3. Системы линейных уравнений.

1. 3. Системы линейных уравнений. Леопо́льд Кро́некер

2. 3.1 Общее понятие о системе линейных уравнений Простейшим примером уравнения первой степени, или как говорят, линейного уравнения, является уравнение с одним неизвестным 1. Если a≠0 , то разделив обе части уравнения (3.1) на получим единственное решение 2. В случае a=0 и уравнение (3.1) не имеет решений. 3.Если a=0 и b=0, то любое число будет удовлетворять уравнению (3.1); в этом случае рассматриваемое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

3. Определение:Систему уравнений вида: называют системой m линейных уравнений с n неизвестными. Через обозначены неизвестные системы(их число n не предполагается обязательно равным числу уравнений m). Величины называются коэффициентами системы, а величины - свободными членами.

4. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если хотя бы один свободный член не равен нулю, то система называетсянеоднородной. Система (3.2) называется квадратной, если m=n. Решением системы (3.2) называется совокупность таких чисел которая при подстановке в систему, вместо неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

5. Не всякая система вида (3.2) имеет решение. Так система линейных уравнений заведомо не имеет ни одного решения. Система уравнений вида (3.2), называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, если совместная система имеет два и более решений, то она называется неопределённой.

6. 3.2 Правило Крамера. Для простоты будем рассматривать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Из коэффициентов системы составим определитель: Предположим, что ∆≠0. Определитель называютопределителем системы.

7. Умножим первое уравнение на второе - на третье – на и сложим

8. На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен а на основании свойства 7 коэффициенты при y и z , будут равны нулю Поступая аналогично, исключим x и z, а также x и y. Таким образом из системы (3.3) получим систему: (3.4)

9. Правые части уравнений обозначим соответственно символами

10. Определители получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и , наконец, третьего столбца столбцом свободных членов системы (3.3). Тогда система уравнений (3.4) примет вид

11. Т.к. то из (3.5) находим (3.6) Формулы получили название формул Крамера и применимы лишь в случае, если определитель системы отличен от нуля.

12. Пример: Решить систему: Решение: Вычислим определитель системы:

15. 3.3 Совместность систем. Теорема Кронекера-Капелли Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

16. Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3.8), а через В – матрицу, полученную из А присоединением столбца свободных членов Mатрицу А называют основной, матрицу В называют расширенной

17. Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли): Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В. Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

18. Пример: Проверить на совместность систему Решение Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги основной и расширенной матриц. Умножим третью строку на -1 и прибавим к первой

19. Переставим вторую и третью строки Получили rangA=2, rangB=3, откуда Т.е. система уравнений несовместна.

20. 3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

21. Матрица A в этом случае будет квадратной. Составим определитель этой матрицы:

22. Введём матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов Тогда систему (3.8) в матричном виде можно записать: !

23. Действительно, Две матрицы равны, если будут равны соответствующие элементы, т.е. мы получили исходную систему уравнений.

24. Умножим это выражение слева на обратную матрицу: (3.9)

25. Пример: Решить систему средствами матричного исчисления Решение.

26. Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу

27. Тогда обратная матрица имеет вид:

28. Ответ:

29. 3.5 Метод Гаусса. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными: Исключим из всех уравнений системы начиная со второго, неизвестную x1. Для этого первое уравнение нужно умножитьна и сложить со вторым уравнением и т.д.

30. В результате получим систему вида: Далее первое и второе уравнения оставим без изменения, а начиная с третьего уравнения, будем избавляться от переменной x2 и т.д. Продолжая этот процесс, в конечном счёте получится система вида:

31. Если k=n, то система имеет единственное решение, если k≠n, а именно k<n, то система имеет бесконечное множество решений. На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу составленную из коэффициентов системы и их свободных членов:

32. Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к тому, чтобы на диагонали были не нулевые элементы, а элементы лежащие ниже главной диагонали равны нулю.

33. Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений: Решение:

35. Составим систему уравнений Очевидно, что