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三重积分的定义和计算

复习. 三重积分的定义和计算. （计算时将三重积分化为三次积分）. （截面法计算三重积分）. 在直角坐标系下的体积元素. 求围定顶法. 第三节. 三重积分. 一、三重积分的概念. 二、三重积分的计算. 直角坐标 柱坐标和球坐标. z. 0. y. x. 1. 利用柱坐标计算三重积分. 设 将 x , y 用极坐标 代替，则. 就称为点 M 的柱坐标. z. 直角坐标与柱面坐标的关系 :. M ( x , y , z ). z. y. . ρ. x. N.

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三重积分的定义和计算

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Presentation Transcript

  1. 复习 三重积分的定义和计算 （计算时将三重积分化为三次积分） （截面法计算三重积分） 在直角坐标系下的体积元素 求围定顶法

  2. 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 直角坐标 柱坐标和球坐标

  3. z 0 y x 1. 利用柱坐标计算三重积分 设 将 x , y用极坐标 代替，则 就称为点M的柱坐标. z 直角坐标与柱面坐标的关系: M(x,y, z) z y  ρ x N

  4. z 0 y x  坐标面分别为 z r M 常数 圆柱面 半平面 常数 S P 平面 常数 

  5. 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆或者 扇形域, 被积函数含有式子 时, 用柱坐标计算 比较简单. 因此 其中

  6. 例1. 计算三重积分 其中 为 由柱面 及平面 所围成半圆柱体. 解:在柱面坐标系下

  7. 例2. 计算三重积分 其中 由抛物面 所围成 . 与平面 解:在柱面坐标系下 原式 =

  8. 从而闭区域 在 xoy 面上的投影域为： 例3 计算 ， 其中 是 半球面 与抛物面 所围的立体. 解

  9. 在 xoy面上的投影域为： 半球面 与抛物面

  10. 由 绕 轴旋转 曲线 例4 计算 其中 是 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 所围的立体. 解 得到的旋转曲面的方程为: 所围成的立体如图所示。

  11. 所围成立体的投影区域如图，

  12. 原式

  13. 2. 利用球坐标计算三重积分 设 其柱坐标为 则 就称为点M的球坐标. 规定： 直角坐标与球面坐标的关系

  14. z 球面 0 x y 坐标面分别为 C 常数 M 常数 半平面   S P  常数 锥面

  15. 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 一般地，若的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有 x2+y2 +z2 的因子，则可以选用球面坐标系.

  16. z 0 y x 球面r+d r 圆锥面 dr rsin rsind 球面r rd 圆锥面+d r  d  d

  17. 例5. 计算三重积分 其中 所围立体. 为锥面 与球面 解:在球面坐标系下

  18. 例6. 求曲面 所围立体体积. 解:由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部, 且关于xOz 故在球坐标系下所围 和yOz面对称, 并与xOy面相切, 立体为 利用对称性, 所求立体体积为

  19. 例7 计算 ，其中 是锥面 与平面 所围的立体. 解法一 采用球面坐标

  20. 解法二 采用柱面坐标

  21. 与 例8 求立体 公共部分的体积. 解法一： 由二重积分性质知：

  22. 由锥面和球面围成，因此可采用球面坐标 与 例8 求立体 公共部分的体积. 解法二 由三重积分的性质知 由

  23. 练习： 计算 由 所围成. 与

  24. 补充：利用对称性化简三重积分计算 一般地，若区域 关于xoy平面对称，且被积函数 是 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积 函数 是z 的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1 积分区域关于坐标面的对称性； 2 被积函数在积分区域上关于变量 x, y, z 的 奇偶性.

  25. 例9　计算 其中积分区域 解： 积分域关于xoy坐标面对称， 被积函数是 z 的奇函数,

  26. 其中 是 y 的奇函数, 且 关于 面对称, 例10 计算 其中 是由 抛物面 和球面 所围成 的空间闭区域. 解 同理

  27. 于是 投影区域 在柱面坐标下：

  28. 在球面坐标下：

  29. 解法三

  30. 练习: 计算 围成 围成

  31. 练习: 计算 围成

  32. 围成 见例10

  33. 内容小结 球面坐标 柱面坐标 三重积分换元法 (1) 柱面坐标的体积元素 (2) 球面坐标的体积元素 (3)对称性简化运算 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为

  34. 若 为 中关于xoy面对称的有界闭区域， 思考题 为 上的连续函数，则 当 关于 为奇函数时， 当 关于 为偶函数时， 为

  35. 和球面 备用题 1. 设 由锥面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标

  36. 其中 2. 计算 围成. 解: 利用对称性

  37. 作 业 • P164. 9(2), 10(2); 11(3,4), 12(2), 15 提交时间：2012年4月16日上午8:00

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