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定理7.13:霍夫曼算法得到的带权 w 1 ,w 2 ,  ,w n 的二分树是最优树。 分析 : 采用归纳法。 n=2,

定理7.13:霍夫曼算法得到的带权 w 1 ,w 2 ,  ,w n 的二分树是最优树。 分析 : 采用归纳法。 n=2,. 结论成立 假设 n=k-1, 结论成立。即用霍夫曼算法得到的带权 w1,w2,  ,wk-1 的二分树是最优树。 对于 n=k ，用霍夫曼算法得到的带权 w1,w2,  ,wk 的二分树是最优树 由归纳假设，用霍夫曼算法得到的带权 w1+w2,w3,  ,wk 的二分树是最优树。 关键证明对于带权 w1+w2,w3,  ,wk 最优树，用子树代替带权 w1+w2 的树叶，就是 w1,w2,w3,  ,wk 最优树.

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定理7.13:霍夫曼算法得到的带权 w 1 ,w 2 ,  ,w n 的二分树是最优树。 分析 : 采用归纳法。 n=2,

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  1. 定理7.13:霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wn的二分树是最优树。定理7.13:霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wn的二分树是最优树。 • 分析:采用归纳法。 • n=2, 结论成立 假设n=k-1,结论成立。即用霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wk-1的二分树是最优树。 对于n=k，用霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wk的二分树是最优树 由归纳假设，用霍夫曼算法得到的带权w1+w2,w3,,wk的二分树是最优树。 关键证明对于带权w1+w2,w3,,wk最优树，用子树代替带权w1+w2的树叶，就是w1,w2,w3,,wk最优树

  2. 引理1：设有一棵带权w1w2w3wk最优树，则必存在带权为w1,w2的树叶为兄弟的最优树。引理1：设有一棵带权w1w2w3wk最优树，则必存在带权为w1,w2的树叶为兄弟的最优树。 引理2：若用霍夫曼算法可得到带权w1+w2, , wn的最优树T’,则用子树 代替带权w1+w2的树叶，就是w1,w2,w3,,wk最优树。 现在证明该定理。

  3. 证明:采用归纳法。 • n=2, 结论成立 假设n=k-1,结论成立。即用霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wk-1的二分树是最优树。 对于n=k，由归纳假设，用霍夫曼算法得到的带权w1+w2,w3,,wk的二分树是最优树。 由引理2得：对于带权w1+w2,w3,,wk最优树，用子树代替带权w1+w2的树叶，就是w1,w2,w3, ,wk最优树

  4. 树是最小的连通图，删去任何一条边，必定不连通。树是最小的连通图，删去任何一条边，必定不连通。

  5. 第八章　连通度，运输网络，匹配 • 8.1　连通度与块 • 为了衡量一个图的连通程度, 定义图的两个不变量: • 点连通度和边连通度。

  6. 一、点连通度与边连通度 • 1. 点连通度 • 定义 8.1：设图G的顶点子集V'，若 (G-V')>(G)，则称V'为G的一个点割。|V'|=1时, V'中的顶点称为割点。 • 点割是集合，割点是顶点。 • G2中，v就是割点，{v}就是点割。

  7. 定义8.2：设有图G，为产生一个不连通图或平凡图需要从 G 中删去的最少顶点数称为G的点连通度，记为(G)，简称G的连通度。 • 显然，G是不连通图或平凡图时, (G)=0; • 连通图G有割点时, (G)=1; • G是完全图Kn时, (Kn)=n-1。 • 必须说明的是(G)=1,G并不一定有割点

  8. 2.边连通度 • 定义8.3：设有图G, 为产生一个不连通图或平凡图需要从 G 中删去的最少边数称为G的边连通度，记为λ(G)。 • 显然, G是不连通图或平凡图时，λ(G)=0;； • 连通图G有一桥时，λ(G)=1； • G是完全图Kn时，λ(Kn)=n-1。

  9. 图的连通度有它的实际应用。设n个顶点表示n个站, 用e条边连接起来, 边表示通信线, 所谓连接好是指不易被破坏: • (1)使之具有最大的点连通度，这样当<κ(G)的点(结点)被炸毁时，其余各点仍然能够通信 • (2)使之具有最大的边连通度, 这样当λ(G)的边(线路)被炸毁时，各点仍然能够通信

  10. 3.点连通度,边连通度与最小顶点度数联系。 • 定理 8.1:对任何一个图G，有κ(G)≤λ(G) ≤δ(G)。 • 证明：(1) λ(G) ≤δ(G) • 若G是不连通图或平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)，结论成立。 • 下面考虑G是; 连通图情况。 • (2) κ(G)≤λ(G) • 若G是不连通图或平凡图，则κ(G)=0=λ(G)，结论成立。 • 下面考虑G是连通图情况。

  11. 定义 8.5：若图G的边连通度λ(G)≥k$, 称G是k-边连通的。 例如图G3的边连通度是2, 所以它是2-边连通的, 也是1-边连通的；但不是3-边连通的。 • 定义 8.4:若图G的κ(G)≥k，称G是k-连通的 • 例如图G3的点连通度是2，所以它是2-连通的, 也是 1-连通的, 但不是3-连通的。 • 非平凡连通图是1-连通的。

  12. 二、割点与块 • 首先讨论2-连通图的特征。为此, 先讨论一下割点。由定义 8.4 可知,有割点的连通图是1-连通的, 但不是2-连通的, 反之亦然。割点有如下几个等价条件: • 定理 8.2：设v是连通图G的一个顶点, 下列论断是等价的: • (1) v是G的一个割点。 • (2)对于顶点v, 存在两个不同的顶点u和w, 使顶点v在每一条从u到w的路上。 • (3)存在V-{v}的一个分成U和W的划分, 使对任意两顶点 uU和wW，顶点v在每一条从u到w的路上。

  13. 定理 8.3：设G是顶点数n≥3的连通图, 下列论断是等价的: • (1)G中没有割点。 • (2)G的任意两个顶点在同一条回路上。 • (3)G的任意一个顶点和任意一条边在同一条回路上。 • (4)G的任意两条边在同一条回路上。 • 定义 8.6：有割点的非平凡连通图称为可分图。没有割点的非平凡连通图称为不可分图。 • 顶点数n≥3的不可分图是2-连通图, 又称双连通图,

  14. 作业:P187 1-11

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