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长记忆时间序列模型及应用

长记忆时间序列模型及应用. 王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任 2010 年 6 月. 主要内容. ARMA 模型的回顾； 长记忆的概念； 长记忆的检验方法； ARFIMA 模型； 一些应用；. 1. ARMA 模型的回顾. 时间序列研究的主要任务. 描述时间序列中的动态（ Dynamic ）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测； 自相关性（ autocorrelation ）的刻画. ARMA 模型的形式. ARMA(p,q) 模型 其中 是白噪声. ARMA 模型的平稳性条件.

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长记忆时间序列模型及应用

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  1. 长记忆时间序列模型及应用 王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任 2010年6月

  2. 主要内容 • ARMA模型的回顾； • 长记忆的概念； • 长记忆的检验方法； • ARFIMA模型； • 一些应用；

  3. 1. ARMA模型的回顾

  4. 时间序列研究的主要任务 • 描述时间序列中的动态（Dynamic）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测； • 自相关性（autocorrelation）的刻画

  5. ARMA模型的形式 • ARMA(p,q)模型 • 其中 是白噪声

  6. ARMA模型的平稳性条件 • 如果 ，那么ARMA模型定义了唯一的二阶平稳解

  7. ARMA模型的可逆性条件 • 如果 ，那么ARMA模型能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归模型的形式

  8. ARMA模型的自相关特征 • 任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数都是呈指数递减的，即 • 因此自相关函数绝对可和，

  9. 平稳过程的谱函数 • 谱密度函数是定义在 上的偶函数且满足 • 如果自协方差函数绝对可加，

  10. ARMA模型的谱密度函数 • 于是

  11. ARMA模型的估计 • 条件极大似然估计； • 极大似然估计； • 最小二乘估计；

  12. 单位根过程 • 如果 ，那么 称为单位根过程，此时为非平稳过程。 • 比如如下的I(1)过程：

  13. 单位根的检验 • Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981); • Phillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)； • Perron-Ng (PN)检验(Perron & Ng 1996)； • Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检验 (Kwitkowski et al. 1992)；

  14. 上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)

  15. 取对数之后的全距序列

  16. 单位根检验的结果

  17. 自相关函数图形

  18. 估计的谱密度函数

  19. 估计的ARMA模型 • 经过模型选择阶数得到

  20. ARMA(1,1)残差的Box-Ljung检验

  21. 2. 长记忆的概念

  22. 基于自相关函数的定义 • 如果存在常数 ，使得 • 此时自相关函数不再绝对可和，

  23. 基于谱函数的定义 • 如果存在常数 ，使得 • 基于自相关函数和基于谱函数的定义是等价的。

  24. 短程关联和长程关联* • 强相合过程（strong mixing）被称为短程关联（short range dependency）过程(Rosenblatt 1956); • 不满足强相合性的过程称为长程关联（long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005) • 长记忆过程属于这里的长程关联过程。

  25. 3. 长记忆的检验

  26. 重新标度极差统计量 • 重新标度极差（rescaled-range）统计量 • 其中

  27. 重新标度极差统计量的性质 • 对于短期关联过程， • 对于长记忆过程， • 其中 称为Hurst指数

  28. R/S 分析 • 在 对 的散点图上，短期记忆过程的点应分布在斜率1/2的直线附件，长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2. • 根据回归方法得到对Hurst指数的估计。

  29. 对对数全距序列的R/S分析 对应的斜率估计为0.8987， 因此d 的估计为0.3987

  30. R/S分析方法的不足 • R/S分析方法其实对时间序列当中的短程记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情形超过1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）

  31. 修正的R/S统计量

  32. 修正的R/S统计量的渐近分布 对于短期过程 其中V是定义在[0,1] 上的布朗桥的全距

  33. 对长记忆性的判断 • 对于长记忆过程 • 因此利用该统计量可以对长记忆过程进行单边的检验。

  34. 对数全距序列的修正的R/S分析

  35. 对ARMA(1,1)残差的R/S分析

  36. 4. ARFIMA模型

  37. 模型的形式 • 分数次整合ARMA模型 • 或者 • 称之为I(d)过程，记为

  38. 分数次差分算子 • 其中 • 当 时该过程可逆。

  39. 平稳解的存在性 • 当 时，该过程存在着平稳解，能够写成 • 其中

  40. 平稳解的自相关函数特征 • 对于平稳的情况，自相关函数满足 • 显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律递减（Sowell 1992; Chung 1994)

  41. 平稳解谱密度函数的性质 • 所以，

  42. 记忆参数d取不同值时 • 当 时对应的是二阶平稳的长记忆过程，谱密度函数在0点奇异； • 当 时对应的过程称为反持续（anti-persistent）过程，谱密度函数在0点处等于0； • 当 时，对应的是短记忆ARMA过程,谱密度函数在0点处为正数； • 当 时，对应的过程非平稳，方差无穷大，包含了单位根过程。

  43. 模拟分数次白噪声的数据

  44. ARFIMA模型的估计 • 条件极大似然估计； • 极大似然估计； • 非线性最小二乘估计； • Baillie (1996)

  45. 对对数全距序列的估计

  46. 对残差的检验

  47. 5. 一些应用

  48. 对宏观经济变量的实证研究 • Baillie & Bollerslev (1994): 汇率 • Crato & Rothman (1994), 多个宏观变量； • Diebold & Rudebusch (1989): GNP; • Dijk et al. (2000): 失业率 • Hassler & Wolters (1995): CPI; • Tsay （2000）实际利率；

  49. 总结与讨论 • 长记忆过程的特征与模型； • 长记忆的波动率模型； • 长记忆与结构变化；

  50. 一些文献 • Baillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in econometrics”, Journal of Econometrics, 73, 5-59. • Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes. Chapman & Hall.

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