoben 2. Ihr Einfluss wird mit eine Kovarianzanalyse „neutralisiert“ 09_ancova 4

5. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse: • Eine Regressionsanalyse „entfernt“ die Varianz der Kovariate aus der abhängigen Variablen (AV). • Dies geschieht, indem eine Regression der AV auf die Kovariate berechnet wird. • Die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die Kovariate erklärt werden kann. • Diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben  Die nach der Regressionsanalyse verbleibende (nicht erklärbare) Varianz mit der Hilfe einer ANOVA erklärt. 09_ancova 5

6. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Regression • Residuum= nicht durch Prädiktor (x) vorhersagbarer „Rest“ des Kriteriums (y). • Varianz der Residuen (Streuung der Datenpunkte um die Regressionsgerade) = nicht vorhergesagte (erklärte) Varianz 09_ancova 6

7. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Beispiel • 20 Schüler lernen eine Programmiersprache. • UV: 5 verschiedene Lernmethoden • AV: Lernerfolg • Kovariate: mathematische Vorkenntnisse  Der Einfluss der Kovariate auf den Lernerfolg wird statistisch kontrolliert.  Der Effekt der Lehrmethode kann so auch zuverlässig bestimmt werden, wenn zufällig in einer Gruppe viele Probanden mit hohen Vorkenntnissen waren. 09_ancova 7

8. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Daten x: mathematisch-logische Fähigkeiten (Kovariate)y: Lernerfolg (AV) 09_ancova 8

9. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse 1. Schritt: Regression von y auf x 09_ancova 9

10. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse 2. Schritt: Bestimmung der Residuen Wie kann man die Residuen interpretieren?  Das Residuum gibt an wie gut eine Person im Vergleich mit anderen Personen, die die gleichen Vorkenntnisse hatten, abgeschnitten hat.  Bsp. Vp 1: Die Person schneidet für ihre Vorkenntnisse ungefähr durchschnittlich ab.  Bsp. Vp 2: Die Person hat ein deutlich negatives Residuum obwohl sie fast den gleichen Testwert hatte: Für ihre guten Vorkenntnisse hat sie ein eher schlechtes Ergebnis erreicht. 09_ancova 10

11. Veranschaulichung der Kovarianzanalyse 3. Schritt: ANOVA mit den Residuen Die ANOVA wird wie immer berechnet: • Quadratsummen (between & within) • Mittlere Quadratsummen • F-Werte • … 09_ancova 11

12. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse • Tatsächlich erfolgt die Berechnung nicht genau wie das gerade veranschaulicht wurde! • Stattdessen wird die Varianz der Kovariate wird direkt aus den Quadratsummen „entfernt“. • Das mathematische Vorgehen ist folgendes: • Quadratsummenzerlegung beider Variablen • Produktsummenzerlegung • Entfernen der Varianz der Kovariate: Berechnen der Modifizierten Quadratsummen • F-Test 09_ancova 12

13. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 1. Quadratsummen • Quadratsummenzerlegung für die AV (y) und die Kovariate (x) 09_ancova 13

14. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 1. Quadratsummen 09_ancova 14

15. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 2. Produktsummen • Die „Produktsumme“ ist die Vorstufe zur Kovarianz (daher hat die „Kovarianzanalyse“ ihren Namen) 09_ancova 15

16. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse Es gilt wie für die Quadratsummen: 09_ancova 16

17. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 09_ancova 17

18. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 3. ModifizierteQuadratsummen(adjusted Sums of Squares) • Die Varianz der Kovariate wird aus den Quadratsummen der AV eliminiert. 09_ancova 18

19. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 3. ModifizierteQuadratsummen(adjusted Sums of Squares) 09_ancova 19

20. Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse 4. F-Test und Freiheitsgrade Fkrit = 3.11 • signifikanter Effekt der Lernmethode auf den Lernerfolg • wenn gleichzeitig die mathematisch-logische Vorkenntnisse kontrolliert werden. 09_ancova 20

21. Reduktion der Fehlervarianz Hat die Kovarianzanalyse die Fehlervarianz reduziert? • Eine Reduktion der Fehlervarianz erfolgt nur, wenn Kovariate und AV korrelieren. • Es muss die Korrelation zwischen der Kovariate und der AV berechnet werden, die nicht auf die UV zurückgeführt werden kann.“  Reduktion der Fehlervarianz um nur 0.1%! 09_ancova 21

22. Voraussetzung der Kovarianzanalyse Voraussetzung der Kovarianzanalyse • Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …) • Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizientenerfüllt sein: • Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt. • Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein. • Statistische Überprüfung: siehe Bortz 09_ancova 22

23. Voraussetzung der Kovarianzanalyse Voraussetzung der Kovarianzanalyse • Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …) • Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizientenerfüllt sein: • Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt. • Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein. • Statistische Überprüfung: siehe Bortz 09_ancova 23

24. SPSS 09_ancova 24

25. SPSS Syntax: glmavby gruppe withkov. 09_ancova 25

26. SPSS F-Test für den Einfluss der UV auf die AV, bei Kontrolle der Kovariate Adjustierte Quadratsummen! 09_ancova 26

27. SPSS Vergleich: Ergebnis ohne Kovariate 09_ancova 27

28. Kovarianzanalyse Zusammenfassung • Die Kovarianzanalyse ist eine Varianzanalyse der Regressionsresiduen • Ziel: Statistische Kontrolle einer potentiellen Störvariablen. • Berechnung: • Zerlegung der Quadratsummen von Kovariate und AV • Zerlegung der Produktsummen • Berechnung der modifizierten Quadratsummen • F-Test • Ggf.: Kontrolle der Fehlervarianzreduktion 09_ancova 28