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Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Estatística Aplicada I. Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes. Campus Universitário de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica. Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Capítulo III. Variáveis Aleatórias.

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  1. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Estatística AplicadaI Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus Universitário de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

  2. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Capítulo III Variáveis Aleatórias Campus Universitário de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  3. III – Variáveis Aleatórias • Introdução • Varíáveis aleatórias discretas • Variáveis aleatórias contínuas • Parâmetros das variáveis aleatórias • Variáveis aleatórias bidimensionais ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  4. III – Variáveis Aleatórias • Introdução • Varíáveis aleatórias discretas • Variáveis aleatórias contínuas • Parâmetros das variáveis aleatórias • Variáveis aleatórias bidimensionais ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  5. 3.1 Introdução • Em um experimento aleatório, uma variável cujo valor medido pode variar de uma réplica do experimento para outra é referida como variável aleatória. • Exemplos: X pode denotar a medida da resistência mecânica no ensaio de tração de um material; Y representar o diâmetro de uma peça usinada; Z expressar a resistividade do solo em um processo corrosivo em torres de linha de transmissão. • As variáveis aleatórias (V.A) surgem em função da necessidade de se representar os resultados de uma experiência aleatória por meio de números reais. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  6. X S R Variável aleatória s X(s) 3.1 Introdução • Definição • Uma variável aleatória pode ser expressa como uma função definida num espaço de resultados S e que tem como contradomínio os números reais. • Seja E um experimento e S o espaço associado a ele. Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(s) é denominada variável aleatória. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  7. 3.1 Introdução • Definição • Exemplo: E : Lançamento de duas moedas; X : Número de caras (a) obtidas nas duas moedas; S : {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} X = 0 → correspondente ao evento (k, k) com probabilidade ¼; X = 1 → correspondente ao evento (k, c), (c, k) com probabilidade ½; X = 2 → correspondente ao evento (c, c) com probabilidade ¼. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  8. 3.1 Introdução • Classificação • As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores que elas podem assumir. • Variável discreta: quando a variável assume valores num conjunto finito ou infinito numerável. • Variável contínua: quando a variável assume valores de um conjunto infinito não numerável. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  9. 3.1 Introdução • Classificação • Exemplos: • A V.A resultado do lançamento de um dado é discreta; • A V.A que representa o tempo que um atleta leva para completar a prova dos 100 metros é contínua se for admitido que é medida com precisão absoluta. • A V.A que representa as medidas de corrente elétrica a partir de um instrumento digital que mostre a corrente para o mais próximo centésimo de miliampére é discreta (as medidas possíveis são limitadas). ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  10. 3.1 Introdução • Representação • As variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas (X, Y, Z, W, ...), e os valores que elas podem assumir são representados pelas correspondentes letras minúsculas (x, y, z, w, ...). • Exemplo: • E: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso. • S = {Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa}. • X = O peso da pessoa (assume qualquer valor do espaço de resultados). • x = 1,65 m (a altura de uma das pessoas). ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  11. 3.1 Introdução • Observação: • Existem situações em que os valores da variável aleatória não são os resultados do espaço associado ao experimento, mas sim uma transformação destes. • Exemplo: E: Lançamento de dois dados. S = Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total de trinta e seis resultados possíveis (tamanho de S = 36) S= {( x, y ) | x, y = 1,2,3,4,5,6}. X = V.A que representa a soma dos números dos pontos dos dois dados, a qual pode assumir qualquer valor inteiro de 2 a 12, ou X(s) = {2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  12. 3.1 Introdução • Observação: • No mesmo espaço associado ao experimento anterior poder-se-ia definir outra variável aleatória. • Exemplo: Y = V.A que representa a diferença, em valor absoluto, dos números dos pontos dos dois dados, a qual pode assumir qualquer valor inteiro de 0 a 5, ou Y(s) = {0,1,2,3,4,5 } ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  13. III – Variáveis Aleatórias • Introdução • Varíáveis aleatórias discretas • Variáveis aleatórias contínuas • Parâmetros das variáveis aleatórias • Variáveis aleatórias bidimensionais ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  14. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função de probabilidade • A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X. • Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é freqüentemente especificada por apenas uma lista de valores possíveis juntamente com a probabilidade de cada um. • Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em termos de uma fórmula. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  15. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função de probabilidade • Define-se como função de probabilidade, f, a função que associa a cada valor que a variável pode assumir, a probabilidade da variável assumir esse valor. • Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, a função de probabilidade é • Já que f(xi) é definida como uma probabilidade, então para todo xi e • P(X) pode ser expresa por uma tabela, gráfico ou fórmula. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  16. P(x) 1 ½ ¼ x 0 1 2 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função de probabilidade • Exemplo: E: Lançamento de duas moedas. • X: nº de caras obtidas. • P(X) pode ser expressa das seguintes formas: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  17. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função de probabilidade • Exemplo: Seja Xa variável aleatória que representa o resultado do lançamento de um dado equilibrado. A função de probabilidade é definida por: Em termos de notação e de modo a simplificar, a função de probabilidade pode ser representada por meio de uma tabela, assumindo que os valores que não aparecem na tabela têm probabilidade zero de ocorrer. Neste exemplo tem-se, então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  18. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função de probabilidade • Observações: • Se uma variável aleatória X apresentar f(x) ≠ 0 e constante para todos os valores de x, diz-se que essa V.A tem uma distribuição uniforme (discreta). • Qualquer função de uma variável aleatória é também uma variável aleatória, isto é, se X é V.A, então Y = φ(x) também será. Exemplos: X → V.A pontos de um dados; Y = X + X → V.A; Z = Max {(x1, x2)} onde (x1, x2) são pontos de dois dados. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  19. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Uma função distribuição cumulativa, também chamada função repartição ou função distribuição de probabilidades, pode também ser usada para fornecer a distribuição de probabilidades de uma variável discreta. • A função distribuição cumulativa em um valor de x é a soma das probabilidades em todos os pontos menores ou iguais a x. • Define-se, então, como função distribuição cumulativa de uma certa variável aleatória X, no ponto x, como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto é: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  20. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Exemplo (Montgomery et al., 2001): Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja recebido com erro. Considere X igual ao número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para a variável aleatória X são {0, 1, 2, 3, 4}. Com base em um modelo de probabilidades, as probabilidades para esses valores foram determinados como sendo: • P(X = 0) = 0,6561 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486 • P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,0001 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  21. f(x) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 x 0 1 2 3 4 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Exemplo (cont.): • A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. A figura mostra uma descrição gráfica dessa distribuição: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  22. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Exemplo (cont.): • Por conseguinte, a função distribuição cumulativa de X será: F(0) = 0,6561 F(1) = 0,9477 F(2) = 0,9963 F(3) = 0,9999 F(4) = 1 • Mesmo se a variável aleatória puder assumir somente valores inteiros, a função distribuição cumulativa é definida em valores não inteiros. Por exemplo: F(1,5) = P(X ≤ 1,5) = P(X ≤ 1) = 0,9477 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  23. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Exemplo (cont.): • O gráfico do exemplo é mostrado abaixo, onde se observa que o mesmo apresenta descontinuidades (saltos) nos valores discretos para X. O tamanho do salto em um ponto x é igual à probabilidade em x. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  24. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Propriedades: 0 ≤ F(x) ≤ 1 , para todo x F(- ∞) = 0 F(+∞) = 1 P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) + P(X = a) P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X = b) lim F(x) = 1 e lim F(x) = 0 x → +∞ x → -∞ ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  25. 3.2 Variáveis Aleatórias Discretas • Função distribuição cumulativa • Propriedades: • Exemplo: Do exemplo anterior, tem-se: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  26. III – Variáveis Aleatórias • Introdução • Varíáveis aleatórias discretas • Variáveis aleatórias contínuas • Parâmetros das variáveis aleatórias • Variáveis aleatórias bidimensionais ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  27. f(x) P(a < x < b) x a b 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Uma função densidade de probabilidadef(x) pode ser usada para descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua X. • A probabilidade de X estar entre a e b é determinada pela integral de f(x) entre a e b. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  28. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Definição: Diz-se que f(x) é a função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X se a área limitada por f(x), o eixo dos x e as retas x = a e x = b for igual a P(a ≤ x ≤ b), isto é: • Propriedades: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  29. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Observações: • A definição anterior mostra que a probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo xo, tem P(X = xo) = 0, pois sendo assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X for uma variável aleatória contínua: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  30. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Observações: • Note-se que f(x), densidade de probabilidade, não é probabilidade. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva função entre x = a e x = b, para a < b. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  31. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Exemplo (Montgomery et al., 2001): Seja a variável aleatória contínua X a representação do diâmetro de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro alvo é 12,5 mm. A maioria dos distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade f(x) = 20e-20(x – 12,5), x ≥ 12,5. • (a) Se uma peça com diâmetro maior que 12,6 mm for descartada, qual será a proporção de peças descartadas? • (b) Que proporção de peças está entre 12,5 e 12,6? ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  32. f(x) x 12,5 12,6 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Solução: A função densidade e a probabilidade requerida são mostradas na figura abaixo. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  33. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função densidade de probabilidade • Solução (cont.): • a) Uma peça é descartada se X > 12,6, logo: b) Uma peça não é descartada se 12,5 < X < 12,6, logo: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  34. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função distribuição cumulativa • A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade f(x) é: para – ∞ < x < ∞. • Para uma variável aleatória contínua X, a definição pode também ser F(x) = P(X < x), pois P(X = x) = 0. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  35. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função distribuição cumulativa • A função distribuição cumulativa F(x) pode ser relacionada à função densidade de probabilidade f(x) e pode ser usada para obter probabilidades, como segue: • O gráfico de uma função distribuição cumulativa tem propriedades específicas. Pelo fato de F(x) fornecer probabilidades, ela é sempre positiva. Além disso, à medida que x aumenta, F(x) é crescente. Finalmente, quando x tende a ∞, F(x) = P(X ≤ x) tende a 1. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  36. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função distribuição cumulativa • Exemplo (Montgomery et al., 2001): As leituras da temperatura de um termopar em um forno flutuam de acordo com a função distribuição cumulativa Determine: • P(X < 805); b) P(800 < X ≤ 805); c) P(X > 808) • Se as especificações para o processo solicitassem que a temperatura do forno estivesse entre 802ºC e 808ºC, qual seria a probabilidade da fornalha operar fora das especificações? ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  37. 3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas • Função distribuição cumulativa • Solução: a) b) c) d) ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  38. III – Variáveis Aleatórias • Introdução • Varíáveis aleatórias discretas • Variáveis aleatórias contínuas • Parâmetros das variáveis aleatórias • Variáveis aleatórias bidimensionais ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  39. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Osparâmetros que caracterizam uma variável aleatória em termos médios (média e mediana), e em termos de dispersão (variância e desvio padrão), podem ser usados para resumir uma distribuição de probabilidades. • Medidas de posição a.1) Média ou esperança matemática: Chama-se valor médio ou esperança matemática ao valor que se obtém somando (ou integrando) todos os valores que uma variável aleatória pode assumir, ponderados pela respectiva probabilidade pontual (ou densidade de probabilidade no ponto) e representa-se por μ = E( X ) : ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  40. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.1) Média ou esperança matemática: - Propriedades: Serão demonstradas somente para o caso de variáveis discretas. 1. A média de uma constante é a própria constante 2. Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  41. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.1) Média ou esperança matemática: - Propriedades: 3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou diferença das médias. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  42. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.1) Média ou esperança matemática: - Propriedades: 4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma constante. 5. A média de uma variável aleatória centrada é zero. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  43. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.1) Média ou esperança matemática: - Propriedades: 6. A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das suas médias. pois X e Y são independentes ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  44. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.2) Mediana: Mediana de uma variável aleatória é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, ou seja, • Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte função distribuição cumulativa: • F(X) = 0 para x < 0 • F(X) = x2 para 0 ≤ x ≤ 1 • F(X) = 1 para x > 1 • Logo, a mediana será o valor de x tal que F(x = Md) = 0,5. Assim: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  45. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.3) Moda: É o valor da variável aleatória com maior probabilidade, se X for discreta, ou maior densidade se X for contínua • Exemplo1: Seja X uma variável aleatória discreta tal que: Logo, a moda será igual a 2. ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  46. f(x) 2 1 x 0 1 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de posição a.3) Moda: • Exemplo 2: Seja X uma variável aleatória contínua tal que: O gráfico de f(x) é: Então: Moda: Mediana: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  47. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de dispersão b.1) Variância: A variância de uma variável aleatória X, representa-se por Var(X) = σx2e define-se por: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  48. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de dispersão b.1) Variância: • Existe uma fórmula prática para o cálculo da variância: onde, ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  49. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de dispersão b.2) Desvio padrão: Designa-se por desvio padrão e representa-se por σa raiz quadrada positiva da variância: ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

  50. 3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias • Medidas de dispersão • Propriedades: • Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e K, a e b constantes. • Var(k) = 0 • Var(kX) = k2Var(X) • Var(aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y ) ± 2abCov(X,Y ) Caso as variáveis sejam independentes, Cov(X,Y ) = 0, então: Var( aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y ) ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

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