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Kovarianzanalyse. Kovarianzanalyse Störvariablen Veranschaulichung der Kovarianzanalyse Quadratsummen und „modifizierte“ Quadratsummen F -Test Reduktion der Fehlervarianz Voraussetzungen Die Kovarianzanalyse in SPSS. Kovarianzanalyse. Kovarianzanalyse

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kovarianzanalyse
Kovarianzanalyse

Kovarianzanalyse

  • Störvariablen
  • Veranschaulichung der Kovarianzanalyse
  • Quadratsummen und „modifizierte“ Quadratsummen
  • F-Test
  • Reduktion der Fehlervarianz
  • Voraussetzungen
  • Die Kovarianzanalyse in SPSS

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kovarianzanalyse1
Kovarianzanalyse

Kovarianzanalyse

  • Die Kovarianzanalyse ist ein Verfahren, das eine Varianzanalyse mit einer Regressionsanalyse kombiniert.
  • Die Kovarianzanalyse wird eingesetzt, um die Fehlervarianz einer ANOVA zu verringern und damit die Power zu erhöhen.
  • Dazu wird der Einfluss einer zusätzlichen Variable aus der AV einer Varianzanalyse „herauspartialisiert“.
  • Beispiel: Vor dem Vergleich der Gedächtnisleistung (AV) zwischen zwei Lernbedingungen (UV) wird der Einfluss des Alters (Kovariate) heraus gerechnet.

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st rvariablen
Störvariablen

Statistische Kontrolle von Störvariablen

Beispiel: Untersuchung zum Therapieerfolg

  • Faktor Geschlecht des Patienten (2-fach)
  • Faktor Therapieform (3-fach)

 Es werden ungefähr 2 x 3 x 20 = 120 Vpn benötigt.

  • Wenn das Alter (Störvariable) als dritter Faktor (z.B. drei Stufen) berücksichtigt werden soll, braucht man schon 3 x 120 = 360 Vpn.
  • Weil ein solches Vorgehen wenig ökonomisch wäre, ist eine statistische Kontrolle des Alters vorzuziehen  Kovarianzanalyse

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veranschaulichung der kovarianzanalyse
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse:

  • Ziel: Statistische Kontrolle einer (Stör-) Variablen, die möglicherweise die Daten der Untersuchung beeinflusst haben könnte:
  • Frage: Wie sähen die Ergebnisse aus, wenn die Kovariate in allen Gruppen gleich gewesen wäre?
  • (Theoretisches) Vorgehen:

1. Die Störvariable wird zusätzlich erhoben

2. Ihr Einfluss wird mit eine Kovarianzanalyse „neutralisiert“

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veranschaulichung der kovarianzanalyse1
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

Theoretisches Vorgehen bei der Kovarianzanalyse:

  • Eine Regressionsanalyse „entfernt“ die Varianz der Kovariate aus der abhängigen Variablen (AV).
  • Dies geschieht, indem eine Regression der AV auf die Kovariate berechnet wird.
  • Die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die Kovariate erklärt werden kann.
  • Diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben

 Die nach der Regressionsanalyse verbleibende (nicht erklärbare) Varianz mit der Hilfe einer ANOVA erklärt.

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veranschaulichung der kovarianzanalyse2
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

Regression

  • Residuum= nicht durch Prädiktor (x) vorhersagbarer „Rest“ des Kriteriums (y).
  • Varianz der Residuen (Streuung der Datenpunkte um die Regressionsgerade) = nicht vorhergesagte (erklärte) Varianz

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veranschaulichung der kovarianzanalyse3
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

Beispiel

  • 20 Schüler lernen eine Programmiersprache.
    • UV: 5 verschiedene Lernmethoden
    • AV: Lernerfolg
    • Kovariate: mathematische Vorkenntnisse

 Der Einfluss der Kovariate auf den Lernerfolg wird statistisch kontrolliert.

 Der Effekt der Lehrmethode kann so auch zuverlässig bestimmt werden, wenn zufällig in einer Gruppe viele Probanden mit hohen Vorkenntnissen waren.

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Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

Daten

x: mathematisch-logische Fähigkeiten (Kovariate)y: Lernerfolg (AV)

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veranschaulichung der kovarianzanalyse5
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

1. Schritt: Regression von y auf x

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veranschaulichung der kovarianzanalyse6
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

2. Schritt: Bestimmung der Residuen

Wie kann man die Residuen interpretieren?

 Das Residuum gibt an wie gut eine Person im Vergleich mit anderen Personen, die die gleichen Vorkenntnisse hatten, abgeschnitten hat.

 Bsp. Vp 1: Die Person schneidet für ihre Vorkenntnisse ungefähr durchschnittlich ab.

 Bsp. Vp 2: Die Person hat ein deutlich negatives Residuum obwohl sie fast den gleichen Testwert hatte: Für ihre guten Vorkenntnisse hat sie ein eher schlechtes Ergebnis erreicht.

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veranschaulichung der kovarianzanalyse7
Veranschaulichung der Kovarianzanalyse

3. Schritt: ANOVA mit den Residuen

Die ANOVA wird wie immer berechnet:

  • Quadratsummen (between & within)
  • Mittlere Quadratsummen
  • F-Werte

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse
  • Tatsächlich erfolgt die Berechnung nicht genau wie das gerade veranschaulicht wurde!
  • Stattdessen wird die Varianz der Kovariate wird direkt aus den Quadratsummen „entfernt“.
  • Das mathematische Vorgehen ist folgendes:
    • Quadratsummenzerlegung beider Variablen
    • Produktsummenzerlegung
    • Entfernen der Varianz der Kovariate: Berechnen der Modifizierten Quadratsummen
    • F-Test

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse1
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

1. Quadratsummen

  • Quadratsummenzerlegung für die AV (y) und die Kovariate (x)

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse3
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

2. Produktsummen

  • Die „Produktsumme“ ist die Vorstufe zur Kovarianz (daher hat die „Kovarianzanalyse“ ihren Namen)

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse4
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

Es gilt wie für die Quadratsummen:

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse6
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

3. ModifizierteQuadratsummen(adjusted Sums of Squares)

  • Die Varianz der Kovariate wird aus den Quadratsummen der AV eliminiert.

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Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

3. ModifizierteQuadratsummen(adjusted Sums of Squares)

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tats chliche berechnung der kovarianzanalyse8
Tatsächliche Berechnung der Kovarianzanalyse

4. F-Test und Freiheitsgrade

Fkrit = 3.11

  • signifikanter Effekt der Lernmethode auf den Lernerfolg
  • wenn gleichzeitig die mathematisch-logische Vorkenntnisse kontrolliert werden.

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reduktion der fehlervarianz
Reduktion der Fehlervarianz

Hat die Kovarianzanalyse die Fehlervarianz reduziert?

  • Eine Reduktion der Fehlervarianz erfolgt nur, wenn Kovariate und AV korrelieren.
  • Es muss die Korrelation zwischen der Kovariate und der AV berechnet werden, die nicht auf die UV zurückgeführt werden kann.“

 Reduktion der Fehlervarianz um nur 0.1%!

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voraussetzung der kovarianzanalyse
Voraussetzung der Kovarianzanalyse

Voraussetzung der Kovarianzanalyse

  • Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …)
  • Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizientenerfüllt sein:
    • Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt.
    • Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein.
    • Statistische Überprüfung: siehe Bortz

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voraussetzung der kovarianzanalyse1
Voraussetzung der Kovarianzanalyse

Voraussetzung der Kovarianzanalyse

  • Es gelten die normalen Voraussetzungen der ANOVA (Varianz-homogenität, Intervallskalenniveau, …)
  • Zusätzlich die Bedingung der homogenen Regressions-koeffizientenerfüllt sein:
    • Innerhalb jeder Gruppe wird eine Regressionsgerade bestimmt.
    • Der Regressionskoeffizient (b) darf sich nicht zwischen den Gruppen unterscheiden, d.h. die Koeffizienten in der Population (β) müssen gleich sein.
    • Statistische Überprüfung: siehe Bortz

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SPSS

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SPSS

Syntax:

glmavby gruppe withkov.

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SPSS

F-Test für den Einfluss der UV auf die AV, bei Kontrolle der Kovariate

Adjustierte

Quadratsummen!

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SPSS

Vergleich: Ergebnis ohne Kovariate

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Kovarianzanalyse

Zusammenfassung

  • Die Kovarianzanalyse ist eine Varianzanalyse der Regressionsresiduen
  • Ziel: Statistische Kontrolle einer potentiellen Störvariablen.
  • Berechnung:
    • Zerlegung der Quadratsummen von Kovariate und AV
    • Zerlegung der Produktsummen
    • Berechnung der modifizierten Quadratsummen
    • F-Test
    • Ggf.: Kontrolle der Fehlervarianzreduktion

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