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第二节 偏导数

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第二节 偏导数

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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  1. 第二节 偏导数

  2. 一、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量△x时,相应地函数有增量 如果极限 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作

  3. 同样,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为 记作 即

  4. = =

  5. [ ] [ ] 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏导数,那么这个偏导数仍是x、y的函数,称为z=f(x,y)对x的偏导函数,记为 同样,函数z=f(x,y)对y的偏导函数也仍是x、y的函数,记为: 按定义,得 , = = 通常,偏导函数也简称为偏导数.

  6. 偏导数的概念可推广到二元以上的函数。 例如: 三元函数

  7. 从偏导数的定义可以清楚地知道,求多元函数的偏导数,并不需要新的方法,求多元函数对哪个自变量的偏导数,就是将其他自变量看成常量,而将多元函数看成一元函数去求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对多元函数的偏导数仍然适用.从偏导数的定义可以清楚地知道,求多元函数的偏导数,并不需要新的方法,求多元函数对哪个自变量的偏导数,就是将其他自变量看成常量,而将多元函数看成一元函数去求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对多元函数的偏导数仍然适用. 常数 常数 = =

  8. 例1 求 的偏导数. 偏导数的符号和 应看成一个整体,不能将它们看成 与 或 的商. 注意: 解: =

  9. 例2设 ,求证: 证:

  10. 例3 解 = = =

  11. = =

  12. 例4求的偏导数. 解:把y和z都看作常量, 由于所给函数关于自变量是对称的,所以

  13. 例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量), 求证: 证:

  14. 例6 求下列各函数在指定点的偏导数: 在点O(0,0)处; (1)f(x,y)=

  15. 在点O(0,0)处; (1) f(x,y)= 解 根据偏导数的定义,有

  16. 在点O(0,0)处; f (x,y)=

  17. 另解: = = = = =

  18. 需要注意的是:“一元函数在其可导点上一定连续”这个结论,对于多元函数是不成立的.这是因为各偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋近P0(x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f(x0,y0),但不能保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0,y0)时,f(x,y)都趋近于f(x0 ,y0). 反例 : 例6 (1)

  19. 偏导数的几何意义 z 平面 y =y0 0 y x 复习一元函数导数 Tx 曲面z = f (x,y) L 固定 y=y0 得交线 L: 由一元函数导数的几何意义: 同理,  . .

  20. . z L: 0 y 平面 x=x0 x  偏导数的几何意义 Tx Ty 曲面z = f (x,y) L 固定x = x0 由一元函数导数的几何意义:  .

  21. 二、高阶偏导数 一般说来,函数f(x,y)的偏导数 还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y的偏导数也存在,则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏导数,记作 或 或

  22. 其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

  23. 例7 设z=x3+y3−3xy2, 求: 解: =

  24. 定理 若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及 在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,即: (不证) 注: 此定理表明: 在混合偏导数连续的条件下, 二阶混合偏导数的值与求偏导的次序无关。 实际上,可以得到: 在混合偏导数连续的条件下, 高阶混合偏导数的值也与求偏导的次序无关。

  25. 例9 证明函数满足方程 其中 证: 所以 由于函数u 关于自变量是对称的,

  26. 例8,例9中的方程称为Laplace方程,它是 数学物理方程中一种重要的方程。

  27. 作业 P69, 1,3,5,6,7,9(2)

  28. 复习一元函数导数 y 0 x 导数的几何意义 = tan 返回原页 