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확률변수의 기대값 , 분산 등

확률변수의 기대값 , 분산 등. 기대값 분산 표준화 과정 공분산과 상관계수 조건부 기대값과 조건부 분산 (6. 누적확률분포함수 ) 7. 종합 8. 적률과 적률모함수. 1. 기대값. 어느 확률 변수 X 의 기대값. Notation : E [ X ] 혹은 혹은. E xpectation. 주사위를 던져 나오는 수 : X. X 의 기대값 ?. E [ X ]=1*(1/6)+2*(1/6)+ . . . .+6*(1/6) =3.5.

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확률변수의 기대값 , 분산 등

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Presentation Transcript

  1. 확률변수의 기대값, 분산 등

  2. 기대값 • 분산 • 표준화 과정 • 공분산과 상관계수 • 조건부 기대값과 조건부 분산 • (6. 누적확률분포함수) • 7. 종합 • 8. 적률과 적률모함수

  3. 1. 기대값 어느 확률 변수 X 의 기대값 Notation: E[X] 혹은 혹은 Expectation

  4. 주사위를 던져 나오는 수 : X X의 기대값 ? E[X]=1*(1/6)+2*(1/6)+ . . . .+6*(1/6) =3.5 즉X: DRV일 때 확률변수 X의 기대값은 이와 비슷하게 X : CRV 이라면

  5. 기대값 계산의 예(DRV의 경우) 주사위를 던져 나오는 수의 제곱에 10배를 상금으로 준다고 할 때 상금의 기대값은 ? 주사위를 던져 나오는 수 : X 상금 : Y

  6. 확률변수 X의 확률함수 가 주어져 있고 의 관계가 있을 때

  7. 기대값 계산의 예 : (1) 두 확률변수가 독립 ? Yes ! (2) E[X] = 2*(1/2)+4*(1/2) = 3 (3) E[Y] =1*(1/4)+3*(3/4) = 2.5

  8. 기대값 계산의 예 : CRV의 경우 답 : 4/3

  9. 기대값 계산의 예 (1) 두 확률변수가 독립 ? 두 확률변수는 서로 독립 !

  10. (2) E[X] = ? (3) E[Y] = ?

  11. 기대값 계산의 예 :

  12. 기대값 계산의 예 : CRV의 경우 (1차 적률) (2차 적률) (3차 적률) . . . . . . . . (k차 적률)

  13. 기대값의 몇 가지 성질 • E[a] = a • (2) E[a X] = a E[X] • (3) E[a X + b] = a E[X] + b

  14. 일 때 답 : 3

  15. 2. 분산 , Variance 어느 확률변수 X의 분산 Notation : Var[X] 혹은 혹은 로 정의된다. Note : = 표준편차(standard deviation)

  16. 또한 일 때 다음의 사실을 이미 알고 있다. 이라고 할 때,

  17. 1. 혹은 2. 3. 분산의 몇 가지 성질

  18. 그리고 Y = 2X - 3 E[X]=10, Var[X]=100 답 : 17 E[Y ] = ? Var[Y ] = ? 답 : 400

  19. 분산 계산의 예 : DRV 경우(앞서 예) E[X]=3, E[Y]=2.5를 이미 알고 있다. 2 E[X ] = 4*(1/2)+16*(1/2)=10 Var [X] = 10 – 9 = 1

  20. 분산 계산의 예 : CRV 경우(앞서 예) 앞서 E[X] = 2/3를 계산하였다. Var[X] = 1/18

  21. Var[X]=1/18 일 때 Var[X+10]=1/18 Var[5X]=25/18 Var[5X+10]=25/18 그리고 E[X]=2/3 라고 한다면 =1/18+(4/9) = 1/2

  22. 3. 표준화 과정 평균을 0, 분산을 1로 전환시키는 방법 확률변수 X의 평균이 이고, 분산이 표준화 :

  23. 확률변수 X의 평균이 이고, 분산이 예 : 표본평균 는 평균이 이고, 분산이 이다. 의 평균은 0이고 분산이 1이 된다. 새로운 확률변수Z는 평균이 0, 분산이 1이 된다. (이에 대한 증명은 추후 할 것임)

  24. Notation : 공분산 Covariance Cov[X, Y] 혹은 상관계수 correlation coefficient 4. 공분산과 상관계수

  25. (1) 공분산 혹은 (해 볼 것) 혹은

  26. E[X]와 E[Y]를 구하는 방법에 대해서는 앞서 공부 만약 E[X], E[Y], E[XY]를 계산할 수 있다면 를 계산할 수 있을 것이다.

  27. 공분산 계산의 예 : 앞의 예(DRV의 경우) 앞서 E[X]= 3, E[Y]= 2.5 를 이미 계산하였다 Cov[X,Y] = 15/2 - 3*(5/2) = 0 Note: 앞서 두 변수 간에 독립관계가 성립한다고 하였다.

  28. 만약 두 변수 X, Y : 독립이면 이 성립하고, 이 성립한다. (해 볼 것)

  29. 두 변수 X,Y : 독립 Cov[X,Y]=0 Note:

  30. x y 0 1 2 3 1 0 1/9 1/9 1/9 1/3 2 1/3 0 0 0 1/3 3 0 1/9 1/9 1/9 1/3 3/9 2/9 2/9 2/9 Cov[X,Y]=0 그러나 독립이 아닌 예: 교재 96쪽 E[XY] = 24/9, E[X] = 2, E[Y] = 4/3 Cov[X,Y]=0 : 독립이 아님 따라서 공분산=0 독립

  31. 공분산 계산의 예 : CRV의 경우

  32. 분산 및 공분산의 성질 (풀어 볼 것) 0 만약 모두 독립

  33. 일반화 : 확률변수들 만약 모든 확률변수들이 독립

  34. Var[X]=10, Var[Y]=20, Cov[X,Y]=5 Var[3X-2Y]=110

  35. (2) 상관계수 만약 X, Y: 독립 Cov[X,Y]=0 앞서 표준편차, 공분산이 계산되면 상관계수를 계산

  36. 를 알고 있다면 혹은 조건부기대값을 다음과 같이 구한다 로 표기하기도 한다 5. 조건부 기대값과 조건부 분산

  37. 를 알고 있다면 혹은 조건부분산을 다음과 같이 구한다 편차 = 분산은 편차의 제곱의 기대값인데, Y = y라는 정보를 알고 있는 경우에는 이 정보를 이용하여야 할 것이다. 편차의 제곱의 기대값에서도Y = y라는 정보를 이용

  38. 로도 표기한다 이와 비슷하게 X=x로 주어져 있을 때, Y의 분산은

  39. 조건부 기대와 분산 계산의 예: CRV의 경우 (1)

  40. (2)

  41. 0 1 2 3 x y 1 0 1/9 1/9 1/9 1/3 2 1/3 0 0 0 1/3 3 0 1/9 1/9 1/9 1/3 3/9 2/9 2/9 2/9 조건부 기대와 분산 계산의 예: DRV의 경우 (1)

  42. (2) (해 볼 것)

  43. 6. 누적확률분포함수 확률(밀도)함수 f(x)가 주어져 있을 때 : F는 non-decreasing function of x

  44. Note (1) DRV의 경우 그리고 (2) CRV의 경우

  45. f(x) 1 3/4 1/4 0 1 2 예 : DRV의 경우 x

  46. 예 : CRV의 경우

  47. 의 예 : DRV의 경우

  48. 의 예 : CRV의 경우

  49. 결합누적확률분포함수

  50. 7. 종합 독립 ?

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