Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

1. Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

2. תזכורת: משחקי פוטנציאל

3. “R”‏ “E”‏ 0‏ 1‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ 1‏ 2‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

4. הגדרה: • נאמר שמשחקהוא משחק פוטנציאל אם קיימת פונקציה • Φ:A1 x A2x A3 ···x An R • כך שלכל מתקיים: • Φ(ai, a-i) – Φ(a’i, a-i) = ui(ai, a-i) – ui(a’i, a-i) • cvb

5. פונקצית פוטנציאל טענה: למשחק פוטנציאל סופי יש שיווי משקל טהור. “R”‏ “E”‏ 0‏ 1‏ “R”‏ 4 , 4‏ -1 , 5‏ 1‏ 2‏ “E”‏ 5 , -1‏ 0 , 0‏

6. לא כל משחק הוא משחק פוטנציאל • למשל, במשחק זוג או פרט אין שיווי משקל נאש באסטרטגיות טהורות, ובפרט זה אינו משחק פוטנציאל • 10 • 8K 2+K • 2-K ? ?

8. מחיר היציבות Priceof Stability (PoS) מחיר האנרכיהPriceof Anarchy (PoA)

9. מוטיבציה מחיר היציבות ומחיר האנרכיה הם מדדים שימושיים להערכה אופטימיתופסימיתשל חוסר יעילות של מערכת במקרה הגרוע (למשל, במקרים של ריבוי שיוויי משקל)

10. “R”‏ “E”‏ “R”‏ 4, 4‏ -1, 5‏ “E”‏ 5, -1‏ 0, 0‏

11. “R”‏ “R”‏ “E”‏ “E”‏ “R”‏ 90, 90‏ -1, 99‏ “R”‏ 4, 4‏ -1, 5‏ “E”‏ 99, -1‏ 0, 0‏ “E”‏ 5, -1‏ 0, 0‏

12. מוטיבציה נתעניין במחלקות של משחקים בהם הרווחה החברתית המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי.

13. NE PNE

14.  NE  PNE 

15. מוטיבציה נתעניין במחלקות של משחקים בהם הרווחה החברתית המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי. וכנ"ל עבור העלות החברתית

17. משחק בניית רשת • נתון גרף מכוון G(V, E) • בניית קשת e בגרף Gעולה c(e) • יש k> 2 שחקנים • לכל שחקן i יש קודקוד התחלה siוקודקוד מטרה ti • כל שחקן צריך לבחור מסלול piמקודקוד si אל tiבגרף G • כל שחקן ישלם עבור המסלול שהוא בחר באופן הבא: ci (pi, p-i) = ∑ c(e)/ l(e, p) l(e, p) הוא מספר השחקנים שהקשת eשייכת למסלול שלהם באוסף המסלולים (pi, p-i) = p epi

18. עלות חברתית • העלות החברתית של אוסף מסלולים p1, p2, …, pk היא העלות הכוללת של כל השחקנים: ∑ ici (pi, p-i) = p1, p2, …, pk)cost (

19. דוגמא • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε • יש k> 2 שחקנים • לכל שחקן i יש קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti

20. דוגמא • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε • יש k> 2 שחקנים • לכל שחקן i יש קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti • אם כל השחקנים ישתמשו בקשת השמאלית לבניית המסלול, אז כל שחקן iישלם 1 = = ci העלות החברתית היא k

21. דוגמא • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε • יש k> 2 שחקנים • לכל שחקן i יש קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti • אם שחקן 1 ישתמש בקשת הימנית לבניית המסלול שלו, אז הוא ישלם וכל השאר ישלמו כל אחד העלות החברתית הכוללת היא

22. דוגמא עם שיווימשקל יחיד • שחקן iמעוניין במסלול מ-si אל t • עלות חברתית אופטימליתהיא 1+ε • אבל, זהו לא שיווי משקל כי לשחקן k כדאי לסטות • ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן k-1 כדאי לסטות וכו' • עלות חברתית של שיווי המשקל היא: Θ(log k) = =

23. משפט: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל (ולכן תמיד קיים שיווי משקל טהור). הוכחה: בהמשך

25. מחיר האנרכיהPriceof Anarchy (PoA)

26. הגדרה הגדרה: מחיר האנרכיה Price of Anarchy (PoA) יוגדר להיות היחס הבא: העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המכסימלית העלות החברתית המינימלית הערות: • ככל שהיחס קטן יותר כך מחיר האנרכיה נמוך יותר. • עבור רווחה חברתית נתעניין ברווחה האופטימלית חלקי הרווחה של שיווי המשקל עם העלות המינימלית.

27. משפט: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת <k, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoAk. (כלומר הוא k חסם הדוק) הוכחה: יהי P*1, P*2, …, P*k)( שיווי משקל נאש טהור, ויהי Q1, Q2, …, Qk) ( הפתרון שעלותו החברתית מינימלית. נסמן OPT= Q1, Q2, …, Qk)cost ( בשיווי משקל מתקיים: cost (Pi)costi(P*i, P*-i) < לכל Pi. אחרת, שחקן i היה בונה לבד את המסלול Pi , ולכן: OPT<min cost (Pi)costi (P*i, P*-i) < כי OPT מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-siל- ti

28. משפט: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת <k, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoAk. הוכחה: יהי q1, q2, …, qk)( שיווי משקל נאש טהור. יהי p*1, p*2, …, p*k) (הפתרון שעלותו החברתית מינימלית. נסמן: OPT= p*1, p*2, …, p*k)cost (. בשיווי משקל מתקיים: cost (pi)costi(qi, q-i) <costi (pi, q-i) < לכל pi. אחרת, שחקן i היה בונה לבד את המסלול pi. בפרט: cost (pi)mincosti (qi, q-i) < בנוסף: OPT<min cost (pi) כי OPT מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-siל- ti. נקבל:k · OPT<costi (qi, q-i) ∑.

29. מחיר האנרכיה = k נסתכל על המשחק שבדוגמא • שיווי משקל עם עלות חברתית k: כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית • פתרון עם עלות מינימלית: כל השחקנים בונים את הקשת הימנית • הערה:זהו גם שיווי משקל • כאשר אפסילון שואף לאפס:PoA = = k • הערה: לא ייתכן שיווי משקל עם עלות חברתית > k ע"פ מה שהוכח קודם

31. מחיר היציבות Priceof Stability (PoS)

32. הגדרות הגדרה: מחיר האנרכיה Price of Anarchy (PoA) יוגדר להיות היחס הבא: העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המכסימלית העלות המינימלית הגדרה: מחיר היציבות Price of Stability (PoS) יוגדר להיות היחס הבא: העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המינימלית העלות המינימלית

34. דוגמא, מחיר היציבות נסתכל על המשחק שבדוגמא. • שיווי משקל: כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית • פתרון עם עלות מינימלית: כל השחקנים בונים את הקשת הימנית • הערה:זהו גם שיווי משקל • כאשר אפסילון שואף לאפס:PoS = = 1

36. משפט: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל (ולכן תמיד קיים שיווי משקל טהור). הוכחה: • נגדיר תחילה את פונקצית הפוטנציאל המתאימה למשחק.

42. משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS. הוכחה:

43. משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS. הוכחה:

44. משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS. הוכחה:

45. משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS. הוכחה:

46. משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS. הוכחה:

47. דוגמא שעבורה:PoS • שחקן iמעוניין במסלול מ-si אל t • עלות חברתית אופטימליתהיא 1+ε • אבל, זהו לא שיווי משקל כי לשחקן k כדאי לסטות • ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן k-1 כדאי לסטות וכו' • עלות חברתית של שיווי המשקל היא: Θ(log k) = =

48. לסיכום, עבור משחק בניית רשת:מחיר האנרכיה = kמחיר היציבות =

50. כמה הערות נוספות על מחיר האנרכיה