Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Szak Data Mining

1. Pécsi TudományegyetemPollack Mihály Műszaki KarMűszaki Informatika SzakData Mining 28. Előadás Dr. Pauler Gábor, Egyetemi Docens PTE-PMMFK Villamos Intézet Számítástechnika Tanszék Iroda: Boszorkány u., B épület 101 Tel: 72/503-650/3725 E-mail: gjpauler@acsu.buffalo.edu Készült a PTE Alapítvány támogatásával

2. Az előadás tartalma A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai • 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Fuzzy logika • A Fuzzy rendszerek előnyei és hátrányai • A Fuzzy rendszerek története • A bizonytalanság ideáltípusai A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei • A Fuzzy halmaz • A tagságfüggvény fajtái • A fuzzy nyelvi változó Fuzzy nyelvi változók kreációja • Egyenlő intervallumok módszere • Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere • Klasztercentrumok módszere • Átlapolás • A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása • Speciális tagságfüggvényű szélső fuzzy értékek használata Fuzzy szabályok • Feltételi rész • Fuzzy szabálysúly • Következtetési rész Fuzzy következtetési mechanizmus • Kompozíciós módszerek • Dekompozíciós módszerek • Példa a vezérlési függvény modellezésére

3. Power Distance Angle A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai 1 A Fuzzy rendszer (Fuzzy System): Eloszlásfüggetlen becslési rendszer (Distribution Free Estimator), amely: • Nem tesz előfeltételezéseket a viszonylag kis számú (általában 3..8db) input/output változó (I/O Variables) alkotta döntési térben (Decision Space) lévő eloszlásról • (Pl. egy konténerdaru vezérlésénél a célpontig visszalévő távolság (Distance), és a drótkötél állásszöge(Angle) az input változó, a konténer lengésmentes megállításához szükséges motorerő (Power) az output változó) • Képes az I/O változók kapcsolatát leíró erősen nemlineáris, nem monoton, nem folytonos Vezérlési függvény (Control Function) modellezésére, • A döntési térben, mint azonos univerzumon (Common Universe) felírt, biztosan bekövetkező (Deterministic), életlenül definiált határú (Non-crisp), egymást átlapoló (Overlapping)Fuzzy szabályok (Fuzzy Rules) közti, • Nemlineáris interpoláció (Nonlinear Interpolation) segítségével. • Jóval kevesebb szabállyal képes leírni azonos komplexitású problémát, mint egy éles (Crisp) szabályalapú rendszer

4. 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • Mivel a fuzzy technologiával kapcsolatban rengeteg tévhit és előítélet van forgalomban, • Illetve a fuzzy terminológia is elég félrevezető (pl. a „Fuzzy” szó maga zavarost, kétértelműt jelent) • Az elméleti fejtegetések előtt két elgondolkoztató példát adunk a fuzzy működésére • Ha nem jövünk rá, mit ábrázol a kép, nézzük hunyorítva, vagy messzebbről:

5. 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • Mikor a képet nem látjuk olyan jól, mint közvetlen közelről, rögtön rájövünk, hogy két házat ábrázol egy parkban, ahol fák is vannak. • Ez a jelenség látszólag ellentmond az információ- és kódelmélet alapelveinek: valamit akkor ismerünk fel, ha a kommunikációs csatornában nő a zaj mennyisége?! • A 32×32-es 256 színű, 1024 byte-on tárolható kép (ekkora felbontású egy Windows ikon) közelről nézve egyáltalán nem felismerhető, mert nincsen „pontosan, élesen” megrajzolva. Rajzoljuk meg ugyenezt a témát „szép pontosan, élesen”, pl. AutoCAD-ben: „Feladat: Rajzoljon egy négyzet alakú képet, amelyen két sátortetős földszintes épület látható, a tőlünk távolabbi téglalap alaprajzú, a közelebbi L-alaprajzú, melynek hosszabbik szára párhuzamos a téglalap alakúval, rövidebb szára a téglalap alakú épület felé fordul. A képen az épületek hossztengelyével párhuzamos Y tengely +30 fokkal, a Z tengely +45 fokkal van elforgatva. Az épületek hosszabbik szárának középpontjában egy-egy ajtó néz felénk, az épületek mögött fák vannak, az épületek közti térköz az épületek szélességének 1.5-szöröse. A talaj színe zöld, a fák zöldek, az épületek falai sárgák, a tetejük piros” • Ha ezt megrajzoljuk, és lekicsinyítjük a vektorgrafikát, úgy hogy a levetített kép beleférjen 32×32-es felbontásba, valami ilyesmit kapunk: • Az a bosszantó, hogy ez ugyanúgy 1024 byte-ot fogyaszt, mint az ere- deti kép, mégis messze nem olyan élethű, mint az messziről nézve. Valamint, mind a kép részletes szöveges leírása, mind a vektorgrafikát tároló AutoCAD *.SHP fájl mérete meghaladja az 1024 byte-ot… • Hogyan lehetséges, hogy egy „pontatlanul, életlenül” ábrázolt valami azonos méretben több információt tárol, mint a „pontos” leírások????

6. 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Háromváltozós (x, y, z) döntési térben éles, nem átlapoló, IF (x BETWEEN a AND b) AND (y BETWEEN c AND d) THEN (z BETWEEN e AND f) -formátumú szabályokkal (lásd szürke téglatestek) ábrázoltunk egy izgalmas dolgot • Kérdés, hogy felismerjük-e ebből az ábrázolásból, hogy mi az? • Ha nem, akkor végezzünk nemlineáris interpolációkat a szabályok sarokpontjai közt!

7. 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Így egy ismerős hiperfelületet kapunk: A két példából láthattuk, hogy: • A szabályok életlen, átlapoló definiálása (pl. mikor a pixeleket összemosva, messziről láttuk), • Illetve a köztük lévő nem lineáris interpoláció (pl. összemosás, vagy a női test „végigsimítása”) • Hatékonyabban ábrázolhat komplex nemlineáris, nem monoton, nem folytonos vezérlési függvényeket

8. A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai 2 • Fuzzy logika (Fuzzy Logic):[0,1] folytonos intervallumban mért igazságértékeket (0: hamis, 1:igaz) használó többértékű logika (Multivalued Logic), a klasszikus kétértékű {0,1} Boole-féle logika kiterjesztése Fuzzy rendszerek összehasonlítása az éles szabályalapú rendszerekkel, előnyök: • A szabályalapú rendszerekhez hasonlóan - ellentétben az analitikus módszerekkel - elősegíti a gyors prototipus fejlesztést, mert a szabálybázis moduláris, könnyen bővíthető, ha a rendszer bonyolódik. • A fuzzy logika, az átlapoló szabályok és a nemlineáris interpoláció használatából eredő rugalmassága miatt jóval kevesebb szabályt igényel adott probléma megoldására, mint az éles szabályalapú rendszerek • Következtetési mechanizmusa nagyságrendekkel egyszerűbb és gyorsabb, mert a fuzzy logika többértékűsége és a fuzzy szabályok átlapoló volta miatt alapból lekezeli az önellentmondásokat, nem kellenek ezek ellenőrzésére, feloldására külön segéd-algoritmusok. Nem követeli meg, hogy a szakértőktől begyűjtött szabálybázis 100%-ig konzisztens legyen, ami sok alkalmazási területen (pl. orvoslás, tőzsde) irreális követelmény.

9. A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai 3 • A szimbolikus tudásábrázolást használó szabályalapú rendszerekkel ellentétben, jól kezel folytonos döntési változókat is, és ezek közt bonyolult nemlineáris összefüggéseket tud úgy modellezni, hogy közben nincs szükség bonyolult, számolásigényes lebegőpontos műveletekre (mint pl. zárt formulával meg nem adható eloszlásfüggvények közelítése, stb.) • Így alacsonyak a hardverrel szembeni követelményei memóriaigény és számítási idő tekintetében, ezért tipikusan jól használható olcsó, egyszerű mikrokontrollerekben (Microcontroller) (ipari folyamatvezérlő mikroprocesszorokban) is • A fuzzy szabályokat szöveges nyelvi eszközökkel is meg tudja jeleníteni, amelyek közelebb állnak a természetes emberi nyelvhez, mint az éles szabályalapú rendszerek 100%-os logikai konzisztenciát követelő HA-AKKOR szabályai. Ezért a látens szakértői tudást, intuíciókat könnyebb fuzzy szabályok formájában megfogalmazni • Belső működése (Throughput) a szöveges nyelvi megjelenítés miatt jobban átlátható, mint az analitikus módszereké • Speciális alkalmazásokban (pl. tőzsdei árfolyam előrejelzés) – ellentétben a klasszikus sokváltozós statisztikai módszerek pont- vagy intervallum-becsléseivel - többértékű eredményt is szolgáltat, ami elősegíti az alternatívákban történő tervezést

10. A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai 4 A fuzzy rendszerek fő hátrányai a következőkben foglalhatók össze: • A szöveges nyelvi szabályok összeállítása manuálisan történik, bár támogatható mesterséges neurális hálózatok (Artificial Neural Networks) tanulásával • A manuális szabályszerkesztés miatt inkább kevesebb változó közti bonyolultabb nemlineáris kapcsolat modellezésére alkalmas, magas változószámnál nehézkes a használata • Akkor tesztelhető csak jól, ha a vezérelni, vagy előrejelezni kívánt rendszernek megvan a fizikai reprezentációja, vagy analitikus úton szimulálható a működése, és csupán a vezérlését nehézkes analitikusan optimalizálni. Nem jól használható, ha a szimuláció sem fizikailag, sem analitikusan nem áll rendelkezésre Története: • 1965 Lotfi Zadeh, Berkeley, USA: kitalálja a fuzzy logikát • 1970 Ebrahim Mamdani, UK: 1. ipari alkalmazás gőzturbina szabályzó • 1980s Japán alkalmazások: a gyors prototipizálás és egyszerűen érthető throughput illeszkedik a japán menedzsment módszerekhez • 1983 Fuji Electric: szennyvíztisztító vezérlés • 1987 Hitachi: metró vezérlés • 1990 Sony: videókamera képremegés-stabilizátor • 199: Toyota: Autó gyújtás vezérlés • 1990-es évek Hans Jürgen Zimmermann: EU-ban is beindul az ipari automatizálás • 1995-től megjelennek PC-re ez első Fuzzy rendszer tervező shellek, felmerül a kombinálás lehetősége neurális hálózatokkal • 2000-re sztenderd ipari folyamatvezérlési technlógiává válik

11. A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai 4 A bizonytalanság ideáltípusai (Types of Uncertainty): • Sztochasztikus (Stochastic): • Pl. 80%, hogy „a MOL részvény heti záró árfolyama 2100 és 2260 Ft közt lesz a jövő héten”. • Pontosan definiált események bizonytalan bekövetkezése, • A “MOL”, “részvény”, “hét”, “árfolyam”, “záró”, “Ft” fogalmak pontos szabályok által definiáltak • A valószínűségszámítás kezeli: intervallumbecslésekkel és statisztikai próbákkal • Lexikális (Lexical): • Pl. „X magas ember”. • Életlenül definiált, de bizonyosan bekövetkező események: • Ki a magas? Nehéz éles szabályt adni: 180cm felett tökéletesen az? 179cm-el meg egyáltalán nem magas? Kikhez képest magas: gyerekek, nők, pigmeusok, kosárlabdázók? Mindig a problémakörnyezet dönt. • A fuzzy logika kezeli: minden magassághoz egy [0,1] folytonos intervallumban mért igazságértékeket rendel, aszerint hogy a problémakörnyezetben mennyire jellemző rá a „magas” fogalom • A gyakorlatban a kettő keveredik: • pl. „Valószínűleg sikeres pénzügyi évünk lesz az idén” • Mi a sikeres pénzügyi év (a csőd elkerülése vagy betörés a kínai piacra)? – Ez lexikális bizonytalanság • Mennyi az esélye a bekövetkezésének? – Ez bekövetkezési bizonytalanság

12. Az előadás tartalma A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai • 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Fuzzy logika • A Fuzzy rendszerek előnyei és hátrányai • A Fuzzy rendszerek története • A bizonytalanság ideáltípusai A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei • A Fuzzy halmaz • A tagságfüggvény fajtái • A fuzzy nyelvi változó Fuzzy nyelvi változók kreációja • Egyenlő intervallumok módszere • Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere • Klasztercentrumok módszere • Átlapolás • A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása • Speciális tagságfüggvényű szélső fuzzy értékek használata Fuzzy szabályok • Feltételi rész • Fuzzy szabálysúly • Következtetési rész Fuzzy következtetési mechanizmus • Kompozíciós módszerek • Dekompozíciós módszerek • Példa a vezérlési függvény modellezésére

13. „Magas láz” m(Testhőmérséklet) Testhőmérséklet +33C +37C +41C A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei 1 F Fuzzy halmaz, Fuzzy érték (Fuzzy set, Fuzzy Value): • Egy életlenül definiált (Non-crisp) (de nem pontatlanul!), szöveges címkével (Fuzzy Linguistic Value) ellátott érték (pl. „Magas láz”): • Adott Xértelmezési tartományon (Universe), (pl. celsius skála) felvett xX folytonos vagy diszkrét, bármely skálán mért alapváltozó (base variable), (pl. testhőmérséklet, C°) értékeihez • mF(x) tagságfüggvényt (MBF, membership function) definál, amelynek értékkészlete a [0,1] tartományba esik, (pl. emelkedő S-görbe +37C°-os inflexiós ponttal) • Ahol 0 jelenti, hogy az alapváltozó adott értékénél egyáltalán nem jellemző, 1 hogy teljesen jellemző a fuzzy érték jelenléte (pl. 0: abszolút nem lázas, 1: abszolút lázas) • A magas láznak az orvosi gyakor- latban nincs éles C° definíciója, függ a páciens egyébb tüneteitől, (pl. izzadás, remegés), így egy komplex jelenségnek tekinthető.

14. m(x1) m(x1) m(x1) m(x1) x1 x1 x1 x1 A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei 2 mF(x)tagságfüggvény (Membersip Function) értékkészlete a a teljes [0,1] intervallum: • Közepes érték megjelenítésénél mindig egy csúcsú (Unimodal) függvény, • Alsó/felső értéknél nem szigorúan monoton csökkenő/növekvő (Non-strict Monotonic) függvény A fajtája szerint lehet: • Lineáris (gyorsabb számolás, és nemlineáris modell is építhető belőlük!): • Szakaszonként lineáris (Sectionwise Linear): mF(x) = mi + (x-xi)/(xi+1-xi)×(mi+1-mi) (28.1) ahol: F={(mi, xi), i = 1..n} töréspontok ( ) • Egyszerűsített lineáris függvények: • L: háromszög (a leggyakrabban használt) • P: trapezoidális (lépcsők modellezése) • Z, S: szakaszonként lineáris csökkenő/ növekvő S-görbe (szélső értékek az előző kettőhöz, csak input döntési változóknál) • Nemlineáris (lassabb számolás, de hatékonyabb nemlineáris modellezés mint lineárisnál) • Harmadfokú görbék (Cubic spline): folytonos, kétszer differenciálható S-alakú Bezier-görbék, x(l) = l×xi + (1-l)×xi+1 (28.2) m(l) = mi×(1-l)3 + 3×di×l×(1 - l)2 – 3×di+1×(1 - l) ×l2 + mi+1×l3 (28.3) ahol: l[0,1] skalár, F={(mi, xi), i = 1..n} feszítőpontok ( ) di, di+1 a két szakasz végponti görbe iránytangens ( ), ha nem egyenlők, az S-görbe aszimmetrikus

15. S(F) m(x1) m(x1) m(x1) m(x1) a Fa x1 x1 x1 x1 x* „Közepes” „Nem közepes” „Nem közepes” A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei 3 A tagságfüggvények számítási módozatai a hardveren • Lebegőpontos (Floating Point) műveletekkel matematikai úton, ez lassú és matematikai kooprocesszort igényel, ami nincs az egyszerűbb mikrokontrollerekben • Kezdő törésponttól közelítő, kerekített iránytangens léptetéssel (Step Method), lebegőpontos műveletek nélkül, az egyszerűbb mikrokontrollereknél használatos, gyors, kis RAM igény, de pontatlan • RAM lookup táblából (Lookup table) kikeresett függvényértékekkel, nagy pontosságú és gyors, de sok memóriát fogyasztó. Főleg folytonos S-görbéknél használatos S(F) fuzzy halmaz tartója (Support of Fuzzy Set): S(F) = {xX | mF(x)>0} (28.4) Fa fuzzy halmaz a-szinthalmaza (a-cut of Fuzzy Set): Fa = {xX | mF(x)>a} (28.5) C(x*) x* éles érték fuzzy megjelenése, fuzzy szingleton (Fuzzy Sigleton): mC(x*)(x)=1|x=x*, különben mC(x*)(x)=0 (28.6) F fuzzy halmaz komplementere/ fuzzy NEM operátor (Complimentary Fuzzy Set/ Fuzzy NOT Operator): mF(x) = 1-mF(x) (28.7)

16. „Normálhő” „Magas láz” „Hőemelkedés” m(Testhőmérséklet) Testhőmérséklet +37C +37.5C +38C A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei 4 V fuzzy nyelvi változó (Fuzzy Linguistic Variable): • Azonos x alapváltozón, (pl. Testhőmérséklet) definiált k=1..l véges számú Fk fuzzy érték halmaza V={Fk, k=1..l }, • pl. „Láz” = {“Normálhő”, “Hőemelkedés”, “Magas láz”} • A fuzzy nyelvi változó kapcsolatot teremt egy nyelvi szimbólumrendszer és folytonos változókon értelmezett függvények közt • Így válik a fuzzy a „szavakkal történő számolás tudományává” D fuzzy szótár (Fuzzy Dictionary):D = {Vi, i=1..n} fuzzy nyelvi változók halmaza • Példa egy fuzzy rendszer fuzzy szótár definíciójára fuzzy nyelvi változókkal, fuzzy értékek neveivel, tagságfüggvényeik paramétereivel A fuzzy nyelvi változók összeállítása: • A fuzzy nyelvi változók összeállításának nincsenek elfogadott egzakt matematikai módszerei, ez a Fuzzy rendszerek egyik fő hátránya. • Az előnyük viszont, hogy a későbbiekben ismertetett következtetési mechanizmus sajátosságai miatt elég toleránsan viselkednek a fuzzy változók összeállítása során elkövetett hibákkal szemben

17. Az előadás tartalma A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai • 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Fuzzy logika • A Fuzzy rendszerek előnyei és hátrányai • A Fuzzy rendszerek története • A bizonytalanság ideáltípusai A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei • A Fuzzy halmaz • A tagságfüggvény fajtái • A fuzzy nyelvi változó Fuzzy nyelvi változók kreációja • Egyenlő intervallumok módszere • Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere • Klasztercentrumok módszere • Átlapolás • A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása • Speciális tagságfüggvényű szélső fuzzy értékek használata Fuzzy szabályok • Feltételi rész • Fuzzy szabálysúly • Következtetési rész Fuzzy következtetési mechanizmus • Kompozíciós módszerek • Dekompozíciós módszerek • Példa a vezérlési függvény modellezésére

18. Pl. a Lesson26-ban szereplő Naugatuck Framed Seat Inc. példában a mérnökök korábbi tapasztalataik alapján sejtk, hogy parabolikus kapcsolat van a gyerekülés mérete és használhatósága közt: van egy közepes méret, ami a legjobb • A parabola majdani modellezésére elég egy 3 értékű fuzzy nyelvi változót felvenni: Méret = {„Kicsi”, „Közepes”, „Nagy”} m(x1) x1 m(x1) „Kicsi” „Közepes” „Nagy” Méret, inch A Fuzzy nyelvi változók kreációja 1 A fuzzy értékek számának és csúcsaik helyzetének meghatározása: • Az itt elkövetett hibák iránt a legkevésbé toleránsak a fuzzy rendszerek, ezért többféle módszer is rendelkezésre áll: Egyenlő intervallumok módszere (Equal Intervals Method): • Alkalmazásához csak azt kell tudni, hogy mi az alapváltozó gyakorlatban előforduló (min, max) értéktartománya, illetve, hogy az adott alapváltozó szerint hányadfokú parciális hatást várunk a vezérlési függvényben. • Hüvelykujjszabályként (Rules of Thumb) mindig eggyel több értéket alkalmazunk, mint ahányad fokú kapcsolatot várunk (pl. másodfokúnál hármat, negyedfokúnál ötöt, stb.), ezek egyenlő intervallumokra osztják az alapváltozó értéktartományát. • A módszer előnye, hogy nem kellenek hozzá az input/output változók múltbeli megfigyelései, így prototipizáláskor gyorsan ad egy olyan kiindulási alapot, ami később még finomítható a vezérlés szimulációja során. • Hátránya, hogy a kezdeti beállítás sokszor nagyon messze van az optimálistól. Ezen úgy segíthetünk, hogy ha pl. multiplikatív parciális hatást sejtünk, akkor nem egyenlő intervallumokban vesszük fel az értékeket, hanem úgy hogy tartóik egy növekvő vagy csökkenő mértani sorozatot alkossanak • Ha még a parciális hatás várható fokszámát sem tudjuk, akkor általában páratlan számú, 5, 7 vagy 9 darab értéket veszünk fel, ami illeszkedik az emberi Rövid Távú Memória (lásd: Session1 ) méretéhez. Ez megkönnyíti később a fuzzy szabályok megalkotását.

19. m(x1) „NoAláírás” „Bukott” „Vizsgázott” Pont Frekv(x1) m(x1) x1 x2 A Fuzzy nyelvi változók kreációja 2 Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere (Partial Frequencies Method): • Ez jóval pontosabb, mint az előző módszer, viszont azt igényli, hogy a múltban megfigyelt értékek legalább változónként külön-külön rendelkezésre álljanak. • Ezek változónkénti, parciális gyakoriságait egy olyan gyakorisági hisztogrammon jelenítjük meg, aminek intervallum felbontását optimálisra állítottuk (lásd: Session6 ). • Ekkor megfigyeljük, hány különálló csúcsot látunk a gyakorisági hisztogrammon, és ezen csúcsokhoz illesztjük a fuzzy értékek csúcsainak pozícióit. • A módszer hátránya, hogy a gyakorisági hisztogrammon megfigyelhető eloszlás sokszor nem elég multimodális (több csúcsú) az értékek biztos kijelöléséhez. • Másrészt a gyakorisági hisztogramm csak egy parciális nézete a döntési térbeli sokváltozós eloszlásnak, és könnyen előfordulhat, hogy az ott különálló csúcsok a gyakorisági hisztogrammon átfedik egymást, nem elkülöníthetők.

20. m(x1) m(x1) m(x1), m(x2) x1 x1 x1 x2 A Fuzzy nyelvi változók kreációja 3 Klasztercentrumok módszere (Cluster Centroid Method): • Ha az adott alkalmazáshoz múltban megfigyelt input/output mintavektorokkal rendelkezünk, amelyek reprezentatív mintát adnak a rendszer működéséről, • Ezen a mintaadatbázison végrehajthatunk egy agglomeratív hierarchikus klaszterezést (lásd Session17 ). • Az eredményül kapott klaszterekhez sorolt megfigyelések számtani átlagaként kiszámíthatjuk a klaszter centrumok adott döntési változó szerinti koordinátáit. • Ezekhez pozícionáljuk a fuzzy értékek csúcsait. • Ez a módszer megoldja az előző közelítés fő hátrányát, viszont jobb minőségű adatokat igényel, és érzékeny a klaszterezési módszer helyes kiválasztására és alkalmazására. Az értékek közti átlapolás (Overlap): • Ez a fuzzy értékek tartói közti átlapolás mértéke: hány százaléka két tartó közös része a két tartó átlagos méretének? • A fuzzy rendszerek túlnyomó részében az alapbeállítás 50% • 0% átlapolás esetén a fuzzy rendszer speciális határesetként visszalakul éles szabályalapú rendszerré • Az átlapolás 50% fölé növelése simítja a modellezett vezérlési függvény felületét, viszont egyre inkábbb eltűnteti belőle a lokális csúcsok/völgyek ábrázolásának képességét, emiatt ritkán használjuk. Hatása az idősorok elemzésénél megismert mozgóátlagoláshoz (lásd: Session8) hasonlítható.

21. m(x1) m(x1) m(x1) m(x1) x1 x1 x1 x1 A Fuzzy nyelvi változók kreációja 4 A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása: • A fuzzy rendszerek többségénél háromszög tagságfüggvényeket használnak az alacsonyabb számolásigény, a lebegőpontos számolások elkerülése miatt, ami fontos a mikrokontrollerek kapacitásával történő takarékoskodás miatt. A következtetési mechanizmus később tárgyalt sajátosságai miatt ezek is alkalmasak nemlineáris vezérlési függvények modellezésére • Trapezoidális tagságfüggvényeket akkor használunk, ha a modellezett vezérlési függvény felületébe lépcsőket szeretnénk beiktatni • A harmadfokú görbén alapuló nemlineáris tagságfüggvényeket a magasabb számolásigény miatt akkor használjuk, ha teljesen folytonos, törésmentes, differenciálható felületű vezérlési függvényt akarunk modellezni. Ez azoknál a rendszereknél fontos, ahol a vezérlés hirtelen megváltoztatásából károk keletkeznének (pl. egy teletöltött tankhajó durva kormánymozdulatokra kettétörhet) Speciális tagságfüggvényű szélső értékek használata: • A becslés input fuzzy nyelvi változóinál általában monoton csökkenő/növekvő tagságfüggvénnyel rendelkező szélső fuzzy értékeket használunk, hogy a rendszer szélsőséges inputokra reagálni tudjon valamit. • Az output változóknál a szélső értékek használatának nincs értelme, mert a vezérelt rendszereknek nincs szüksége +/-∞ output értékekre

22. Az előadás tartalma A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai • 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Fuzzy logika • A Fuzzy rendszerek előnyei és hátrányai • A Fuzzy rendszerek története • A bizonytalanság ideáltípusai A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei • A Fuzzy halmaz • A tagságfüggvény fajtái • A fuzzy nyelvi változó Fuzzy nyelvi változók kreációja • Egyenlő intervallumok módszere • Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere • Klasztercentrumok módszere • Átlapolás • A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása • Speciális tagságfüggvényű szélső fuzzy értékek használata Fuzzy szabályok • Feltételi rész • Fuzzy szabálysúly • Következtetési rész Fuzzy következtetési mechanizmus • Kompozíciós módszerek • Dekompozíciós módszerek • Példa a vezérlési függvény modellezésére

23. m(Láz, Kúra) 2+1D Nézet „Közepes” „Közepes” Láz Kúra m(Láz), m(Kúra) 3+1D Nézet „Közepes” Izzad „Közepes” Láz „Közepes” A 4 dimenziós hipergúla egy befele sűrűsödő téglatest Kúra m(Izzad) A Fuzzy szabályok 1 Rfuzzy szabály (Fuzzy Rule): • Vi i=1..n nyelvi változók adott Fiki i=1..n, ki{1.. li} fuzzy értékeit kapcsolja összefuzzy halmazok Descartes-szorzatával (Fuzzy Cartesian Product) • Az input/output alapváltozók és a tagságfügvény-érték alkotta koordináta rendszerben történő grafikus megjelenési formáját fuzzy hipergúlának (Fuzzy Hyperpyramid)nevezzük • Az fuzzy rendszer későbbiekben ismertetett következtetési mechanizmusa (Fuzzy Inference) fuzzy szabályok közti előre láncoláson (Forward Chaining) alapul (adott input értékekből halad az outputok felé) • A közös univerzumhoz (Common Universe) tartozó (azonos I/O változókkal dolgozó) fuzzy szabályok fuzzy szabály blokkot (Fuzzy Rule Block) alkotnak • A fuzzy szabály a következő részekből áll: • Szabálysúly • IF – feltétel az aggregációs módszerrel • THEN – következmény rész az output generációs módszerrel • A fuzzy szabály szöveges formában is ábrázolható: pl. 1.00: IF „Láz”=”Közepes” AND „Izzad”=”Közepes” THEN „Kura”=”Közepes”

24. m(Láz, Izzad) m(Láz, Izzad) „Közepes” „Közepes” „Közepes” „Közepes” mR(x)=0.38 38.5C Láz Láz 5.6ml/sec Izzad Izzad mR(x)=0.58 38.5C 5.6ml/sec A Fuzzy szabályok 2 A fuzzy szabály IF részében a következők zajlanak: • Azx={xi, i=1..n}éles input változóértékek vektorához (Crisp Input Vector) (pl. Láz = 38.5C, Izzadás = 5.6ml/sec) • A szabály mR(x)[0,1]aggregált tagsági/ illeszkedési/ aktivációs/ tüzelési (Aggregate Membership/ Fit/ Activation/ Firing)értéket számít (pl. mR(x)=0.38) • Fuzzy ÉS operátor (Fuzzy AND operator) aggregációs függvény i(Fiki), i=1..n segítségével. • Ezt nevezzük xéles input fuzzifikációjának (Fuzzyfication). A fajtái az alábbiak: Nemkompenzáló (Non-compensatory fuzzy AND): • Mindig a szabályhoz legkevésbé illeszkedő éles input változóérték határozza meg a szabály tüzelését, hiába illeszkedik jól a többi. Az aggregációs függvény parciális deriváltjai közül legalább az egyik mindig0. • Minimum: mR(x)= Mini(mFiki(xi)), i = 1..n (28.8) • Szintvonalai négyszögek, ez a legáltalánosabban használt operátor, jól lehet vele töréspontokat rakni a modellezett vezérlési függvénybe Kompenzáló (Compensatory fuzzy AND): • Al[0,1]paraméter határozza meg az éles input változóértékek illeszkedése közti kompenzáció fokát (0:nincs kompenzáció, 1:teljes) • Min-Max konvex lineáris kombináció: mR(x)= (1-l)×Mini(mFiki(xi)) + l×Maxi(mFiki(xi)), i = 1..n (28.9) • Szintvonalail=0.5-nél rombuszok, a hipergúla maximumától mért Hamming- (House Block) távolságot (illezve közelséget) jeleníti meg

25. m(x1,x2) m(x1,x2) m(x1,x2) x1 x1 x1 x2 x2 x2 A Fuzzy szabályok 3 • Min-átlag konvex lineáris kombináció: mR(x)= (1-l)×Mini(mFiki(xi)) + l×Si(mFiki(xi))/n, i = 1..n (28.10) • Szintvonalail=0.5-nél nyolcszögek • g(Gamma) operátor: a szorzatfüggvény és inverz szorzatfüggvény súlyozott geometriai átlaga:mR(x)= Pi(mFiki(xi))(1-g) + (1-Pi(1-mFiki(xi)))g, i = 1..n (28.11) • Szintvonalaig=0-nál körhöz közelítenek, így a hipergúla csúcsától mért Euklideszi (Euclidean) távolságot (illetve közelséget) jeleníti meg • Szintvonalaig=0.5-nél hiperbolákkal lekerekített sarkú négyszögek • Folytonos, differenciálható vezérlési függvények kialakítá- sához haszná- latos

26. wR=1.00 wR=1.00 mR(x) m(xi,xo) m(xi,xo) mR(xo) mR(xo) xo x x xo mR(x) xo xo xi xi A Fuzzy szabályok 4 wR fuzzy szabály súly (Fuzzy Rule Weight/ DoS, Degree of Support): • Egy wR[0,1] közti skalár, ami a mR(x) aggregált tagsági/tüzelési értékkel szorzódik össze • A szabály jelentőségét jeleníti meg, amit a fuzzy rendszerhez később hozzácsatolt tanulási algoritmusokmódosíthatnak, alapértéke 1.00 • A nyelvi változók összeállítása során elkövetett hibák korrigálásához, a fuzzy rendszer finombeállításához van hozzá szükség • pl. DoS=1.00: IF „Láz”=”Közepes” AND „Izzad”=”Közepes” THEN „Kúra”=”Közepes” Következmény rész (THEN-part): • Vo Output nyelvi változónak a szabályban szereplőFoko ko{1..lo}fuzzy értéke • pl. THEN „Kúra”=”Közepes” • Aminek mFoko(xo) tagságfüggvényét mR(x) aggregált tagsági/tüzelési érték és a szabály wR súlya módosítja • Így adja ki a szabály az mR(xo)egyedi fuzzy output értékét (Individual Fuzzy Output Value) Módszerei: a-szinthalmaz (a-cut) módszer: (unimodális vezérlési függvény modellezésénél hatékonyabb): mR(xo) = Min(wR×mR(x),mFoko(xo)) (28.12) Multiplikatív (Multiplicative) módszer: (multimodális vezérlési függvény modellezésénél jobb): mR(xo) = wR×mR(x)×mFoko(xo) (28.13) • Grafikusan ezek az adott típusú fuzzy hipergúla és x éles inputok generálta hipersíkmetszetei.

27. Az előadás tartalma A Fuzzy Rendszerek alapfogalmai • 28.1 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Mit ábrázol a kép? • 28.2 PÉLDA: Fuzzy jelenségek a gyakorlatban: Egy kis izgalom • Fuzzy logika • A Fuzzy rendszerek előnyei és hátrányai • A Fuzzy rendszerek története • A bizonytalanság ideáltípusai A Fuzzy Rendszerek alkotóelemei • A Fuzzy halmaz • A tagságfüggvény fajtái • A fuzzy nyelvi változó Fuzzy nyelvi változók kreációja • Egyenlő intervallumok módszere • Parciális gyakorisági hisztogrammok módszere • Klasztercentrumok módszere • Átlapolás • A tagságfüggvények fajtájának kiválasztása • Speciális tagságfüggvényű szélső fuzzy értékek használata Fuzzy szabályok • Feltételi rész • Fuzzy szabálysúly • Következtetési rész Fuzzy következtetési mechanizmus • Kompozíciós módszerek • Dekompozíciós módszerek • Példa a vezérlési függvény modellezésére

28. wR1=1 m(xo) mR2(xo) m(xi,xo) mR1(xo) m(xo) wR2=1 xo x xo xi Fuzzy következtetési mechanizmus 1 m(xo) fuzzy eredmény halmaz kompozíciója (Composition of Fuzzy Resulting Set): • A fuzzy szabályokmR(xo) egyedi fuzzy output értékeit •  fuzzy VAGY operátor (Fuzzy OR Operator) segítségével aggregálja: j(mRj(xo)), j=1..m Nem-kompenzáló fuzzy VAGY (Non-compensating fuzzy OR): • Az eredmény fuzzy halmazt tagságfüggvény értékét csak a legjobban tüzelő szabály befolyásolja, a többi szabály tüzelési foka nem számít, nincs kompenzáció: • Max: m(xo)= Maxj(mRj(xo)), j = 1..m (28.14) • Ez a leggyakoribb műszaki alkalmazásokban Kompenzáló fuzzy VAGY (Compensating Fuzzy OR): • l[0.75,1] vagy g[0.75,1] paraméter értékeknél kompenzáló VAGY operátorok alakulnak ki: • Min-Max konvex lineáris kombináció: mR(x)= (1-l)×Mini(mFiki(xi)) + l×Maxi(mFiki(xi)), i = 1..n (28.15) • g(Gamma) operátor:mR(x)= Pi(mFiki(xi))(1-g) + (1-Pi(1-mFiki(xi)))g, i = 1..n (28.16) Tökéletesen kompenzáló fuzzy VAGY (Full compensating Fuzzy OR): • Korlátos összeg (Bounded Sum): m(xo)= Min(1,Sj(mRj(xo)), j = 1..m) (28.17) • A kompenzáló VAGY operátorok ritkán használatosak, mert nagyon durván ellenhatnak a modellezett vezérlési függvény multimodalitásának

29. m(xo) m(xo) mR2(xo) mR2(xo) m(xi,xo) m(xi,xo) mR1(xo) mR1(xo) xo* m(xo) m(xo) xo xo x x xo xo xi xi xo* Fuzzy következtetési mechanizmus 2 A fuzzy eredményhalmazhalmaz defuzzyfikációja/ dekompozíciója (Defuzzyfication/ Decomposition): • Bizonyos alkalmazásokban (pl. tőzsdei árfolyam-előrejelzés) a többértékű fuzzy eredményhalmaz közvetlenül is használható • De a legtöbb műszaki alkalmazásnál a vezérelt rendszernek egyetlen xo*éles output (Crisp Output)értékre van szüksége, ezt elő kell állítani az eredmény fuzzy halmazból: A legjobban tüzelő szabály tagságfüggvény értékének maximumhelye (MoM, Mean of Maximum): • A leghihetőbb megoldás (Best Plausible Solution), főleg előrejelzésnél használatos xo* = xj*|(mRj(xo)=Maxxo(mRj(xo))(wRj×mRj(x)=Maxx(wRj×mRj(x))), j=1..m (28.18) Maximumok súlyozott középértéke (CoM, Center of Maxima): • Az egyedi output fuzzy értékek mRj(xo), j=1..m tagságfüggvényei xj* maximumhelyeinek wRj×mRj(x) szabálytüzeléssel súlyozott átlaga: xo* = Sj(wRj×mRj(x)×(xj*|mRj(xo)=Maxxo(mRj(xo)))) / Sj(wRj×mRj(x)), j=1..m (28.19)

30. m(xo) m(xo) mR2(xo) mR2(xo) m(xi,xo) m(xi,xo) mR1(xo) mR1(xo) xo* m(xo) m(xo) xo xo x x xo xi xi mR4(¬xo) xo ¬xo* mR3(¬xo) m(¬xo) m(¬xo) xo* Fuzzy következtetési mechanizmus 3 Eredményhalmaz súlypontja (CoG, Center of Gravity, CoA Center of Area):Ez a leggyakoribb, a legpontosabb, de leglassabb számítási mód • A legjobb kompromisszum (Best Compromise), főleg műszaki alkalmazásoknál használatos xo* = Sz(m(xoz)*xoz) / Sz(m(xoz)), z=1..Z (28.20) • ahol: z=1..Z az xo output változó megfelelő pontosságú felbontása diszkrét xozértékekre a numerikus integráláshoz HyperCoM (Hyper Center of Maximums): • Ugyanaz, mint a CoM, csak két részre bontja a szabályhalmazt: • Javasoló (Positive) szabályok: mi kellene hogy legyen az output: xo • Tiltó (Negative) szabályok: mi nem kellene, hogy legyen az output: ¬xo • A pozitív és negatív rész külön aggregálódik CoM-mal, majd ezek éles eredményeinek összevetésével születik meg az éles output • Több kritérium alapján több egymást kizáró alternatíva közti döntésnél (Multi Attribute Decision Making, MADM) használatos, főleg gazdasági-beruházási területeken (pl. egy tervezett metró útvonal előnyei/hátrányai)

31. m(xi,xo) xo xi* xi xo* A vezérlési függvény modellezése 1 Az ábrán egy példát látunk egy input (xi) és egy output (xo) változós fuzzy szabályalapú eloszlásfüggetlen becslési rendszer működésére: A paraméterek: • Fuzzy értékek száma: 3db input/ 3db output („Kicsi”, „Közepes”, „Nagy”) • Fuzzy értékek fajtája: trianguláris + trapezoidális végértékek, 50%-os átlapolással • Fuzzy ÉS operátor: Min, Fuzzy VAGY operátor: Max • Defuzzyfikáció:az eredményhalmaz súlypontja, CoA A szabálybázis: • DoS=1.0: HA Input „Kicsi” AKKOR Output „Kicsi”; • DoS=1.0: HA Input „Közepes” AKKOR Output „ Közepes”; • DoS=1.0: HA Input „Nagy” AKKOR Output „Nagy”; xi* aktuális éles input értéket növelgetve a fuzzy következtetési mechanizmus kirajzolja a modellezett vezérlési függvényt, ami megadja xo* aktuális output értéket

32. Számítógépes alkalmazások fuzzy rendszerekhez 1 • A FuzzyHyperPyramid.xls fájlban egy demót láthatunk a fuzzy halmazok és hipergúlák alakjára a különböző paraméterbeállítások esetén. A sárga legördülő menükben és cellákban adhatjuk meg, az értékek csúcsának helyét, szélességét, oldalaik S-görbületi hatványfokát, az esetleges nyelvi módosítójukat, az értékek aggregációjának tipusát és kompenzációs fokát, a fuzzy szabály súlyát. A digrammon az aggregálandó értékeket és Descartes-szorzatukat látjuk

33. Szakirodalom Fuzzy elméleti alapok: • Fuzzy alapdefiníciók (angolul): http://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_logic • Fuzzy bevezető (magyarul): http://csaba.gamf.hu/segedlet/MI/Johanyak%20Fuzzy%20logika%20segedlet.pdf Kereskedelmi Fuzzy rendszerek: • Informs Gmbh. Fuzzytech: fuzzy szabálygenerátor GUI, időkorlátlan shareware, nincs mentés http://www.fuzzytech.com • Aptronix Inc. FIDE: 30 napos shareware, GUI: http://www.aptronix.com/fide/ Ingyenes Fuzzy rendszrek: • Telepítővel és GUI-val rendelkező önálló rendszerek: • XFuzzy: http://www.imse.cnm.es/Xfuzzy/Xfuzzy_3.0/download.html • Fool&Fox (Csak LINUX alól fut!): http://rhaug.de/fool/ • Fuzzy forráskód könyvtárak • FuzzyClips: C++, Nincs GUI: http://www.iit.nrc.ca/IR_public/fuzzy/fuzzyClips/fuzzyCLIPSIndex2.html • FuzzyJess: Java, GUI: http://www.iit.nrc.ca/IR_public/fuzzy/fuzzyJToolkit2.html • jFuzzyLogic: Java, GUI van: http://jfuzzylogic.sourceforge.net/html/index.html Kereskedelmi adatbányászati rendszerek fuzzy komponensekkel: • DataEngine Inc. DataEngine: alapstatisztikák, fuzzy, neurális hálók, általános adatbányászati eszköztár, 30 napos shareware, nincs mentés http://www.dataengine.de • Attar Inc. XPertRule: teljesítménylimitált demó: http://www.xpertrule.com/index.htm Ingyenes adatbányászati rendszerek fuzzy komponensekkel: • IBM ABLE: http://www.research.ibm.com/able/doc/reference/overview-summary.html • Yale: http://www-ai.cs.uni-dortmund.de/SOFTWARE/YALE/documentation.html