1 / 14

方程式の求根

方程式の求根. f (x)= 0  の解. Ax 2 +Bx+C=0. 解の 公式 が 使える. Ax 5 + Bx 4 +Cx 3 +Dx 2 + Ex+F=0. 解の 公式は存在しない!. exp (x)-2x=0. 直接的な解法はない!. sin(x)- cos (x)-x=0. 方程式の数値解(限りなく真の解にちかい近似解)を求める. 方程式の解の求め方(1). y=f (x) のグラフと x 軸との交点が方程式の解. f(x). y. f(x) = 0. x. 方程式の解の求め方(2). y=f (x) のグラフと x 軸との交点が方程式の解.

fawzia
Download Presentation

方程式の求根

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 方程式の求根 • f(x)=0 の解 Ax2+Bx+C=0 解の公式が使える Ax5+Bx4+Cx3+Dx2+Ex+F=0 解の公式は存在しない! exp(x)-2x=0 直接的な解法はない! sin(x)-cos(x)-x=0 方程式の数値解(限りなく真の解にちかい近似解)を求める

  2. 方程式の解の求め方(1) • y=f(x) のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) y f(x)=0 x

  3. 方程式の解の求め方(2) • y=f(x) のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) y f(x0) f(x)=0 x x0 適当な初期値「x0」を定める

  4. 方程式の解の求め方(3) • y=f(x) のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) y f(x0) f(x)=0 f(x1) x x0 x1 適当な初期値「x0」に対する方程式の値「f(x0)」が ゼロに近づくようにx の値を変更していく

  5. Newton法(1) • f(x0)における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする 傾き:f’(x0) f(x) y f(x0) f(x)=0 x x0

  6. Newton法(2) • f(x0)における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする 傾き:f’(x0) f(x) y x1=x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) f(x)=0 f(x1) x x0 x1

  7. Newton法(3) • f(x0)における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする 傾き:f’(x0) f(x) y x1=x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) x2= x1ーf(x1)/f’(x1) 傾き:f’(x1) f(x)=0 f(x1) x x2 x0 x1

  8. Newton法(4) • f(x0)における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする 傾き:f’(x0) f(x) y x1=x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) x2= x1ーf(x1)/f’(x1) 傾き:f’(x1) f(x)=0 f(x1) x x2 x0 x1 f(x)が十分ゼロに近づくまで 左式の手続きを繰り返す xn+1=xnーf(xn)/f’(xn) 注) f(x)は完全にゼロには一致しない

  9. Newton法(5) • 注意点 • 解が存在しない場合(すべての範囲でf(x)≠0)には計算を途中で打ち切る必要あり • 解が二つ以上存在する場合は、初期条件の与え方によって答えは異なる

  10. 二分法(1) • 区間[a,b]で y=f(x) が連続かつ根が一つ存在 → f(a)とf(b)は必ず異符号となる f(x) y f(b)>0 f(x)=0 x=a x=b x 根は必ず[a,b]間に存在 f(a)<0

  11. 二分法(2) • 区間[a,b]の中点c(=(a+b)/2)で f(c) を求める → 根は [a,c] あるいは [c,b] のどちらかの間に存在 f(x) y f(b)>0 f(x)=0 x=a x=b x x=c = (a+b)/2 f(a)<0

  12. 二分法(3) • f(a)とf(c)が同符号→ 根は [c,b] 間に存在 • f(a)とf(c)が異符号→ 根は [a,c] 間に存在 f(x) y f(b)>0 f(x)=0 f(c)>0 x=a x=b x x=c = (a+b)/2 f(a)<0

  13. 二分法(4) • f(a)とf(c)が異符号→ c を b に置き換えて同じ手順を繰り返す f(x) y f(x)=0 f(b)>0 x=a x=b x x=c = (a+b)/2 f(c)が十分ゼロに近づくまで 同様の手続きを繰り返す f(a)<0 注) f(x)は完全にゼロには一致しない

  14. 二分法(5) • 注意点 • 解が二つ以上存在する場合は、区間[a,b]の与え方によって答えは異なる • 区間[a,b]に解が偶数個存在するときは解を求めることはできない

More Related