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数値相対論と重力波

数値相対論と重力波. 国立天文台理論研究部 関口　雄一郎. 目次. §1. Introduction 一般相対性理論の重要性 §2. 数値相対論 primer §3. 重力崩壊からの重力波 様々な重力波源 §4. 連星中性子星合体からの重力波 状態方程式を制限する §5. 数値相対論の現状と展望. § １． Introduction. 重力波　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒ 質量エネルギーの時間変化に伴う重力場の変動 重力場の源となる物質場のダイナミクスに依存

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数値相対論と重力波

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  1. 数値相対論と重力波 国立天文台理論研究部 関口　雄一郎

  2. 目次 • §1. Introduction • 一般相対性理論の重要性 • §2. 数値相対論 primer • §3. 重力崩壊からの重力波 • 様々な重力波源 • §4. 連星中性子星合体からの重力波 • 状態方程式を制限する • §5. 数値相対論の現状と展望

  3. §１．Introduction • 重力波　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒ 質量エネルギーの時間変化に伴う重力場の変動 • 重力場の源となる物質場のダイナミクスに依存 • 重力場の非線形性が重要となる現象では、Newton理論と一般相対性理論で大きな違い • ⇒ 一般相対性理論を考慮に入れた計算が必要 • ⇒ 数値相対論 • 一般相対論的効果が物質場のダイナミクスに及ぼす影響に注目

  4. 一般相対論の重要性① • ポリトロープ状態方程式での平衡天体の安定性 • Newton 理論では で安定 • 一般相対論では • 中性子星 では でも不安定 • 一般相対論的(強)重力の効果

  5. 一般相対性理論の重要性② • 微視的物理過程と一般相対性理論 • 高密度物質の物理(強い相互作用、未知の部分が大きい)のダイナミクスへの影響 • ニュートリノに関する物理(弱い相互作用、全てを考慮するのが困難)のダイナミクスへの影響 • いずれも精確な波形予測には重要 • 一般相対論と Newton 理論では大きく異なる

  6. 強い相互作用 van Riper (1988) ApJ 326, 235 超新星爆発の計算 Shock velocity @ 300 km (1000km/s) Incompressibility K(sym) (MeV)

  7. 弱い相互作用 Takahara & Sato (1984) PTP 72, 978 • 弱い相互作用の影響(電子捕獲反応がどれだけ起こるか、ニュートリノがどれだけ抜けるか) • パラメータ d に集約 • d～崩壊前の圧力と崩壊時の圧力の比 • d～1：不安程度は小　　　⇒ Newton ではほぼ安定　　　⇒ 一般相対論では不安定 超新星爆発の計算 Shock energy @ bounce (1052 erg)

  8. 一般相対論の重要性③ • 一般相対論と回転 • 圧力項： • 遠心力項 • 回転は • Newton では安定

  9. 回転重力崩壊での重力波 Dimmelmeier et al (2002) A&A 393, 523 • Rotation increases strongly during collapse • Newtonian : sub-nuclear bounce ⇒ Type II waveform • GR : stronger gravity super-nuclear bounce ⇒ Type I waveform GR Newton Strong qualitative difference in collapse dynamics and thus in waveforms

  10. 拘束条件式を　　　　　解く 現実的初期条件の　設定 メインループ アインシュタイン方程式を解く 座標条件を解く 物質場の方程式を解く ブラックホール形成判定　　地平面の決定 重力波を時空の　　　　　　歪みから抽出 ブラックホール特異点に対応 §２．数値相対論 primer

  11. 初期値問題としての定式化① • 一般相対性理論 • 時間と空間が融合した「時空」における理論 • 特別な観測者がいない ⇒ 一般共変性, 座標自由度 • アインシュタイン方程式 • 方程式中に時間微分と空間微分が混在して出現 • どの型の偏微分方程式系なのか良くわからない • 初期値問題として時間方向への発展を記述するように定式化

  12. 初期値問題としての定式化② • 共変 Maxwell 方程式 • 時間方向成分 • ガウスの法則, モノポール無し条件 (楕円型) • 時間微分を含まない ⇒ 時間一定面で満たすべき拘束条件 • 空間方向成分 • ファラデーの法則, アンペールの法則 • 電磁場の発展方程式 (双曲型) • アインシュタイン方程式の分解 • 時間を含む方向 • Hamiltonian 拘束条件, Momentum 拘束条件 (楕円型) • 空間方向 • 時間一定面の重力場の発展方程式 (双曲型)

  13. 安定な定式化 アインシュタイン方程式　　　　　　　⇒ 拘束条件式 + 発展方程式 • 拘束条件式 • 時間微分を含まない • 複雑な(非線形)楕円型偏微分方程式 • 解くのに計算量を要する • 初期に満たされれば常に満たされることが数学的には保証 • 数値的には拘束条件の破れが単調増加 • シミュレーションの破綻を招く • 発展方程式の安定な定式化 • 長時間安定にシミュレーションが可能 • 日本の研究者の大きな貢献 • 中村卓史教授(京大), 柴田大教授(京大) ら

  14. 拘束条件式を　　　　　解く 現実的初期条件の　設定 メインループ アインシュタイン方程式を解く 座標条件を解く 物質場の方程式を解く ブラックホール形成判定　　地平面の決定 重力波を時空の　　　　　　歪みから抽出 ブラックホール特異点に対応 §２．数値相対論 primer

  15. 座標軸の導入 • 絶対時間・空間がない！ • 時間方向と空間方向を計算者が指定することが必要 • 時間一定空間の各点での時間の進ませ方の自由度 • ニュートン理論では時間の進み方は一様 • 特異点付近で時間の進みを遅くする • 時間軸を空間方向に曲げる自由度 • ニュートン理論では時間軸は時間一定面に垂直 • 慣性系の引きずりの効果を解消する

  16. 座標の導入 • 時間ベクトルの導入 • α: lapse function • 時間の進め方の自由度 • β: shift vector • 空間座標の選び方の自由度 • ニュートン理論では t = n • α= 1, β= 0

  17. §３．重力崩壊と重力波 • 良い点 • 重力波が観測可能な距離のイベントに対しては、　　電磁波による観測で発生時刻の制限が可能 • 悪い点 • 対称性が高いので重力波振幅が小さい • 何とか高振幅の重力波は放射されないものか？ • 理論計算 • ほとんどが Newton 理論での計算 • 数値相対論での計算は遅れている • GR計算(青)、NR計算(赤)

  18. 重力波源 • 核密度を越えると状態方程式が硬くなる ⇒ core bounce • 衝撃波のstall ⇒neutrino burst / heating ⇒対流, SASI / AAC • 非球対称 neutrino 放射 • g-mode oscillation of PNS • Proto-neutron star の非軸対称変形 ⇒ Gravitational waves from Rotational core bounce GR/NR GR(PNS対流) /NR ⇒ GWs from PNS /ν -driven convection, SASI/AAC ⇒ GWs from anisotropic neutrino radiation NR NR ⇒ GWs from PNS g-mode oscillation ⇒ GWs from triaxial deformation of PNS GR/NR

  19. 重力波振幅 • 四重極公式: • Bulk motion of mass : • rotational core bounce, non-axial instabilities of core • Rapid motion of envelope (near proto NS) : • Convection, other non radial instabilities • Anisotropic neutrino emission :

  20. GWs from rotating core bounce • 詳しく調べられているZwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209;Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523;Kotake et al. (2003) PRD 68, 044023;Ott et al. (2004) ApJ. 600, 834;Shibata & YS (2004) PRD 69, 084024; YS & Shibata (2005) PRD 71, 084013 • 状態方程式と回転則により3 type(Zwerger & Mueller (1997)) • 近似的 EOS • 振幅 ～10-20 @ 10 kpc • 周波数 : Type-I, -III ～1kHz Type-II ～ 100Hz Infall bounce ringdown PNS の　　　準周期的振動 Type-I waveform

  21. 3-Types of Waveforms Zwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209; Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523; 長周期振動(~10ms　⇒　f～100Hz) 強い遠心力により 中心すら核密度以下 Bounce core mass 小　振幅は1桁小さい

  22. 3-Types of Waveforms Zwerger & Mueller (1997) A&A 320, 209; Dimmelmeier et al. (2002) A&A 393, 523; Mass増大, GR の効果 Type-I Type-II Type-III 黒：GR、赤：Newton

  23. Realistic GR simulation Dimmelmeier et al. astro-ph/0705.2675 , GR Realistic 現実的状態方程式 + 電子捕獲反応では、　　　　　　Type-II, Type-III waveform がきわめておこりにくい

  24. GWs form convection andν-emission Mueller et al (2004) ApJ. 603, 221 , NR • GW burst with memory • bounce + neutrino-driven convection + anisotropic ν-emission • GWs from the convection is small < 10-22 • GWs from neutrino dominate in low frequency (h < 10-22 ) neutrino bounce Total νconvection

  25. GWs form anisotropic ν-emission • Why amplitude is so small ? • δis very small as ～ 0.01 • Ott (2007) PhD • <Lν> is small ~ 1051 erg/s

  26. GWs form PNS convection YS (2009) , GR • 現時点で最も進んだ数値相対論シミュレーション • 現実的状態方程式 • 電子捕獲反応 • ニュートリノ生成 • ニュートリノ冷却 • ニュートリノ加熱は考慮されていない • ニュートリノ加熱による対流からの重力波の計算はされていない

  27. GWs from PNS g-mode Ott et al. (2006) PRL 96, 201102 , NR • GW emission from l=2 mode • 周波数: f ～ 600－1000 Hz • 振幅: h ～ 10-18 @ 10kpc (detectable out to Mpc)

  28. Acoustic SN mechanism • SASI/AAC turbulence excites fundamental (l=1)g-mode of PNS • g-mode damps by emission of acoustic wave, depositing energy • the energy deposition dominates the neutrino heating • conversion more efficient than neutrino heating • Shock revival by acoustic power Entropy/vortex perturbation Acoustic wave g-mode PNS Shock surface

  29. GWs from triaxial deformation • ダイナミカル不安定性 • T/W > 0.27を超えるような場合に起こるChandrasekhar (1969) “Ellipsoidal figures of equilibrium” • 重力崩壊では　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　初期に高速回転かつ差動回転 (Ω回転軸/Ω表面＞100) が必要不可欠　 圧力減少の度合いが大きいことも必要 • Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR • 差動回転が強い場合に (T/W < 0.1でも) 起こるShibata et al. (2002) MNRAS 334, L27; Watts et al. (2005) ApJL. 618, 37; Saijo & Yoshida (2006) MNRAS 368, 1429 • Corotation resonance instability (possible mechanism)

  30. Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR

  31. Dynamical instabilities (T/W>0.27) Shibata & YS (2005) PRD 71, 024014 , GR ~ 1 kHz Gauge inv. Quadrupole formula hnonaxi～ 10-19 ～ 10haxi @ 10kpc, f ～ 1kHz

  32. Dynamical instabilities (low T/W) Ott et al. (2007) CQG 24, S139 , NR • f ～ 1kHz に新たなピーク ~ 1 kHz

  33. Dynamical instabilities (low T/W) Ott et al. (2007) CQG 24, S139 , NR 軸対称 軸対称 + 非軸対称

  34. 重力波 － まとめ － • GW at core bounce • Burst emission, 3 characteristic types • hbounce ～ 10-21～10-20 @10kpc, fbounce～ 500－1000 Hz • GW from convection • h PNS < 10-20 @ 10 kpc, fPNS～ 100－1000 Hz • hνdriven～ 10-22 @ 10kpc, fνdirven～ 10－100 Hz • GW from anisotropic neutrino emission • hν～ 10-22 @ 10 kpc, fν< 100 Hz • GW from PNS g-mode • hg-mode～ 10-18 @ 10 kpc, fg-mode～ 1000 Hz • GW due to non-axisymmetric deformation • hhighT/W～ 10-19 @ 10 kpc, fhighT/W～ 1000 Hz • hlowT/W～ several ×10-20 @ 10 kpc, flowT/W～ 1000 Hz

  35. g-mode @ 10 kpc high T/W low T/W bounce PNS convection neutrino νconvection

  36. §４．連星中性子星合体からの重力波 • 数値相対論のメインターゲット • 合体重力波波形から高密度物理に制限 • チャープ重力波からNS質量がわかることが重要 • 連星の質量比、総質量による合体過程の違い • Kiuchi, YS et al, (2009), Kiuchi, YS et al. in prep. • 状態方程式（EOS）に対する合体の依存性 • YS, Kiuchi et al. in prep. • 現実的シミュレーション • 任意の状態方程式テーブルが利用可能 • 状態方程式の理論計算の不定性に依存 • 逆にいろいろな状態方程式モデルで計算をして制限可能

  37. （単独の）中性子星から状態方程式を制限する①（単独の）中性子星から状態方程式を制限する① • 中性子星の最大質量 • 観測された中性子星の 　　最大質量よりも　　　　　　　 軽い最大質量を予言する状態方程式（EOS）は棄却 • そんなに重い中性子星は精度よく観測されていない

  38. （単独の）中性子星から状態方程式を制限する②（単独の）中性子星から状態方程式を制限する② • 中性子星の半径（コンパクトさ） • EOSが予言する質量‐半径関係との整合性 • 高精度の見積もりが必要 • 半径（M/R）(と質量の同時)の見積もりは困難 • Pulse profile (モデル依存) • Redshift (モデル依存) • QPO (モデル依存) • 慣性モーメント

  39. 連星中性子星から状態方程式を制限する① GNH3 • Quasi-circular orbit APR APR GNH3 BPAL12 BPAL12 Bejiger et al. (2005)

  40. 連星中性子星から状態方程式を制限する① • Quasi-circular orbit GNH3 APR Bejiger et al. (2005) BPAL12 数値相対論シミュレーションではISCOでの　　　　これほどの急激な変化は見られない

  41. 連星中性子星から状態方程式を制限する② • 合体⇒中性子星 • 現実的状態方程式を用いた計算 (Newton SPH) • S: (Shen et al. 1998) • 相対論的平均場 • 相対的に硬く、半径~14km • A: (Akmal et al. 1998) • 3体力を考慮 • 柔：核密度以下、硬：以上 • 半径~11km (コンパクト) • LS: (Lattimer & Swesty 1991) • 液滴模型に基づく • 相対的に柔らかく、半径~12km NR計算。円軌道にある準平衡形状から　　　　　シミュレーションしていないので、定性的な結果 Oechslin & Janka (2007)

  42. 中性子星連星の運命 連星の総質量と状態方程式で支えられる最大質量の兼ね合いで決まる(EOS依存) 連星の合体後に（一時的に）出来る星が、 ブラックホール 重い中性子星 しかし、合体後の星は一般に強く早く差動回転 　⇒遠心力は星の自己重力を支える要因 　 ⇒支えられる最大質量が底上げ Shibata & Taniguchi (2006); Kiuchi, YS et al. arXive:0904.4551

  43. 大質量中性子星形成 • APR1414

  44. 重力波波形（ＡＰＲ1.4－1.4（HMNS）） 重い中性子星　　　（MHNS）の振動 インスパイラル マージング チャープシグナル個々の中性子星の質量が決定できる Akmal-Pandhalipande-Ravenhall (APR) EOS

  45. ブラックホール形成 • APR1515

  46. 重力波波形（ＡＰＲ1.5－1.5（BH）） ＢＨの 固有振動 マージング インスパイラル

  47. BH準固有振動（ＡＰＲ1.5－1.5） 角運動量保存則、見かけの地平面の特性、　　　　　　　BH準固有振動のからえられたBHのスピンパラメータ：　モデル依存性は低く a~0.78－0.8

  48. 重力波スペクトル（ＡＰＲ1.45（BH）＆1.4（MHNS））重力波スペクトル（ＡＰＲ1.45（BH）＆1.4（MHNS）） BHが形成されるか重たい中性子星（HMNS）が　　　　　形成されるかで重力波スペクトルは大きく異なる　　　　　　　　　⇒　状態方程式に制限

  49. 重力波スペクトル（総質量・質量比、EOS） BHが形成される場合でも重力波スペクトルは　　　　　　総質量・質量比、状態方程式によって異なる　　　　　　　　　　　　　⇒　状態方程式に制限

  50. 状態方程式の特性 • EOS : hybrid type : • Pcold : APR (Akmal et al. 1998) , FPS (Pandalipande-Ravenhall) , Sly (Douchin & Haensel 2001) • Pth : Ideal gas with gamma=2.0 FPS EOS is relatively soft SLy EOS is relatively stiff APR EOS is stiff at high densities

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