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二項分配與常態分配

二項分配與常態分配. 期望值與變異數的性質. X 為隨機變數 , a,b 為常數 E[ aX+b ]= aE [X]+b Var ( ax+b )=a 2 Var(X) X 與 Y 為隨機變數 , a,b 為常數 E[ aX+bY ]= aE [X]+ bE [Y]. 兩獨立隨機變數的定義. 隨機變數 X 取值為 x 1 , x 2 ,…, x n 隨機變數 Y 取值為 y 1 ,y 2 ,…, y n 若 {X= x j } 的事件與 {Y= y k } 的事件獨立 則稱 X 與 Y 是獨立的隨機變數. 獨立隨機變數的期望值與變異數.

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二項分配與常態分配

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Presentation Transcript

  1. 二項分配與常態分配

  2. 期望值與變異數的性質 • X為隨機變數,a,b為常數 • E[aX+b]=aE[X]+b • Var(ax+b)=a2Var(X) • X與Y為隨機變數,a,b為常數 • E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

  3. 兩獨立隨機變數的定義 • 隨機變數X取值為x1, x2 ,…,xn • 隨機變數Y取值為y1,y2,…,yn • 若{X=xj}的事件與{Y=yk}的事件獨立 • 則稱X與Y是獨立的隨機變數

  4. 獨立隨機變數的期望值與變異數 • E[XY]=E[X]E[Y] • Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

  5. 例題4 • 連續投擲一公正骰子2次，以X表示出現點數的和，求X的期望值與變異數 • 設X1、X2為第1、2次擲出的點數 • 則E[X1]=1/6(1+2+…+6)=7/2 • 且E[X2]=1/6(1+2+…+6)=7/2 • 故E[X]=E[X1]+E[X2]=7

  6. Var(X1)=E[X12]-E[X1]2 • =1/6(12+22+…+62)-(7/2)2=35/12 • Var(X2)=35/12 • 因為X1和X2是獨立事件 • Var(X)=Var(X1)+Var(X2)=35/6

  7. 隨堂練習4 • 一袋中有寫著10,30,80號碼的卡片各一張，自袋中隨機取卡片兩次，一次一張，取後放回，以隨機變數X表示兩次的號碼和，求X的期望值與變異數 • 設X1及X2分別為第1,2次的隨機變數 • E[X]=E[X1]+E[X2]=2(1/3(10+30+80))=80 • 因為是獨立的兩件事 • Var(X)=Var(X1)+Var(X2) • =2(1/3(102+302+802)-402))=5200/3

  8. 例題5 • 若X與Y為獨立的隨機變數，其變異數分別是9與16，求Var(2X+Y)與Var(2X-3Y) • Var(2X+Y)=Var(2X)+Var(Y)=4Var(X)+Var(Y)=4*9+16=52 • Var(2X-3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+ 9Var(Y) =4*9+9*16=180

  9. 隨堂練習5 • 若X與Y為獨立的隨機變數，且Var(X)=1, Var(Y)=10,求Var(3X+4Y) • Var(3X+4Y)=Var(3X)+Var(4Y)=9Var(X)+16Var(Y)=9*1+16*10=169

  10. 二項分配的定義 • 二項分配B(n,p)中， n為實驗次數，p為成功機率，如果k是成功次數，則

  11. 例題6 • 連續投擲一均勻硬幣5次，以隨機變數X表示出現正面的次數，求X的機率分配。 • n=5,p=1/2

  12. 隨堂練習6 • 連續投擲一公正骰子3次，以隨機變數Y表示出現點數5的次數，求Y的機率分配。 • n=3,p=1/6

  13. 二項分配的期望值,變異數,標準差

  14. 例題7 • 連續投擲一公正骰子5次，以隨機變數X表示出現點數6的次數，求X的期望值、變異數與標準差。 • n=5,p=1/6

  15. 隨堂練習7 • 連續投擲一均勻硬幣5次，以隨機變數X表示出現正面的次數，求X的期望值、變異數與標準差。 • n=5,p=1/2

  16. 二項分配與常能分配 • 考慮X~B(10,1/2)的二項分配，則

  17. 二項分配與常能分配

  18. 二項分配與常態分配 • 與期望值相差1個標準差的範圍為 • 3.42=5-1.58≤X ≤5+1.58=6.58 • 因為X取值範圍為整數 • 教實際上是4 ≤X ≤6 • 而由上一張投影片 • P({4 ≤X ≤6})=0.65625

  19. 二項分配與常態分配 • 與期望值相差2個標準差的範圍為 • 1.84=5-2*1.58≤X ≤5+2*1.58=8.16 • 因為X取值範圍為整數 • 教實際上是2 ≤X ≤8 • 而由之前投影片 • P({2 ≤X ≤8})=0.978512

  20. 二項分配與常態分配 • 與期望值相差3個標準差的範圍為 • 0.26=5-3*1.58≤X ≤5+3*1.58=9.74 • 因為X取值範圍為整數 • 教實際上是1≤X ≤9 • 而由之前投影片 • P({1≤X ≤9})=0.998074

  21. 二項分配與常態分配 • 在二項分配B(10,1/2)中 • 差1,2,3個標準差範圍內的值約為 • 65.6%─97.9%─99.8% • 在常態分配中 • 差1,2,3個標準差範圍內的值約為 • 68%─95%─99.7% 非常相似

  22. 二項分配與常態分配

  23. 二項分配與常態分配

  24. 例題8 • 設X是參數B(5,1/6)之二項分配的成功次數，計算 • 可得E[X]=5/6,σ=5/6

  25. 隨堂練習8 • 同例題8，計算

  26. 二項分配與常態分配 • 二項分配B(n,p)我們是以X當做為成功次數的隨機變數，如果我們想要了解的不是每次的成功次數，而是平均的成功次數時情況會變怎樣呢？ • 而這也就是討論變數

  27. 二項分配與常態分配

  28. 二項分配與常態分配 • 注意到，這裡的平均數(期望值)和標準差就變得和之前信賴區間和信心水準時的情況一樣，也就是如在95%的信心水準下的信賴區間為

  29. 例題9 • 連續投擲一公正骰子500次，以 表示這500次所出現5點的比率，計算 的期望值及標準差，並估計離期望值3個標準差範圍內機率。

  30. 要估計三個標準差範圍內的機率有多少，因為母體n=500很大，趨近常態分配，所以在期望值相距3個標準差範圍內的機率約99.7%要估計三個標準差範圍內的機率有多少，因為母體n=500很大，趨近常態分配，所以在期望值相距3個標準差範圍內的機率約99.7%

  31. 隨堂練習9 • 連續擲一均勻硬幣2500次，以 表示出現正面次數的比率，計算 的標準差，並做計 會落在與期望值相距2個標準差範圍內的機率 • 2個標準差範圍內的機率為95%

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