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第三节 定积分的还原积分法和分部积分法. 一、积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、定积分的几个常用公式 四、小结. 一、积分的换元积分法. 定理 设函数 ：. （ 1 ）. （ 2 ）. 则有. 上式称为定积分的换元公式. 证 由于 设为 F( ) ，有. 复合函数. 因此. 本例中，. 在积分区间上的反函数。由于存.
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第三节 定积分的还原积分法和分部积分法 • 一、积分的换元积分法 • 二、定积分的分部积分法 • 三、定积分的几个常用公式 • 四、小结
一、积分的换元积分法 定理 设函数 ： （1） （2） 则有 上式称为定积分的换元公式 证 由于 设为F( )，有
复合函数 因此
本例中， 在积分区间上的反函数。由于存 在反函数的连续函数一定单调，因此，只要能写出变换的反函数，就不必要在检验变换的单调性。今后定积分换元时，通常都写出它的反函数，不必再检验其单调性。
解 例1求
例2求 解 设
例3求 解 故
例4 解 设 换元公式也可以反过来使用，即 这是，通常不写出中间变量 ，而写作
例5求 注意这里积分上下限不作变更，如上节例9、例10的表述， 下面再举一例. 可见，这种计算法对应于不定积分的第一类换元法，即凑微分法.
例6 证明：在关于原点对称的区间[-a,a]上，y=f(x) 为奇函数时， 证 由定积分的性质3，有 从而 由于y=f(x)为奇函数，故f(-x)=f(x)=0，
因此，当y=f(x)为奇函数时， 故同理，当y=f(x)为偶函数时， 例7 求 解 被积函数 是奇函数，且积分区间[-2,2]关 于原点对称，故
例8求 解
例10求 解 可见，定积分的分部积分法，本质上是利用不定积分的 分部积分法求原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式求得结果， 这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出分部就代入上 下限，即积出一步代一步，不必等到最后一步代。
四、小结 定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）
解 令
计算中第二步是错误的. 正确解法是
