运动学习题

运动学习题 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-9 1-10 1-11 1-12 1-13 1-14 1-15 1-16 1-17 1-18 1-19 1-20 1-21 1-22 1-23 1-24 1-25 1-26 1-27 1-28 结束返回总目录

t/s 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x/m 3.00 3.14 3.29 3.42 3.57 1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在不同时刻的位置如下： (1)画出位置对时间的曲线; (2)求质点在1秒到3秒时间内的平均速度; (3)求质点在t =0时的位置。目录结束

x/m 3.60 . . 3.45 . 3.30 . 3.15 . 3.00 2.85 2.70 t/s 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 解：结束目录

(2)质点在1秒到3秒时间内的平均速度为： 3.75-3.00 v = 3.0-1.0 x =2.71m =0.285(m/s) (3)由作图法可得到质点在t =0时的位置为：结束目录

a a + a = 1 2 2 1-2.质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为： x = 4t - 2t3，式中x、t分别以m、s为单位。试计算：（1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时速度；（2）1s末到3s末的位移、平均速度；（3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加速度是否可用计算？（4）3s末的瞬时速度。结束目录

解： x= 4t - 2t3 （1） 4t - 2t3 x 4 2 m Δ x 0 = 2 23 = 8 = = × × Δ x 8 m s v = 4 = = Δ t 2 x d v = = 4 = 4 22 = 20 m s 6 t 2 6 × d t （2） x2 x3 Δ x = ) ( ) ( 4 1 2 13 4 3 = 2 33 × × × × m = 44 x Δ 44 v = 22 m s = = Δ t 3 1 结束目录

(3) 4 v = 4 = 6 12 = 2 m s 6 t 2 × 1 4 v = 4 = 6 32 6 t 2 = 50 m s × 3 v ( ) v 50 2 a 1 = 3 = t t 3 1 1 3 = 24 m s 2 v d (4) 12 a = = = 3 12 t × d t = 36 m s 2 结束目录

v/(m.s-1) -10 o t/s 10 20 30 40 50 60 -10 -10 1-3 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度和时间的关系如图中折线OABCDEF所示。 (1)试说明图中OA、AB、BC、CD、 DE、EF等线段各表示什么运动？ (2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度。结束目录

1 1 (20×10) (30+10)×5 + S = 2 2 1 1 x (20×10) (30+10)×5 =0 Δ = 2 2 解：由v~t 图的总面积可得到路程为： =200(m) 总位移为：所以平均速度也为零结束目录

v 1 b 2 o 2b t 1-4.直线 1与圆弧 2分别表示两质点A、B 从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的 v-t 图。已知B的初速v0=b m/s,它的速率由 v0变为0所化的时间为t1= 2bs, （1）试求B在时刻 t 的加速度；（2）设在B停止时， A恰好追上B，求A的速度；（3）在什么时候， A、B的速度相同？结束目录

v A v ´ B b 在 v ´ ~ t 坐标系中质点2的 v 2b o t v t v0 v ´ ´ c 2 + 2 = ( + ) 2 c o ´ 因为 v v ´ t ´ c + = 在 v ~ t 坐标系中质点2的运动方程为： v t v0 （1） c c ( + ) 2 + 2 ( + ) 2 = 当 t ；且 2b， v= 0 v0 =b 代入式（1） = 3 得： c b = 2 v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0 (1)求B在时刻 t 的加速度。运动方程为：代入式（1）得：结束目录

v t v0 （1） c c ( + ) 2 + 2 ( + ) 2 = v0 得： b = 3 c b = （2） v 3 b v t 4 b 2 2 + + 2 2 = 2 t d v a = = d t 解得： 3 b m 25 b 4 t 2 2 25 b 4 t 2 2 v = 2 . . . 代入（1）化简后得：式中取正号，对 t 求导后得：结束目录

时B静止 （2）当 t 2b v = A b B的位移： φ 25 1 4 B ] arc sin [ φ φ ò b 2 sin cos Δ x v d t + 5 = 2 2 2 o t B 0 2b 3 b 1 2 b ò ( ) = d t 25 b 4 t + 2 2 2 2 0 3 1 2 b ò b.2b d t 25 b 4 t + 2 = 2 2 2 0 2 b ò 其中： d t 25 b 4 t 2 2 0 = b 8.79 2 = A追上B，A的位移等于B的位移结束目录

b b 3b 8.79 1.40 2 2 2 Δ x + = = B k v 设A的速度为: t = A 2 b ò 2k b ò k 2 Δ x v d t d t t = = = A 相遇时A与B的位移相等： 0 Δ x Δ x = b 2k b 1.40 A 2 2 k 0.7 B = = k 0.7 v t t = = A (3) 当 v 时有： v = A B 3 b 1 25 b 4 t 2 0.7 + 2 t = d v 2 2 0.7 a m s A = = 2 t 1.07b d t A = 解得：结束目录

1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度；（2）影子长度增长的速率。结束目录

h b l ( x b ) = + h l d x d b = x b b l l = + + d t d t d b d ( x b ) + d x h l = v = d t d t 0 d t h 而 l d b l v = 0 b x d t h l 解：上式两边微分得到：影子长度增长速率为：结束目录

h b l ( x b ) = + d b l v = . . 0 . d t h l h h d b d ( x b ) + v = = 0 l h l d t d t 所以人影头顶移动速度为：结束目录

5m 4m v 0 1-6 长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直的墙上。设 t =0 时，顶端离地面4m,当顶端以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求：（1）梯子下端的运动方程；并画出x~t 图和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离分别为 x 和 y ）。（2）在 t =1s 时，下端的速度。结束目录

y y 4 t 0 = = = A 0 5m l = v = y y v t x y = 0 + = l 2 2 2 0 y 0 B 2y 2 x 0 + = x x y y y d d d d d d d d t t t x 用y0=4, v0= 2, t =1代入，得B端的速度。 y v ( v t ) y y 0 0 0 = ( v ) = = v x x 0 y ( v t ) 2 l 2 0 0 0 4 0.87m/s = = 21 将此式微分得：结束目录

ò x = y v ( v t ) ò c 0 0 + 0 = x t 9 4 t 2 + 16 0 y ( v t ) 2 l 2 0 0 x 8 4 t d ò c + = d d t t = t c 9 4 t 2 + 16 + . 3 . . x t 9 4 t 2 + 16 = c = + t 0 = = c 0 = x t 9 4 t 2 + 16 = 结束目录

t 9 4 t 2 + 16 v x v 8 4 t = 5 8 3 3 t t 2 4.5 8 3 x t 9 4 t 2 + 16 = 结束目录

1-7.人以恒定的速率v0运动，船之初速 为0，求：任以位置船之速度加速度。 y x v 0 r h h x 结束目录

y i r x h j = x v O 0 2 2 + r r x h r = = h h d d r x = = i v x d d t t d + d d r x h x x 2 2 = = = v d d t t 0 + d x h t 2 2 v d d r x 2 2 0 i = + i = = v h x x d d t t v 2 2 2 d v h x d 0 a = = = i i x t d 2 3 d t 结束目录

1-8 在质点运动中，已知 x = aekt , dy/dx = -bke-kt, 当t = 0, y=y0=b 求：质点的速度和轨道方程。结束目录

d y y 已知： t = b k b k x e e a = = d t t =0 解： k d t d y b e = t t t t t t t ò ò k k k k k k k k d t c b b e c y d y e + = = = + 当 y = b c = b c = 0 + t =0 t k 轨迹方程： x e a t = 0 = { b x y a = y b e . . = . . . . 2 d y 2 d x d x t t k a k k e 2 2 a k k e b = e = = d t d t 2 d t a t k 2 a k e + k 2 b e = i j 结束目录

1-9一质点的运动方程为 式中r、t分别以m、s为单位.试求：（1）它的速度与加速度；（2）它的轨迹方程。 i j k r = t + 4 t 2 + z t y x 1 4 t 2 = = = x 1 = y 4 z 2 x 1 = = r d j k 8 t v + = = d t v d j 8 a = = d t 轨迹方程：轨迹为在平面的一条抛物线。解：结束目录

1 y t 2 + 3 t 4 = 2 x 3 t 5 = + 1-10 一质点的运动方程为（1）以 t 为变量，写出位矢的表达式；（2）描绘它的轨迹；（3）式中 t 以s为单位，x、y以m为单位，求:质点在t = 4 时的速度的大小和方向。结束目录

1 y t 2 + 3 t 4 x 3 t 5 = = + 3 2 + 7 2 2 7 tg a = 3 a = 66.80 解： (1) v 1 = i ( ) r 3 t 5 ( t 2 + 3 t 4 ) j + = + 2 (2) = 7.61m/s (3) 1 x 5 ( ) x 5 i j i j v = 3 + t + 3 = 3 + 7 y ( ) 2 3 ( ) 4 = + 2 3 3 结束目录

y (2,2) v o x 1-11 一质点沿光滑的抛物线轨道，从起始位置（2，2）无初速地滑下，如图。问质点将在何处离开抛物线？抛物线方程为: y2 = 2x，式中x、y以m为单位。结束目录

2 y d y 2 d x = d y 1 a tg = = y d x d 2 y d y 1 1 = = y y d x d x 2 3 2 y N o 1 3 ) 3 ( 1 + v ´ ) ( 1 + y 2 y 2 2 2 = = R a y 1 ´ ´ 3 mg ) y ( 1 + y 2 3 = 2 x 由 y2 = 2x两边微分得：结束目录

y 3 + 3 y 4 0 = R y 1 a y cos 1 y ( ) ( y ) y 4 0 2 + = + = = N a 1 tg + 2 1 y + 2 o 1 m g y ( ) m v 2 = 2 v 2 . 得： . . m v a a 2 cos m g = N 3 mg ) R ( 1 + y 2 = 2 y x 1/2 1, = = x 1 有两个虚根，不符题意。其中 y ( ) y 4 0 = 2 + + 由 0 N = 结束目录

1-12 在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成 图示曲线。质点穿在钢丝上，可沿它滑动。已知其切向加速度为 -gsin ，是曲线切向 q q 与水平方向夹角。试证：质点在各处的速率v与其位置坐标 y 有如下关系： v 2-v02 = 2g (y0-y) 式中 v0与 y0分别为其初速度与初位置。 y q -gsin q q d s d y x 结束目录

d y d v sin q = g sin q = d s d t d v d v d s d y d s v v g sin 2 q g y g y = = 2 2 = = ( ) d y d t d s d t 0 d s 0 q d v d y y v g = d s d s q -gsin q d v v g d y = q d s d y v y ò 0 ò d v v g d y = v y x 0 结束目录

B w x O C M h q A 1-13 如图所示，杆AB以匀角速度绕A 点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动。设起始时刻杆在竖直位置，OA= h。（1）列出质点M沿水平杆OC的运动方程；（2）求质点M沿杆OC沿动的速度和加速度的大小。结束目录

B q 0 h w = = OA 已知： x 0 O C q q w t w t + M = = 解： 0 h q x w t h tg q h tg = = d x v h w sec 2 w t = = d t A d 2 x 2 w t a tg h w 2 sec 2 w t = = d t 2 结束目录

1-14滑雪运动员离开水平滑雪道飞入空 中时的速率v =110km/h,着陆的斜坡与水平面成 = 450角，如图所示。 q L q （1）计算滑雪运动员着陆时沿斜坡的位移（忽略起飞点到斜面的距离）；（2）在实际的跳跃中，运动员所到达的距离L=165m, 此结果为何与计算结果不符？目录

30.6m/s 已知： v 110km/h = = v t cos q x v t 解： L = = 1 1 y g t sin q g t 2 2 L = = 2 2 450 q = 2 sin 2 30.6 450 × 2 v sin q 2 270m = L = = cos 9.8 450 2 × g cos q 2 L q 目录

x v cos q t = 0 g y v sin q t t 2 = 2 0 g x 2 ( ) tg q 1 + 2 y x tg q = v 2 2 0 解： g x 2 （1）轨迹方程为： y x tg q = cos v q 2 2 2 0 1 即： 1-15一个人扔石头的最大出手速率为 v=25m/s, 他能击中一个与他的手水平距离为L = 50m而高h =13m的一个目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？结束目录

d y v 2 0 tg q 0 = = g x d tg q g x 2 ( ) tg q 1 + 2 y x tg q = v 2 2 0 g x 2 50 9.8 2 2 25 x 2 tg q 0 × = 12.3m = = v 2 2 （1） 2 25 2 2 9.8 0 × × g x g x v 4 v 2 2 2 0 y x 0 = g x g x v v 2 2 2 2 2 2 由 0 0 g x v 2 2 0 = v 2 2 2 g 得： 0 即：代入式（1）可得：结束目录

1-16在篮球运动员作立定投篮时，如以出 手时球的中心为坐标原点，作坐标系oxy，如图所示。设篮圈中心坐标为 (x,y),出手高度为 H1,球的出手速度为v0 ,试证球的出手角度应满足下式才能投入： g g x 2 v 2 a 2 a + 1 1 ( y ) tg 0 + = v g x v 2 2 2 0 0 g x 2 y 解：由轨迹方程： a y x tg = cos a v 2 2 2 v 0 0 a o H2 x g x H1 2 ( a ) tg a 1 + 2 x tg = v 2 2 0 结束目录

y v 2 2 v v 2 2 2 2 2 ) + ( ) 4 ( 1 0 + 0 0 g x g x g x 2 a tg = 2 g x 2 ( a ) tg a 1 + 2 即： y x tg = g x v 2 g v 2 2 2 2 y = 1 + 1 ( + ) 0 0 v g x 2 2 v 2 v y v 2 2 2 2 0 0 a ( a ) tg 0 0 tg 1 + 2 = g x g x 2 v y v 2 2 2 2 a a tg ( 0 ) 2 0 tg 1 0 + + = g x g x 2 结束目录

1-17如图，一直立的雨伞，其边缘的直径 为R，离地面的高度为h。当伞绕伞柄以匀角速 g r 1 + 2 h w R = 2 旋转时，试证沿边缘飞出的水滴将落在地面上半径为 w ω y x v 的圆周上。 R o ´ o p 请构思一种旋转式洒水器的方案。 r h 伞柄 x o ´ ´ 结束目录

已知： ，， ω 。 1 h R g h t x v t 2 = = 2 0 求证： v ω r = R 0 解： ω 2 v h h 2 2 2 R 2 x 2 = 0 = g g ω ω h h 2 2 2 2 r 1 1 2 x R R = R + 2 = = + + g g 结束目录

1-18 一列车以 5m／s的速度沿 x 轴正方向行驶，某旅客在车厢中观察一个站在站台上的小孩竖直向上抛出的一球。相对于站台上的坐标系来说，球的运动方程为: 1 g t y v t 2 = 2 0 （ ,g 是常量）。 v x 0 = 0 （1）如果旅客用随车一起运动的坐标系以来描写小球的运动，已知x’ 轴与x 轴同方向，y’ 轴与y轴相平行,方向向上,且在 t =0 时,o与o’ 相重合，则 x’ 和y’ 的表达式将是怎样的呢？（2）在o’x’y’坐标系中，小球的运动轨迹又是怎样的？（3）从车上的旅客与站在车站上的观察者看来 , 小球的加速度各为多少?方向是怎样的？结束目录

系：系： x 0 s s ´ ´ 解： = 1 g y v t t 2 = 2 0 ´ x 5 t = 1 系：系： s s ´ g y v t t 2 = 2 0 d 2 y d 2 x a g 0 g = j a a = = = = x y t t d 2 d 2 d 2 y d 2 x a g 0 ´ a a g = j ´ = = ´ = = x y t t d 2 d 2 结束目录

1-19 甲乙两船同时航行，甲以10km／h 的速度向东，乙以5km／h的速度向南。问从乙船的人看来，甲的速度是多大？方向如何？反之，从甲船的人看来，乙的速度又是多大？方向如何？结束目录

已知： v 10km/h v 5km/h = = 1 2 解： 11.2km/h ´ v = 10 = 5 2 + 2 v ´ v 1 1 2 乙船的人看甲： 11.2km/h ´ v = 10 = 5 2 + 2 2 v 1 a a arctg(1/2) 26.60 = = 1 1 v 1 a arctg2 63.40 = = 2 a 2 v ´ v 2 1 甲船的人看乙：结束目录

1-20 设河面宽l=1km，河水由北向南流 动，流速 v =2m／s,有一船相对于河水以 v’=1.5m／s的速率从西岸驶向东岸。（1）如果船头与正北方向成角，船到达对岸要花多少时间？到达对岸时，船在下游何处？ a 150 = （2）如果船到达对岸的时间为最短，船头与河岸应成多大角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？（3）如果船相对于岸走过的路程为最短，船头与岸应成多大角度？到对岸时，船又在下游何处？要花多少时间。结束目录

已知： l 1km 1.5m/s v 2m/s = = = 求： (1) 当α=150 t v v v v 1000 l ´ ´ ´ ´ L v ´ t 2564s = = = a a (2) 当 t = tmin 求： sin sin 15 0 a 1.5 L × 1 1 (3) 求：当 L = Lmin v L 0 15 ) t L ( v cos = 2 L v (1) 解： a t sin c l = l ( ) 0 15 1.5 cos 2564 1.41km 2 = = × × 目录

欲使时间最短 a (2) 900 ´ = v v l ´ ´ 1000 l t = t 667s = = = 1.5 v t 1.33km L = = 1 结束目录

运 动 学 习 题