2.2 　最大值、最小值问题

2.2　最大值、最小值问题

1.理解函数最值的概念． • 2.掌握利用导数求函数最值的方法． • 3.掌握利用导数求最值的步骤.

1.求函数在[a，b]上的最值．(重点) • 2.函数的极值与最值的区别与联系．(易混点) • 3.利用函数的单调性，图象等综合考查．(难点)

1．函数极值的判定 • 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， • (1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值； • (2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值． • 2．函数y＝x2＋4x＋4在[－3,4]上的最大值为，最小值为. f′(x)＜0 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＞0 36 0

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 • 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和并且函数的最值必在或取得． • 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤 • (1)求函数y＝f(x)的； • (2)将函数y＝f(x)的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．最大值最小值极值端点处极值端点值各极值

1．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()1．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是() • A．－1、－1B．1、－17 • C．3、－17 D．9、－19 • 解析：f(x)＝3x2－3，令f(x)＝3x2－3＝0，∴x2＝1，∴x＝±1 • f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，∴最大值3.最小值－17. • 答案：C

答案：B

3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________．3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________． • 答案：－1

4．已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．4．已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

[解题过程](1)f′(x)＝－4x3＋4x， • 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 • x＝－1，x＝0，x＝1. • 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

1.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37.1.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37. • (1)求实数a的值； • (2)求f(x)在[－2,2]上的最大值． • 解析：(1)∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． • 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. • ∵f(－2)＝a－40，f(0)＝a，f(2)＝a－8， • 比较知f(x)的最小值是f(－2)， • 由已知f(－2)＝a－40＝－37， • ∴a＝3.

(2)由a＝3知f(0)＝3，f(2)＝－5 • ∴f(0)＝3是f(x)在[－2,2]上的最大值．

故m≥2时才可能有符合条件的m，n. • 当m＝2时，只有n＝3符合要求． • 当m＝3时，只有n＝5符合要求． • 当m≥4时，没有符合要求的n. • 综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．

已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． • (1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值； • (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c的取值范围．

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表：(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， • ∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54. • 要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可． • ∴c＞54. • ∴c的取值范围为(54，＋∞)．

1．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．1．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． • 2．函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．

3．如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．3．如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． • 4．可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．

(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)； • (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； • (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值．

◎已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)． • (1)求f′(x)； • (2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值．

【错因】第(2)问，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值时，误将f(x)在[－2,4]上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较，从而导致出现错误．【错因】第(2)问，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值时，误将f(x)在[－2,4]上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较，从而导致出现错误．

课时作业 练考题、验能力、轻巧夺冠

2.2 最大值、最小值问题