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2.2.1 椭圆的标准方程. ( 第二课时 ). 复习回顾:. ♦ 1 求动点轨迹 方程的一般步骤:. ( 1 )建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点 M 的坐标; ( 2 )写出适合条件 P 的点 M 的集合; ( 可以省略, 直接列出曲线方程 ) ( 3 )用坐标表示条件 P ( M ),列出方程 ( 5 )证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ( 可以省略不写 , 如有特殊情况,可以 适当予以说明 ). ( 4 )化方程 为最简形式;. 坐标法. 1. 建系.
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2.2.1椭圆的标准方程 (第二课时)
复习回顾: ♦ 1求动点轨迹方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略, 直接列出曲线方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当予以说明) (4)化方程 为最简形式; 坐标法 1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程
y y M F M 2 1 o o x x F F 1 2 F 不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 2.两类标准方程的对照表 MF1+MF2=2a (2a>2c>0) 定 义 图 形 方 程 F(0,±c) F(±c,0) 焦 点 c2=a2-b2 a,b,c之间的关系 注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 ,写出焦点坐标. 练习: 1.口答:下列方程哪些表示椭圆? ?
新课讲解: y x O F1 F2 例1 : 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆, 它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程. 解: 以两焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则这个椭圆的标准 方程可设为 根据题意有 即 因此,这个椭圆的标准方程为
1、 已知椭圆的方程为: ,请填空: (1) a=__,b=__,c=__,焦点坐标为___________,焦距等于__. (2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点, 并且CF1=2,则CF2=___. 变题:若椭圆的方程为 ,试口答完成(1). 若方程 表示焦点在y轴上的椭圆, 求k的取值范围; 探究: 练习: (-3,0)、(3,0) 6 4 5 3 8 若方程表示椭圆呢?
或 y P 又∵椭圆经过点 F2 ∴ ……② x F1 ∴椭圆的标准方程为 联立①②可求得: 例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4,b=1,焦点在 x轴上; (2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上; (3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经 过点P(-1.5 ,2.5). (法一) 解: 因为椭圆的焦点在y轴上, 设它的标准方程为 ∵c=2,且 c2= a2- b2 ∴ 4= a2 -b2 ……①
y P F2 x F1 (法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知, 所以所求椭圆的标准方程为
变式:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是. 练习: 已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是. (0,4) (1,2)
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上; 答案: 练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点; (4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3). 小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.
y 设所的曲线上任一点的坐标为(x,y),圆 =4上的对应点的坐标为(x’,y’),由题意可得: o x 因为 =4 所以 即 例3 :将圆 = 4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程, 并说明它是什么曲线? 解: 1)将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长),可以得到椭圆。 2)利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法;
练习 1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5, 则P到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.4 D.10 A 2.椭圆 的焦点坐标是( ) A.(±5,0)B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0) C
3.已知椭圆的方程为 ,焦点在X轴上, 则其焦距为( ) A 2 B 2 C 2 D 2 A • ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程 • 是 __________. 练习:P26 1、2、3
例4 已知圆A:(x+3)+y=100,圆A内一 定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,求圆心 P的轨迹方程. 解:设|PB|=r. ∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆. ∴2a=10, 2c=|AB|=6, ∴a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16. 即点P的轨迹方程为 =1.