数列求和习题课

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a1(1-qn) a1-anq (1) Sn= (2) Sn= 1-q 1-q 1 等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2 2 等比数列求和公式： q≠1 q≠1 当q=1时,Sn=na1

一、知识要点 [等差（比）数列的性质]

练习：等差数列{an}中, 则此数列前20项的和等于（） A.160 B.180 C.200 D.220 ① + ② 得：解： ① ② B

换元法

练习: 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2 方法：直接求和法

例1 求数列 x, 2x2,3x3,　…nxn，… 的前n项和。 解： ⑴当x=0时 Sn=0 ⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x ≠ 0且x≠1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn ① xSn= x2 +2x3+3x4…+ (n-1)xn +nxn +1 ② ①－②得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ …+xn - nxn +1 化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

0 (x=0) 综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x ≠ 0且x≠1）

小结 1: “错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列.

练习 1 求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和.

例2：求和 解：∵数列的通项公式为

小结2： 方法：此方法应注意：把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。本题利用的是“裂项相消法”，此法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N*)的一次函数。

分析： 练习 2：求和接下来可用“裂项相消法”来求和。

例 3：求和 解：

小结 3： 本题利用的是“分组求和法” 方法：把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。

练习 3 求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1) 分析：利用“分解转化求和”

总结： 常见求和方法适用范围及方法直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序求和等差数列的求和方法错位相减数列{ anbn}的求和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。裂项相消分组求和法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。

巩固练习(今日作业)： 的前项和 ⑴求的前 ⑵求数列项和

(4) 求和: （5）求和:

作业：P61. 4 再见！

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