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Chapter 5 隨機變數 Part I

Chapter 5 隨機變數 Part I. 隨機變數. 5-1 隨機變數的定義 5-2 累積分布函數 5-3 隨機變數的分類 5-4 期望值與變異數 5-5 常用離散機率分布 5-6 常用連續機率分布 5-7 二項分布的常態近似. 5-1 隨機變數的定義. 樣本空間之樣本點可能是 數值 ，亦可能為 質的敘述 ( 質化 ) ，例如 S={ 良品、不良品 } 。

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Chapter 5 隨機變數 Part I

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Presentation Transcript

  1. Chapter 5 隨機變數 Part I

  2. 隨機變數 • 5-1 隨機變數的定義 • 5-2 累積分布函數 • 5-3 隨機變數的分類 • 5-4 期望值與變異數 • 5-5 常用離散機率分布 • 5-6 常用連續機率分布 • 5-7 二項分布的常態近似

  3. 5-1 隨機變數的定義 • 樣本空間之樣本點可能是數值，亦可能為質的敘述(質化)，例如S={良品、不良品}。 • 通常對一個試驗，所關切的不是樣本點的敘述，而是一個出象的數值意義，例如三個產品的結果，若以A代表良品，B代表不良品，則樣本空間為{AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA}。 • 故必須透過某種函數將原有樣本空間對應到不良品數{0,1,2,3}，這種函數即稱為隨機變數(random variable)。

  4. 5-1 5-1 隨機變數的定義 • 設 S 為隨機試驗的樣本空間。對於每一個樣本點 s  S 皆對應一個實數 X(s) 的函數 X，稱為隨機變數。所有隨機變數 X 可能對應數值的集合，稱為值域(range space)。以符號 Rx表示。

  5. Ex. 1 • 檢驗三種產品的結果可表成 S={AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA} 若隨機變數X代表不良品個數，則 X(AAA)=0 X(ABA)=X(BAA)=X(AAB)=1 X(ABB)=X(BAB)=X(BBA)=2 X(BBB)=3 Rx={0,1,2,3}

  6. Ex. 2 • 若原有的樣本空間S以具有所要的數值時，可取X(s)=s。例如投擲一骰子一次所得的樣本空間為S={1,2,3,4,5,6}，若只關心點數是多少，則取X(1)=1, X(2)=2, …, X(6)=6等。但若關心點數呈現奇數或偶數時，則可先以0代表奇數，1代表偶數，再定義隨機變數X X(1)=X(3)=X(5)=0 X(2)=X(4)=X(6)=1 如何利用隨機變數，從原來樣本空間引出所需要訊息

  7. 5-2 5-1 隨機變數的定義 • 設 B 為 Rx 中的一個事件，若 A = { s  S | X(s)  B } 則定義事件 B的機率 P (B) 為 P (A)。

  8. Ex. 3 • 在Ex.1中，樣本空間S裡的出象皆具有相同機率，即 P(AAA)=P(AAB)=P(ABA)=P(ABB) =P(BAA)=P(BAB)=P(BBA)=P(BBB)=1/8 Rx中事件{X=1}的機率，由定義，為 P(X=1)=P({ABA,BAA,AAB)}=3/8 而P(X=0)=P(AAA)=1/8 P(X=2)=P({ABB,BAB,BBA})=3/8 P(X=3)=P(BBB)=1/8

  9. 5-3 5-2 累積分布函數 • 為了便於描述隨機變數之機率特性，定義隨機變數之累積分布函數(Cumulative distribution function) • 設 X 為隨機變數，對於任意實數 x，函數 F (x) = P (X x) 稱為 X 的累積分布函數。常簡寫成 c. d. f。

  10. Ex. 4 • 在Ex. 3中，隨機變數X之累積分布函數為： 1 7/8 4/8 1/8 x 1 2 3

  11. 5-2 累積分布函數 • 由Ex. 4，可了解累積分布函數具備下面特性 (1) 0  F(x)  1。 (2) F 為單調非遞減函數，即若 x1 < x2，則 F (x1) F (x2)。 (3) (4)對於每一個 x，F (x) 為右邊連續(continuous to the right)。且當 x = a，函數 F 具有跳距(jump)時，P (X = a) = F (a)  F(a) > 0，其中 F (a) 為 F 在 x = a 的左極限。 又當 F 在 x = a 為連續時，P (X = a) = 0。

  12. 5-2 累積分布函數 (5)若 x1 < x2，則(a, b為單點機率)

  13. 5-3 隨機變數的分類 • 依據累積分布函數之第四個特性：若F在x=a為連續，則P(X=a)=0，若F在x=a不連續，則P(X=a)>0，可將隨機變數區分為離散(discrete random variable)與連續隨機變數(continuous random variable)兩大類。 • 機率函數 p(x) 具有下列特性 (1)對於所有實數 x，0  p (x)。 (2)。

  14. Ex. 5 • 心理學家以某種動作以檢視猴子是否有所反應，假設每次試驗猴子有反應的機率為1/3，若試驗一直進行到猴子第一次有反應為止。以S表示有反應，F表示沒有反應，則樣本空間S為：{S, FS, FFS, FFFS,…} 若令隨隨機變數為猴子第一次有反應為止的試驗次數，則可得X的機率函數如下： 其一般式為 亦可利用機率函數計算之，例如： P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(1/3+2/9)=4/9 P(2≤X≤4)=p(2)+p(3)+p(4)=2/9+4/27+8/81/=38/81

  15. Ex. 6 試問當c為何值時，下述函數 方可代表一個機率函數。 解：為使p(k)≥0，c必須為正數 又 故c=1/2

  16. 機率密度函數 • 若X為連續隨機變數，則每一數值發生機率為0。因此無法像離散隨機變數可定義一個代表機率的函數。但是可以定義一個機率密度函數(probability density function, p.d.f)，使得在曲線f下，介於任意值a、b間面積可代表機率值P(a≤X≤b}，亦即 P(a≤X≤b}

  17. 機率密度函數 因此可以得到P(X=0)=0的結論，因為 因此 由於F(x)=P(X≤x)，累積分布函數與機率密度函數的關係為： 因對 F可微分的所有x點， 又因為F(x)為一非遞減函數， 故機率密度函數特性：

  18. Ex. 7 若函數 解：(1) 若f為一機率密度函數，則

  19. Ex. 7 (2) 當0≤x≤3時，

  20. Ex. 8 若隨機變數之累積分布函數為 • 試求X的機率密度函數 • 試求P(X>3)

  21. Ex. 8 answer 解： f(x) x

  22. Ex. 9 已知電唱機唱針壽命X的機率密度函數為： • 試問唱針至少可使用150小時的機率為何？ • 若已知唱針已使用150小時，試問唱針在200小時內損壞的機率是多少？(條件機率)

  23. Ex. 9 answer

  24. 5-5 5-4 期望值與變異數 • 機率函數、機率密度函數、及累積分布函數可說包含隨機變數所有特性。但在許多情況下，只需要幾個適切數值已表示其特性就夠了。最常使用的兩個數值即為機率分布的期望值與變異數。 • 設 X 為一離散隨機變數，其可能值為x1, x2,……，則稱 為 X 的期望值(expectation, expected value)或平均數(mean)。

  25. 5-4 期望值與變異數 設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x)，則稱 為 X 的期望值。通常 E (X) 也以符號 表示。

  26. Ex. 10 投擲一公正骰子，設隨機變數X代表出現點數，則 p(1)=p(2)=…=p(6)=1/6 因此 E(X)=11/6+21/6+…61/6=3.5 此處E(X)=3.5並不是X的可能值，而期待表示當試驗重複很多次後，所得到的點數x1, x2, …,xn之平均值。

  27. Ex. 11 剛滿44歲的李先生，向某壽險公司購買一年期金額為25,000元保單，而李先生在其初時需付保費100元給壽險公司，由生命表中可查知一個44歲的人可生存至45歲的機率為0.99681。若設隨機變數X為壽險公司在此次交易中的利潤。則S={100,-24900} p(100)=0.99681，p(-24900)=0.00319 因此 E(X)=(100)(0.99681)+(-24900)(0.00319) = 20.25 注意：μ=20.25元並不是壽險公司在此次交易的利潤，而是表示當一群年紀與身體狀況與李先生一般的人投保時，壽險公司在這些交易上平均每張保單上可獲得20.25元利益。

  28. Ex. 12 設隨機變數X為某種電子零件的壽命(以小時計算)，其機率密度函數為： 經常當在已知隨機變數X的機率分布時，卻希望預測到另一個隨機變數g(X)的期望值。例如：若X代表某公司產品每個月的銷售量，而Y=g(X)為銷售量函數，表示每個月利潤，因此常需計算隨機變數g(X)之期望值。

  29. 5-1 5-4 期望值與變異數 • 若 X 為一離散隨機變數，其機率函數為 p(x)，則對於任意函數 g(X)， • 若 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x)，則對於任意函數 g(x)，

  30. Ex. 13 設隨機變數X的機率函數為 解：

  31. Ex. 14 設隨機變數X的機率密度函數為 解：

  32. 5-2 5-6 5-4 期望值與變異數 • 設 X 為隨機變數，a、b 為實數，則 (1) E (aX + b) = aE(X) + b (2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X)) • 設隨機變數 X 的期望值為 ，則 稱為 X 的變異數。變異數也可用 2，V(X)表示。

  33. 定理5-3

  34. Ex. 15 設X為某產品每天銷售量，其機率函數為 試求V(X) 及標準差σ 解： E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7

  35. Ex. 16 設隨機變數X的機率密度函數為 解：

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