管理运筹学 - 管理科学方法

1. 管理运筹学-管理科学方法 谢家平 编著 中国人民大学出版社

2. 第5 章 目标规划 学习要点 Sub title • 了解目标规划与线性规划的异同 • 理解目标约束中的正负偏差变量 • 思考目标约束与系统约束的差异 • 理解目标的优先级和目标权系数 • 了解目标规划图解法和单纯形法

3. 第一节 多目标规划问题 一、线性规划的局限性 • 线性规划的局限性 • 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题 • 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 • 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 • 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等 • 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的，LP则无能为力 • 目标规划（Goal Programming） 多目标线性规划 • 含有多个优化目标的线性规划

4. 第一节 多目标规划问题 二、多目标规划的提出 例：甲乙产品的最优生产计划。 解：线规划模型： maxZ=3x1+5x2 2x1≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 这些目标之间相互矛盾，一般的线性规划方法不能求解 maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 • 根据市场需求/合同规定： • 希望尽量扩大甲产品 • 减少乙产品产量。 • 又增加二个目标：

5. 第一节 多目标规划问题 二、多目标规划的提出 多目标线性规划模型的原始一般形式如下： n个决策变量，m个约束条件，L个目标函数。 当L=1时，即为我们熟悉的单目标线性规划模型。

6. 第一节 多目标规划问题 三、多目标规划的解法 • 加权系数法： • 为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 • 但权系数难以科学确定。 • 优先等级法： • 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。 • 有效解法： • 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 • 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。 • 目标规划法： • 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； • 引入目标的优先等级和加权系数。

7. 第二节 目标规划的数学模型 一、目标期望值 • 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 • 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 二、偏差变量 • 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 • 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； • 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 • 同一目标的dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。 目标约束 • 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)

8. 第二节 目标规划的数学模型 上例中要求： • 目标一是利润最大，拟定利润目标是30； • 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； • 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； • 对各目标引入正、负偏差变量： • 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 • x2+d2- - d2+ =4 • x1 +d3– -d3+ = 6

9. 第二节 目标规划的数学模型 三、目标达成函数 • 目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 • 若要求尽可能达到规定的目标值 正负偏差变量dk+, dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk- • 若希望尽可能不低于期望值(允许超过) 负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+：minSk=dk- • 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过 正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk-：minSk=dk+ 四、优先等级权数 • 目标重要度不同，用优先等级因子Pk表示第k等级目标。 • 优先等级因子Pk是正的常数， Pk>> Pk+1。 • 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。

10. 第二节 目标规划的数学模型 例如 • P1级目标实现利润至少30元； • P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3+) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2+d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)

11. 第二节 目标规划的数学模型 例：装配两种型号的笔记本，每台需装备时间1小时，每周工作5天，计划开动8小时/天。 预计每周销售型号I24台,利润80元/台，型号II30台,利润40元/台。该厂目标如下： • 充分利用装配线，避免开工不足 • 允许装配线加班，但加班时间尽可能短 • 尽量满足市场需求 • 每周的利润尽可能大 请合理安排工作任务 建立目标规划的模型：

12. x2 2x1 =16 6 E C 2x2 =10 D 4 B 2 3x1 +4 x2 =32 x1 0 2 4 A 10 6 第三节 目标规划的图解法 • 目标规划的图解法 • 首先，按照绝对约束画出可行域， • 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， • 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 H G F 满意解：x1=5, x2=4

13. 第四节 目标规划的单纯形法 • 目标规划与线性规划的数学模型的结构相似 • 可用前述单纯形算法求解目标规划模型： • 将优先等级Pk视为正常数(大Ｍ法 ) • 正负偏差变量dk+、dk-视为松弛变量 • 以负偏差变量dk-为初始基变量，建立初始单纯形表 • 检验数的计算与LP单纯形法相同，即j= cj - CBi Pj • 最优性判别准则类似于LP的单纯形算法： • 检验数一般是各优先等级因子的代数和 • 判断检验数的正负和大小

14. 第五节 目标规划的应用案例 一、无穷多满意解 计划生产两种产品，首先要充分利用设备工时而不加班；然后考虑利润不低于100元。问应如何制定产品A、B的产量。 • 解：设x1,x2表示A、B产品的产量。两个等级的目标： • P1：充分利用电量限额，正负偏差之和为最小 • 目标达成函数 • 目标约束条件 • P2：利润额希望不能低于100元，负偏差最小 • 目标达成函数 • 目标约束条件

15. x2 B D 4 2 x1 2 A 6 8 10 第五节 目标规划的应用案例 一、无穷多满意解 由于材料供应限量为8单位，所以有系统约束条件，如下 该问题的目标规划模型如下，图解法求解如图 G C

16. 第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 例：某音像店有5名全职售货员和4名兼职售货员，全职售货员每月工作160小时，兼职售货员每月工作80小时。根据记录，全职每小时销售CD25张，平均每小时工资15元，加班工资每小时22.5元。兼职售货员每小时销售CD10张，平均工资每小时10元，加班工资每小时10元。现在预测下月CD销售量为27500张，商店每周开门营业6天，所以可能要加班。每出售一张CD盈利1.5元。 商店经理认为，保持稳定的就业水平加上必要的加班，比不加班就业水平要好，但全职销售员如果加班过多，就会因为疲劳过度而造成效率下降，因此不允许每月加班超过100小时，建立相应的目标规划模型。

17. 第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 首先，确定目标约束的优先级。如下： P1：下月的CD销售量达到27500张； P2：全职售货员加班时间不超过100小时； P3：保持全体售货员充分就业，对全职的要比兼职的加倍优先考虑； P4：尽量减少加班时间，对两种售货员区别对待，权重由他们对利润的贡献而定。 其次，建立目标约束函数 （1）销售目标约束，设全体全职售货员下月的工作时间x1，全体兼职售货员下月的工作时间 x2；达不到销售目标的偏差d1-，超过销售目标的偏差 d1+。

18. 第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 （2）正常工作时间约束。设全体全职售货员下月的停工时间d2-，加班时间d2+；全体兼职售货员下月的停工时间d3-，加班时间d3+。 （3）加班时间的限制。设全体全职售货员下月的加班不足100小时的偏差d4-，加班超过100小时的偏差 d4+。 两类售货员区别对待，权重比d2+:d3+ =1:3，另一加班目标约束为

19. 第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 第三，按目标的优先级，写出相应的目标规划模型： 运用LINGO软件求解得 x1=900,x2=500，下月共销售CD盘27500张，获利27500×1.5-800×15-100×22.5-500×10=22000。

20. 第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 例：某公司准备生产甲、乙产品，据市场调查：甲产品的最大市场需求3台，乙产品的最大市场需求2台。 在满足现有电力资源严格供给约束的前提下，该厂长考虑两个目标：一是总利润不低于3600元；二是充分利用设备台时，但尽量少加班。问应如何制定产品甲、乙的产量，试建立其目标规划的数学模型。

21. x2 10 x1 =8 8 C x2 =6 D B 4 5x1 +5x2 =60 2 0 x1 0 2 4 6 10 12 A 第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 1. 利润期望优先 目标规划数学模型： 运用图解法进行求解 E x1 =8, x2= 3 F G

22. 生产部目标 甲产品的产量：8，成本：900 乙产品的产量：3，成本：1400 总利润：3600 单位甲：300 单位乙：400 技术部目标 甲的设备单耗25，需降低5工时 乙的设备单耗50，需降低10工时 销售部目标 甲产品的销量：8，单价：1200 乙产品的销量：3，单价：1800 第五节 目标规划的应用案例 1. 利润期望优先 • 满意解：x1 =8, x2 = 3 • 设备能力：需求：308+60 3=420，实际：360 • 实现目标P1和P2，降低甲乙产品的设备消耗:降低率(420-360)/360=17%， 甲产品的设备消耗降为30 (1-17%)=25, 乙产品的设备消耗降为60 (1-17%)=50。

23. x2 10 x1 =8 8 C x2 =6 D B 4 5x1 +5x2 =60 2 0 x1 0 2 4 6 10 12 A 第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 2. 设备工时优先 目标规划数学模型： 运用图解法进行求解 E x1 =8, x2= 2 F G

24. 生产部目标 甲产品的产量：8，成本：862.5 乙产品的产量：2 ，成本：1350 总利润：3600 单位甲：337.5 单位乙：450 技术部目标 保证设备的正常运行 甲的设备单耗30 ，乙的单耗60 销售部目标 甲产品的销量：8，单价：1200 乙产品的销量：2 ，单价：1800 第五节 目标规划的应用案例 2. 设备工时优先 • 满意解：x1 =8, x2 = 2 • 利润总额3008+4002=3200，目标：3600 • 不能提价，就必须降低成本以增加利润，利润增长率为12.5% • 甲产品的成本需要降为1200-300(1+12.5%)=862.5元/台，降低幅度4.2% 乙产品的成本需要降为1800-400(1+12.5%)=1350元/台，降低幅度3.6%