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Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos 2º Semestre de 2012

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos 2º Semestre de 2012. Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos 2º Semestre de 2012.

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Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos 2º Semestre de 2012

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  1. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Capítulo 3 Introdução à Probabilidade E à Inferência Estatística

  2. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 A ciência do comportamento aleatório é necessária para compreender a Estatística, a ciência dos dados.

  3. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Um fenômenoaleatório tem resultados que não podemos predizer, mas que, não obstante, possui uma distribuição regular em uma grande quantidade de repetições.

  4. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda. Característica: Dois resultados possíveis: Cara ou Coroa Não é possível afirmar a priori qual o resultado que vai ocorrer no lançamento da moeda. É possível definir uma distribuição regular?

  5. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda. O que podemos entender como uma distribuição regular? Qual o comportamento da ocorrência de cada possível resultado em uma longa sequência de repetições do fenômeno, realizadas sob as mesmas condições. No Exemplo: Qual o comportamento do número de caras (ou de coroas) quando uma moeda é lançada um grande número de vezes.

  6. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. A cada lançamento determinar a proporção de caras (ou coroas) observadas até aquele lançamento. Por exemplo: Até o 10º lançamento, foi observado cara em 7 dos lançamentos realizados, logo a proporção de caras é de 0,7 (70%).

  7. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. Considere as duas situações a seguir: A: Ocorre as seguintes faces nos primeiros lançamentos: coroa, cara, coroa, coroa. B: Ocorre face cara em todos os 5 primeiros lançamentos.

  8. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. LOGO: • Para o ensaio A,a proporção de caras inicia com zero no 1º lançamento, sobe para 0,5 quando no segundo lançamento dá uma cara, cai para 0,33 e 0,25 quando obtemos mais 2 coroas. • Para o ensaio B,a proporção de caras é 1 até o 5º lançamento. O ensaio A inicia com poucas caras e o B com muitas.

  9. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. Consequentemente: A proporção de lançamentos com caras varia bastante no início. QUESTÃO: O que ocorre à medida que fazemos mais e mais jogadas?

  10. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Ensaio A Ensaio B

  11. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. CONCLUSÃO: O comportamento do acaso é imprevisível a curto prazo, mas tem um padrão regular e previsível a longo prazo. O resultado não pode ser predito antecipadamente. Porém, há um padrão regular nos resultados, um padrão que emerge após muitas repetições.

  12. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 ALEATORIEDADE: Considere 5000 lançamentos de uma moeda. Após uma longa sequência de lançamentos da moeda, a proporção de caras (consequentemente também de coroas) é aproximadamente 0,5 (50%).

  13. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Uma definição de Probabilidade: Considere que: Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um evento. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, têm aspectos diferentes que os distinguem entre si. Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A, então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.

  14. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Uma definição de Probabilidade: Exemplo 1: Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um dado equilibrado? Solução: Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a probabilidade de ocorrer face 6 é 1/6.

  15. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Uma definição de Probabilidade: IMPORTANTE: Éimportante entender que a definição clássica de probabilidade não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa série de jogadas.

  16. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Uma definição de Probabilidade: Definição 2:Frequência relativa doevento A é a razão entre o número de vezes em que ocorreu A (nA)e o número de eventos observados (n). IMPORTANTE: É importante entender que, se em uma longa sequência de repetições do fenômeno, nas mesmas condições, a frequência relativa de um evento se aproxima de um número fixo, esse número é uma estimativa da probabilidade do evento ocorrer.

  17. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 Uma definição de Probabilidade: Exemplo 2: Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são igualmente prováveis)? Solução: Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande de vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de lançamentos feitos.

  18. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: • Definição 3: • Ω = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. • Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo 1: Fenômeno Aleatório: Lançamento de uma moeda. Ω = {cara, coroa} Evento: Face observada é cara.

  19. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento 1: Face observada é SEIS. Evento 2: Face observada é ÍMPAR. Evento 3: Face observada é maior ou igual a 4. Evento 4: Face observada é PAR.

  20. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz três lances livre. Quais são as possíveis sequências de acertos (A) e erros(E)? Ω =??? Ω= {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23

  21. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Ω= {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23 Evento F: O jogador acerta os três lances; Evento G: O jogador erra dois lances; Evento H: O jogador acerta o segundo lance; P(F) = 1/8 P(G) = 3/8 P(H) = 4/8

  22. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz três lances livre. Qual o número de cestas feitas? Ω =??? Ω = {0, 1, 2, 3} P(0) = ?? P(1) = ?? P(2) = ?? P(3) = ??

  23. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Exemplo 4: Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa sobre uma nova dieta para alimentar ratos machos brancos. Quais são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)? Ω = ??? Ω = [0, ∞] = (todososnúmeros ≥ 0)

  24. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Finitos Dado:Ω= {1,2,3,4,5,6} ESPAÇOS AMOSTRAIS: Peso:Ω= [0, ∞] = (todososnúmeros ≥ 0) Infinitos

  25. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Questão: Como calcular probabilidades quando o espaço amostral é infinito (contínuo)? Exemplo:Densidadeuniforme. A probabilidade de distribuirmos uniformemente a variável Y dentro de 0.3 e 0.7 é a área sob a curva de densidade correspondente a esse intervalo. Então: P(0.3 ≤ Y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4 Existemmuitosoutrostipos de curvas de densidades.

  26. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Definição 4: Dois eventos são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se eles não tiverem nenhum resultado em comum, portanto nunca ocorrem juntos. A  B =   P(A  B) = 0

  27. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Definição 5: Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a probabilidade de um outro evento ocorrer. Exemplo: No lançamento de uma moeda, o resultado do primeiro lançamento (cara, por exemplo) NÃO ALTERA a probabilidade de dar cara ou coroa no segundo lançamento.

  28. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Propriedade 1: A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1 Propriedade 2: A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(Ω) = 1 Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1 Propriedade 3: A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do evento ocorrer. P(Ac) = 1 – P(A) Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5

  29. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Propriedade 4: Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A probabilidade de que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é: P(A ou B) = P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

  30. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Propriedade 4: Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas? Então:P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3 1 3 12

  31. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha ocorrido. • Exemplo:A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.

  32. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Propriedade 5: A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que P(A) > 0) A = Retirado um Rei B = Carta Retirada é de Copas Ex:

  33. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Se A e B são independentes: Desta forma, se A e B são independentes:

  34. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: IMPORTANTE: A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos: A e B são independentes:

  35. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO. A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B, ocorram conjuntamente pode ser dada por: P(A e B) = P(A  B) = P(A) P(B|A) Caso particular: A e B são independentes.

  36. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES O diagrama de árvores representa graficamente todos os possíveis resultados e apresenta as probabilidades condicionais de subconjuntos de eventos. Diagrama de árvores para hábitos de conversar em sites de bate-papo, para três grupos de idade adulta. Uso de Internet 0.47

  37. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 definições e propriedades: Qual a probabilidade de encontrarmos um indivíduo que utiliza o bate-papo na internet? Uso de Internet 0.47 P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) = P(C  A1) + P(C  A2) + P(C  A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) = = 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252

  38. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: No capítulo anterior definimos alguns procedimentos gráficos e numéricos para descrever o comportamento de uma dada característica (variável) presente no nosso estudo. Sob o ponto de vista da probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido como a distribuição da mesma. Na identificação da distribuição dos dados, vamos nos concentrar no estudo de variáveis quantitativas. Neste caso, o histograma se constitui num instrumento de grande importância na identificação de um modelo adequado aos dados.

  39. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter uma boa descrição geral dos dados. A curva obtida é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição idealizada, que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas ignora irregularidades de menor importância, bem como a presença de valores atípicos.

  40. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE:

  41. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: A figura apresenta o histograma do peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. O peso apresenta uma distribuição muito regular.O histograma é simétrico e decresce suavemente a partir de um pico central único na direção de ambas as caudas.A curva suave traçada através do topo das barras do histograma é uma boa descrição do padrão geral dos dados.

  42. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: • A análise do histograma indica que: • a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; • a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55; 85); • existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

  43. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: Uma curva com uma forma apropriada é, geralmente, uma descrição adequada do padrão geral de uma distribuição. Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é descrito exatamente por uma dessas curvas, mas sim se constitui em uma boa aproximação de fácil utilização e com precisão suficiente para ser considerada na prática.

  44. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: Sabemos que características (variáveis) em estudo para determinados problemas apresentam um mesmo padrão de comportamento. Portanto, estas variáveis podem ser aproximadas por uma mesma curva, exceto por seus valores de referência, como por exemplo, ponto central, dispersão...

  45. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo padrão de comportamento seguem um mesmo modelo (ou distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade pode então ser definido como uma descrição matemática de um fenômeno aleatório (ou variável aleatória, de maneira mais formal).

  46. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: MODELOS DISCRETOS DOIS TIPOS DE MODELOS: MODELOS CONTÍNUOS

  47. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: MODELOS DISCRETOS: Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem assumir um número finito ou enumerável de valores. MODELOS CONTÍNUOS: São aqueles relacionados às variáveis que podem assumir infinitos valores.

  48. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE:

  49. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: Outros Modelos: t de Student, Gama, Beta, Weibull, Erlang, .....

  50. Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos2º Semestre de 2012 MODELOS DE PROBABILIDADE: • Observações: • Para determinadas situações, modelos discretos podem ser aproximados (representados) por um modelo contínuo. Por exemplo, num caso binomial em que o número de repetições do experimento é grande, pode-se analisar a variável em estudo pelo modelo normal. • Os modelos aqui apresentados referem-se à distribuição de uma única variável. Podemos em alguns casos ter interesse no comportamento conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses casos, temos os chamados modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão objetos de estudo nesse curso.

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