機率 (Probability)

機率(Probability) 機率與統計的關係樣本空間及事件機率基本概念及性質計數技巧條件機率、獨立事件及貝氏定理

機率與統計的關係 • 機率是推論統計的理論基礎。使用民意調查做簡單的說明 • 想知道全台灣成年民眾對承認大陸學歷的看法。 • 訊息可以如何取得？ • 藉由抽樣做民意調查，因為母體太大了，不可能問得到每一個人的意見。 • 一般民調要訪問多少人？ • 可以把一千多個人的意見，當作一千多萬人意見的估計，又如何知道估計得好不好呢?關鍵在於抽樣方式。 • 使用正確的方式抽樣，不僅能得到相當可靠的結果，還能評估誤差大小。所謂正確的抽樣方式，就是指隨機抽樣。 • 隨機抽樣的結果背後會有一個架構。 • 如果用相同的隨機抽樣方式重複不斷地抽樣(樣本大小固定)，雖然每次抽樣的結果會有所變化，且事前無法預測，但若把所有可能的結果放在一起考慮，必定會符合某種機率模型；這個模型描述了樣本結果和母體之間的關係，我們就可以據以評估樣本結果的好壞，而且還可以利用機率式子把誤差大小表示出來。 • 推論統計的根本就是隨機抽樣，其理論基礎就是機率。如果胡亂抽樣，因為不可能找得出樣本和母體之間的關聯，也就無法評估誤差，所做出的結果則和瞎猜沒兩樣。

隨機實驗 任何一個不能事先確定結果的過程，我們把它統稱為「試驗」。隨機實驗(random experiment) 是一種過程(process)，是一種不能確定預知會發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可能的結果之一，但實驗前並未能正確的、肯定的預知它是何種結果。隨機實驗可重複進行，而經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某一些統計規則。 • 一個實驗若具有下列四種特性，就被稱為隨機實驗(random experiment) 。 • 此實驗之全部可能結果，均可事先預知。 • 正在執行此實驗時，無法預測將會出現何種結果。 • 此實驗在相同條件下，可重複執行。 • 若此實驗重複執行許多次，則會出現一些可預測之統計規則。

樣本空間 定義(樣本空間，sample space) 一項試驗所有可能發生的結果所構成的集合，叫做該試驗的樣本空間，常用符號S或Ω表示，且該集合中的元素稱為樣本點。例：擲一顆骰子，骰子丟擲之後出現的點數，必定是1、2、3、4、5、6的其中之一，這些可能點數所構成的集合 S={1,2,3,4,5,6} 例：想知道某企業生產LED燈管的壽命，則 S={t|t0}

例3.2-1 連續丟擲一枚硬幣三次，觀察哪一面朝上，寫出樣本空間。解：每一次的結果都可能是正面(head)或反面(tail)，如果用H代表正面， T代表反面，則樣本空間為 S1 = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 例3.2-2 連續擲一枚硬幣三次，觀察正面出現的次數，試寫出樣本空間。解：將一枚硬幣連擲三次的正面總數，可能是0、1、2或3，所以樣本空間為 S2= {0,1,2,3} 註：如果所擲的是平衡的硬幣，即正、反面機率完全一樣，例3.2-1樣本空間中八個樣本點的發生機率都會相同。

事件定義(事件，event) 樣本空間的任一子集均稱為事件，當試驗結果為該事件當中任一樣本點時，我們稱該事件發生了。連續擲一枚硬幣三次之後，我們想知道，正面是否至少出現兩次。 A= { HHH,HHT,HTH,THH } ，則明顯可見A是例3.2-1樣本空間S1的子集(也稱部份集合)，這叫做一個事件(event)。

事件表達方法 假設我們連續擲一枚硬幣三次，並關心正面是否至少出現兩次這件事，可以用兩種方式表達：一、描述方式令A代表「正面至少出現兩次的事件」二、用集合表示 A = { HHH, HHT, HTH, THH} 試驗結果是HHH, HHT, HTH, THH當中的任意一個，我們就說「事件A發生了」。若試驗結果落在A集合外面時(例如擲出TTH的結果)，則我們說A沒有發生；但是結果若落在A的外面，就必定落在A的補集裡，所以我們可以做出結論：『若A沒發生，則A的補集Ac必有發生』

補集定義(補集，complement) A的補集Ac代表「A沒發生」的事件。註：補集的符號有Ac、A或。例3.2-3 擲一顆骰子，觀察朝上一面的點數，則樣本空間 S= {1, 2, 3, 4, 5,6} 令A = {1,2}，即擲出點數小於3的事件。如果A沒有發生，表示擲出的點數大於或等於3，也就是 Ac= {3, 4, 5, 6}發生了。

集合表示 「A和B都發生了」代表試驗結果既落在A集合、也落在B集合，所以必定落在A和B的交集(intersection)裡。 A∩B代表「A和B都發生」的事件。「A和B事件中至少有一件發生」代表試驗結果不是在A就是在B(或同時在A和B)裡，所以必在A和B的聯集(union)裡。 A∪B代表「A和B至少有一件發生」的事件。當A和B事件中沒有共同元素，即A∩∪B =時，我們稱A和B為互斥(mutually exclusive)事件，此時A和B不可能同時發生。 A∩B =時，稱A和B為互斥事件。註：互斥的條件不需要透過機率來定義。

文氏圖(Vann Diagram)是說明事件關係很有用的工具，矩形代表全部事件的集合、矩形中的圓圈代表某一事件的集合(也就是一個子集合)。以下三個圖中深色部份分別代表交集、聯集、及補集。兩事件的文氏圖

例3.2-4 連續擲一枚硬幣三次，令A代表「正面至少出現兩次」的事件，B代表「三次結果都相同」的事件，試寫出「A和B都發生」的事件和「A和B至少有一件發生」的事件。解：令H代表正面、T代表反面，則 A = {HHH, HHT, HTH, THH} B = {HHH, TTT} A和B都發生的事件即 A∩B= {HHH} A和B至少有一件發生的事件即 A∪B ={HHH, HHT, HTH, THH, TTT}

機率基本概念及性質

機率的定義方式 • 古典機率(classical probability，也稱傳統機率) • 相對次數機率(relative frequency probability) • 主觀機率(subjective probability，也稱個人機率)

古典機率(classical probability，傳統機率) 假設某一試驗的可能結果有n種，其中每一種發生的機率都相同，若事件A中包含了n種結果中的k個，則事件A的機率等於k除以n，記為其中符號n(．)中的n代表總數(number)，n(A)就代表事件A中的結果總數。各種撲克牌和擲骰子遊戲都適用這種機率。例如，擲一顆骰子時，通常都可假設骰子很均勻，因此出現每種點數的機率都相同，都等於六分之一。

例3.3-1 便利商店因週年慶而提供折扣優惠，只要消費滿88元就可參加抽獎，即從紙盒中抽號碼球來決定折扣比例。假設號碼球共有12顆，其中6折和7折的各有1顆、8折2顆、9折3顆、95折5顆，小胖買了100元的東西，試求他頂多只需要付80元的機率。解：小胖抽中12顆球當中任一顆的機率都相同，而頂多需要付80元代表必須抽中6折、7折或8折的球，總共有4顆，所以機率等於

相對次數機率(relative frequency probability) 假設在n次試驗當中，事件A發生了k次，則事件A的相對次數機率為用這種方式定義機率時，應該要試驗很多次才恰當。例如，上述不夠平衡的骰子，若想要知道各點數出現的機率，應該要將它擲非常多次，所得到的機率才比較準確。當然，所謂「非常多次」也沒有一定的標準，在可能的情況下盡量多擲幾次就對了。

主觀機率(subjective probability，個人機率) 個人主觀認定的機率，就叫做主觀機率。阿佑根據考試成績、上課出席率，和統計學老師以往的當人比例判斷：經過老師調整分數之後，自己應有一半機率會通過；這完全是主觀認定。如果去間他的統計學老師，說不定老師認為他八成會當；也就是說，依據老師的主觀機率判斷，他會通過的機率只有兩成。根據主觀機率的定義，明顯可知這種機率很不可靠；但有時我們需要做判斷，面對的狀況又不適合用第一種或第二種機率描述時，還是會用到主觀機率，這時應盡量多蒐集資訊之後才來決定機率。

機率性質 設S為一試驗之樣本空間，則以下性質必成立 1. P(S)=1。 2. 對任一事件A，必有0P(A) l。 3. 若事件A1，A2，…，Ak兩兩之間都互斥，則 P(A1∪A2∪…∪Ak) =P(A1)+P(A2)+…+P(Ak) 有了上述的三項基礎性質，很容易可以導出其他常用性質。 4. P(Ac)=1- P(A)

例3.3-2 同時擲兩顆均勻骰子，試求出現點數的和10之機率。解：擲兩顆均勻骰子，每一顆都可能出現1到6點，所以樣本空間包括36個可能結果，機率都相同。令A代表點數和10的事件，則Ac代表點數和>10的事件。因此Ac ={(5,6),(6,5),(6,6)}，可得

5. 對任兩事件A及B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 例3.3-4 若箱子中有七個材質及大小相同的球，分別標以1、2、3、4、5、6、7等號碼。今自箱子中取出一球，試求其號碼為偶數或大於4的機率。解：令A代表號碼為偶數之事件，B代表號碼大於4之事件，則

乘法原理、排列和組合 計數技巧

乘法原理(multiplication principle) 假設一事件要分k個階段完成，第一階段有n1種做法，第二階段有n2種做法，…，第k階段有nk種做法，則整件事共有n1．n2．…．nk種方法可以完成。設有三名男生(甲、乙、丙)及四名女生(A、B、C、D)參加聯誼活動, 某遊戲需男女配對一同進行, 試問共有幾種不同的配對方式? 解：第一個步驟：先從3名男生中選一名, 共有3種選法，第二個步驟：由4名女生中選一名, 也有4種選法。因第一個步驟中每選一名男生，都有4名女生可供選擇, 故共有3×4=12種選法。

加法原理 如果完成某件事的方法可區分成k個類別, 而第j(j=1,2, …,k)個類別有mj種方法, 且每個類別互不相干, 那麼完成這件事的方法共有m1+m2+…+mk種。從甲地到乙地有飛機、火車與巴士等三種交通工具可到達，其中飛機每天有3班，火車每天有15班，巴士每天25班，若A先生欲從甲地至乙地，很明顯地，可看出此問題的A先生只能選擇一種交通工具的某個班次，故共有3+15+25=43個交通班次可選擇。

階乘(factorial) 一個正整數的階乘是所有小於或等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼(Christian Kramp)引進這個表示法。亦即 n!=1×2×3×...×n 0!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5!=1×2×3×4×5=120 階乘亦可以遞迴方式定義： 1!=1 n!=(n-1)!×n 1751年，歐拉以大寫字母M表示m階乘 M=1．2．3．...．m 1799年，魯非尼在他出版的方程論著述中，則以小寫字母π表示m階乘，而在 1813年，高斯則以Π(n)來表示n階乘。而用來表示n階乘的方法起源於英國，但仍未能確定始創人是誰。直至1827年，由於雅萊特的建議而得到流行，現在有時也會以這個符號作為階乘符號。而最先提出階乘符號n!的人是克拉姆（1808），後來經過歐姆等人的提倡而流行，直至現在仍然通用。

直線排列(permutation) 從n件不同的物品中抽出k件(kn)排成一列，其排列數等於。當k=n時，

組合(combination) 從n件不同的物品中抽出k件(0kn)的組合數是組合數符號用或皆可。

例3.4-1 老師有兩張別人送的偶像團體演唱會門票想轉送給同學，一張在最貴的A區，一張在最便宜的C區。為公平起見，採用抽籤方式決定。若全班共有45位同學，則總共有多少種可能結果？解：假設老師先抽出一人給1區門票，再抽一人給C區門票(或者順序顛倒)，當然掉換順序會使得結果不同，所以是排列問題。可能結果有如果題目改成兩張票都在同一區，且位置差別不大，這時只要從45人中抽出2人，不需再排列，就變成組合問題了。

條件機率 在考慮機率的時候，有時會有相關資訊可供參考。像這樣把已知資訊納入考慮後計算的機率，就叫做條件機率(conditional probability)。定義(條件機率) 假設A、B為雨事件，P(B)>0，已知事件B發生條件下、事件A發生的機率等於

例3.5-1 同時擲兩顆平衡骰子，觀察所出現的點數。試求以下條件機率： (a)已知兩顆骰子點數相同，求點數和小於4的機率。 (b)已知點數和小於4，求兩顆骰子點數相同的機率。解：令A代表點數和小於4的事件，B代表兩顆骰子點數相同的事件，則 A ={(1,1),(1,2),(2,1)} B ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} A∩B= {(1,1)} (a) 所求機率為 (b) 所求機率為

獨立事件 定義(獨立事件,independent) 當事件A和B符合以下機率條件時，稱A和B為獨立事件 P(A∩B)=P(A)P(B) 如果改寫上面的等式，可得即P(B|A)= P(B) 兩種方式的差別在於：若要使用P(B|A)= P(B)的定義，因為P(A)出現在P(B|A)的分母，所以必須限制P(A)> 0，而使用P(A∩B)=P(A)P(B)當作定義則不必加任何限制。

獨立事件的定義 以下任一條件成立時事件A和B為互相獨立 1. P(A∩B)=P(A)P(B) 2. P(B|A)=P(B),P(A)>0 3. P(A|B)=P(A),P(B)>0

例3.5-4 擲一顆均勻骰子兩次，令A代表點數和為偶數的事件、B代表兩個點數相等的事件，試判斷事件A和B是否獨立。解：方法一：若同為奇數，表示第一次擲出1、3或5點，第二次也是，共有3×3=9種可能；同為偶數也是有9種可能，因此兩個點數相等共有6種可能，所以 AB代表點數和為偶數且兩個點數相等的事件，所以事件A和B並不獨立。

乘法規則 P(A∩B)= P(A)P(B|A)，P(A)>0 P(A∩B)= P(B)P(A|B)，P(B)>0

例3.5-5 假設一容器中裝著3白球、2紅球。現在從容器中依序取出2球(第一球取出後不放回)，試求取出的第一球為白球、第二球為紅球的機率。解：令A代表第一次取出白球的事件，B代表第二次取出紅球的事件，則所求機率為

P(A∩B∩C)的乘法規則 定義(P(A∩B∩C)的乘法規則) P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C| A∩B)，P(A∩B)>0

例3.5-6 考慮例3.5-5的相同問題。容器中裝著3白球、2紅球，只是現在要依序取出3球，每一階段取出的球都不放回，求取出的第一球為白球、第二球及第三球均為紅球的機率。解：令A代表第一次取出白球的事件，B代表第二次取出紅球的事件，C代表第三次取出紅球的事件，則所求機率為

分割定義(樣本空間S的分割,partition) 如果事件A1、A2、…、Ak雨兩均互斥，且A1∪A2∪…∪Ak=S，則稱{A1、A2、…、Ak}為樣本空間S的一組分割。

全機率法則(total probability rule) 某事件的邊際機率若無法直接獲得，經常可透過全機率法則(運用條件機率與另一特質的所有事件的機率)來獲得。首先我們必須要有一組完全且互斥的事件，以表示這組事件，註:完全指的是在A1,A2, …,Ak完全切割母群體，即構成所有可能發生情況，P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)=1；互斥則指其間兩兩事件的交集為0，即P(Ai∩Aj)=0 。則根據全機率法則 P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+…+P(B∩Ak) =P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+…+P(B|Ak)P(Ak)

貝氏定理 定理(貝氏定理(Bayes’ Theorem)) 假設{A1、A2、…、Ak}為樣本空間S的一組分割，P(Ai)>0，i=1,2, …,k，且B為任一事件，P(B)>0，則在已知事件B發生的條件下，事件A發生的機率為

機率 (Probability)