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第一章 三角

第一章 三角. 1-5三角測量. 目錄. 1-5三角測量 甲 ﹑ 測量相關名詞 乙 ﹑ 三角函數值表 丙 ﹑ 利用計算器求三角函數值 丁 ﹑ 平面與立體測量. 請看課本 p.66. 三角學創始於西元前約 150 年 , 為當時觀測星星的需要所發展出來的 , 用以作為研究天文的工具 , 而今三角學已廣泛地應用於天文 ﹑ 地理 ﹑ 航海 ﹑ 物理 ﹑ 建築 ﹑ 工程 ﹑ 測量等. 例題 1. 隨堂練習 1. 下一主題. 甲 ﹑ 測量相關名詞. 請看課本 p.66.

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第一章 三角

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  1. 第一章 三角 1-5三角測量

  2. 目錄 • 1-5三角測量 • 甲﹑測量相關名詞 • 乙﹑三角函數值表 • 丙﹑利用計算器求三角函數值 • 丁﹑平面與立體測量

  3. 請看課本p.66 • 三角學創始於西元前約150年, 為當時觀測星星的需要所發展出來的, 用以作為研究天文的工具, 而今三角學已廣泛地應用於天文﹑地理﹑航海﹑物理﹑建築﹑工程﹑測量等. 例題1 隨堂練習1 下一主題

  4. 甲﹑測量相關名詞 請看課本p.66 • 在測量時, 我們常要描述物體的仰角﹑俯角與方位, 因此, 我們先介紹這些常用的名詞. • 仰角：眼睛往上看目標物時, 視線與水平線間的夾角稱為仰角. • 俯角：眼睛往下看目標物時, 視線與水平線間的夾角稱為俯角. 例題1 隨堂練習1 下一主題

  5. 請看課本p.66 • 方位：一般大家熟悉的方位有東﹑西﹑南﹑北四個主要的方位, 若要更精準指出目標物的方位時,則須再配合角度的說明. 我們以右圖為例說明： • 若觀測者在原點O, 則 • A點的方位為北30˚東（或東60˚北）, • B點的方位為北70˚西（或西20˚北）, • C點的方位為南40˚西（或西50˚南）, • D點的方位為東45˚南（或東南方）. 例題1 隨堂練習1 下一主題

  6. 例題1 請看課本p.67 某天, 阿源與阿華利用假日到高雄東帝士摩天大樓附近逛街時, 由於最近剛學過三角測量, 因此想要測量東帝士摩天大樓的高度. 他們在地面上的A點位置測量樓頂C的仰角為45˚,接著面向大樓的方向前進160公尺後到達D點,再測得樓頂C的仰角為60˚, 試問他們測得東帝士摩天大樓的高度為多少公尺？ 例題1 隨堂練習1 返回 下一主題

  7. 例題1 請看課本p.67 • 解： • 設樓高　　 = x公尺, • (a) 在△CAB中, tan 45˚ = • (b) 在△CDB中, tan 60˚ = 例題1 隨堂練習1 返回 下一主題

  8. 東帝士摩天大樓於1997年建成, 共85層樓, 實際高度為347.5公尺, 連同電訊桿的高度達378公尺. (1.732) 例題1 請看課本p.67 • 解： 故東帝士摩天大樓高度為 240+80 公尺 （約379公尺）.  例題1 隨堂練習1 返回 下一主題

  9. 隨堂練習1 請看課本p.67 小華家住在E棟大樓的某一樓層, 某天, 他從家裡的窗口, 測得對面F棟大樓樓頂的仰角為30°, 又測得樓底的俯角為45°, 已知這兩棟大樓相距30公尺, 求F棟大樓的高度. • 解： • 依題意先繪製一略圖, 如右圖所示, • (1) 在△DBP中, tan30° = 例題1 隨堂練習1 返回 下一主題

  10. 隨堂練習1 請看課本p.67 小華家住在E棟大樓的某一樓層, 某天, 他從家裡的窗口, 測得對面F棟大樓樓頂的仰角為30°, 又測得樓底的俯角為45°, 已知這兩棟大樓相距30公尺, 求F棟大樓的高度. • 解： • (2) 在△CBP中, tan45° = • 即F棟大樓的高度為 公尺. 例題1 隨堂練習1 返回 下一主題

  11. 請看課本p.68 • 例題1及其隨堂練習中, 測量所得到的角度都是30˚, 45˚, 60˚ 等特別角, 但是在一般的測量時, 所測得的角度很少是特別角, 因此為能符合實際情況, 底下我們來介紹三角函數值表及如何利用計算器求三角函數值. • 註：就sin A而言, 由於每給定∠A的度數, sin A也會隨之確定, 所以根據函數的定義可知 sin A是∠A的函數, 我們稱 sin A為∠A的正弦函數. • 同理 cos A, tan A, 也都是∠A的函數, 分別稱之為餘弦函數﹑正切函數. 回顧函數的定義若f為兩變數x與y之間的對應關係, 且對每一個x值, 有而且僅有一個y值與之對應, 則稱f為一函數, 記為y= f (x).  前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  12. 請看課本p.68 • 我們應用第23頁隨堂練習的概念, 配合方格紙與量角器, 設計了一個多用途的「量角器三角測量板」於書末, 同學可依說明操作, 進而求得測量物的仰（俯）角及其三角函數的近似值. 前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  13. 1˚ = 60'. 乙﹑三角函數值表 請看課本p.68 • 為了使角度的測量更精確, 我們將1度等分為60分, 再將1分等分為60秒, • 即1度 = 60分, 記作 1˚ = 60' , • 1分 = 60秒, 記作 1' = 60". • 例如：63度24分50秒, 記作63˚ 24' 50". 56.3˚ = 56˚ + 0.3˚ • = 56˚ + 0.3 × 60' • = 56˚ 18'. 前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  14. 請看課本p.68 • 本書附錄中的「三角函數值表」列出從0˚到90˚間, 每個間隔都是10'的sin, cos, tan的函數值, 大多為近似值, 其表格內容介紹如下： • 三角函數值表共有四行. • 左起第一行, 由上而下, 角度依次為0˚ 00' , 0˚ 10' ,  , 89˚ 50' , 90˚ 00'. • 最上一列, 左起第二行到第四行, 依次為sin, cos, tan各函數符號, 這些函數符號下面的數, 就是該函數在最左一行的角度所對應的函數值. 前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  15. 三角函數值表中, 除了下表所列出的值外, 其餘皆為 近似值. 請看課本p.69 • 註：從三角函數值表中，我們可以看出在0°≤θ ≤90°時，sinθ與tanθ的函數值，皆隨著角度θ增大而增大，而cosθ的函數值，則隨著角度θ增大而減小.  前一主題 例題2 隨堂練習2 下一主題

  16. 例題2 請看課本p.69 試利用附錄的三角函數值表, 求sin 37˚. 若tan=0.7627, 求銳角θ. • 解： • 將附錄一的三角函數值表, 節錄部分如下： 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  17. 例題2 請看課本p.69 試利用附錄的三角函數值表, 求sin 37˚. 若tan=0.7627, 求銳角θ. • 解： • 找到sin的直行與37° 00的橫列銷交位置 • 的數0.6018, 即表示sin37°≈0.6018. • 從tan那一行往下找, 直到找到0.7627. • 0.7627是tan的直行與37° 20 的橫列相交位置 的數. • 即表示tan37°20' ≈ 0.7627, 所以θ ≈ 37° 20'. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  18. 隨堂練習2 請看課本p.70 試利用附錄的三角函數值表, 求cos78°10'. 若sinθ = 0.3393, 求銳角θ. • 解： •  找到cos的直行與78°10'的橫列相交位置 的數0.2051, 即表示cos78°10' ≈ 0.2051. • 從sin那一行往下找, 直到找到0.3393, • 而0.3393是sin的直行與19°50'的橫列 相交位置的數. • 即表示sin19°50' ≈ 0.3393, 所以θ ≈ 19°50'. 前一主題 例題2 隨堂練習2 返回 下一主題

  19. 請看課本p.70 • 若我們要查的三角函數值, 在附錄的三角函數值表中找不到, 則可仿照第一冊對數表的線性內插法來估算. • 底下我們就以例題來說明, 如何利用線性內插法, 求三角函數值的近似值. 前一主題 例題3 隨堂練習3 下一主題

  20. 例題3 請看課本p.70 試利用附錄的三角函數值表及內插法, 求sin 35˚ 43' 的近似值. • 解： • 由於35˚ 43'不在三角函數值表中, 因此先查 sin 35˚ 40'  0.5831 與sin 35˚ 50'  0.5854. 設sin 35˚ 43' = y, • 則　　= y − 0.5831, 如右圖所示. • 由於35˚ 40' 與35˚ 50' 兩個角度非常接近, • 因此 = y − 0.5831, 前一主題 例題3 隨堂練習3 返回 下一主題

  21. 內插法：以D點的y值做為P點y值的近似值. 利用 例題3 請看課本p.70 試利用附錄的三角函數值表及內插法, 求sin 35˚ 43' 的近似值. • 解： • 又因為 △ADE～△ABC, • 所以 • 整理得　　= ×0.0023=y − 0.5831, • 解之得y 0.58379  0.5838, • 所以sin 35˚43'  0.5838.  前一主題 例題3 隨堂練習3 返回 下一主題

  22. 請看課本p.71 • 我們可將例題3簡化列表如下： • 由上表可列式如下： • 即可求得 sin 35˚ 43' 的近似值. 前一主題 例題3 隨堂練習3 返回 下一主題 下一主題

  23. 隨堂練習3 請看課本p.71 試利用附錄的三角函數值表及內插法, 求cosθ = 0.7817的銳角θ之近似值. • 解： • 由於0.7817不在三角函數值表中, • 因此先查cos38°30' ≈ 0.7826 • 與cos38°40' ≈ 0.7808. • 設θ = 38°x', 列表如右： • 得 • 解之得x = 35, 所以θ ≈ 38°35'. 前一主題 例題3 隨堂練習3 返回 下一主題

  24. 丙﹑利用計算器求三角函數值 請看課本p.71 • 求三角函數值, 除了查三角函數值表外, 我們也可利用電腦作業系統中所提供的小算盤來求得, 說明如下： • 由開始/程式集/附屬應用程式/小算盤, 呼叫出小算盤. 前一主題 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  25. 請看課本p.71 • 由小算盤的功能列選擇檢視/工程型將之切換到工程型計算系統: 前一主題 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  26. 請看課本p.72 • 確定操作狀態如上圖中在十進位及度度量（Deg）狀態. • 鍵入所要求的三角函數, 如： 前一主題 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  27. 丁﹑平面與立體測量 請看課本p.72 • 底下, 我們應用本章所學的三角學, 來處理一般的測量問題. 前一主題 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  28. 例題4 請看課本p.72 阿源於板橋火車站候車時, 走到樓上參觀, 並利用自備的三角簡易測量工具（如本書末的操作）測得對面約300公尺遠的臺北縣政府樓頂之直昇機停機坪的仰角為18°, 以及一樓樓底的俯角為8°, 試根據阿源測得的資料, 求直昇機停機坪離地面的高度. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  29. 例題4 請看課本p.72 • 解： • 如題目圖所示, • 在△PAB中, • 在△PBC中, • 又查表得tan18°  0.3249, tan8°  0.1405, •  300．0.3249 = 97.47, •  300．0.1405 = 42.15. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  30. 例題4 請看課本p.72 • 解： • 97.47+42.15=139.62, • 所以直昇機停機坪離地面的高度約為139.62公尺. 臺北縣政府大樓為地上三十三層﹑ 地下四層的大樓, 高度為140.5公尺.  前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  31. 隨堂練習4 請看課本p.73 • 臺北縣消防局有全國最高的雲梯消防車, 其梯臂最多可伸長72公尺, 其底座離地1.5公尺, 當梯臂完全展開且與地面的夾角為75°時, • 求梯頂離地面的高度.（四捨五入後求到整數） • 若大樓的每一層樓高3公尺, 此時梯臂最高可至第幾層樓？ 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  32. 隨堂練習4 請看課本p.73 • 臺北縣消防局有全國最高的雲梯消防車, 其梯臂最多可伸長72公尺, 其底座離地1.5公尺, 當梯臂完全展開且與地面的夾角為75°時, • 求梯頂離地面的高度.（四捨五入後求到整數） • 解： •  • 查表得sin75°0.9659, • 所以　　72 × 0.9659 = 69.5448, • 即　　　69.5448 + 1.5 = 71.0448, • 故梯頂離地面的高度約為71公尺. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  33. 隨堂練習4 請看課本p.73 • 臺北縣消防局有全國最高的雲梯消防車, 其梯臂最多可伸長72公尺, 其底座離地1.5公尺, 當梯臂完全展開且與地面的夾角為75°時, • 若大樓的每一層樓高3公尺, 此時梯臂最高可至第幾層樓？　 • 解： •  因為71 ÷ 3 = 23.66 , • 所以梯臂最高可至第24層樓. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  34. 例題5 請看課本p.73 • A, B兩地的距離. • 當兩邊的施工人員分別沿著動線AP與BQ施工時（點A, P, Q, B在同一線上）, ∠CAP與∠CBQ的角度應保持多少度, 才能使兩邊的施工人員在山的內部會合. A, B兩地分別在山的東西兩側,今想挖一條筆直的隧道連接兩地,為了節省時間, 想從A, B兩地同時開挖, 然後在山的內部會合,如右圖. 若C地位於山的南方, 與A, B兩地的距離分別為5公里與8公里,且測得∠ACB = 60˚, 試求： 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  35. 例題5 請看課本p.73 A, B兩地分別在山的東西兩側,今想挖一條筆直的隧道連接兩地,為了節省時間, 想從A, B兩地同時開挖, 然後在山的內部會合,如右圖. 若C地位於山的南方, 與A, B兩地的距離分別為5公里與8公里,且測得∠ACB = 60˚, 試求：A, B兩地的距離. • 解： • 在△ABC中, • 由餘弦定理得　　=52+82－2 · 5 · 8 · cos 60˚ • = 89－2 · 5 · 8 · = 49, • 所以 　　= 7, 即A, B兩地的距離為7公里. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  36. 例題5 請看課本p.73 • 當兩邊的施工人員分別沿著動線AP與BQ施工時（點A, P, Q, B在同一線上）, ∠CAP與∠CBQ的角度應保持多少度, 才能使兩邊的施工人員在山的內部會合. • 解： • 在△ABC中, • 由餘弦定理得 cosB =  0.7857, • 查表知 cos38˚ 10'0.7862, cos38˚ 20'0.7844, 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  37. 例題5 請看課本p.74 • 當兩邊的施工人員分別沿著動線AP與BQ施工時（點A, P, Q, B在同一線上）, ∠CAP與∠CBQ的角度應保持多少度, 才能使兩邊的施工人員在山的內部會合. • 解： •  由內插法得 • 得 x = 13, 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  38. 例題5 請看課本p.74 • 當兩邊的施工人員分別沿著動線AP與BQ施工時（點A, P, Q, B在同一線上）, ∠CAP與∠CBQ的角度應保持多少度, 才能使兩邊的施工人員在山的內部會合. • 解： •  所以∠B  38˚ 13', • 故∠A  180˚ – 60˚ – 38˚ 13' = 81˚ 47', • 所以當∠CAP 81˚ 47', ∠CBQ  38˚ 13' 時, 才能在山的內部會合. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  39. 隨堂練習5 請看課本p.74 • 在雷達站A處觀察以定速直線行駛的一船, 於中午12點15分, 測得該船在北55˚西的P處, 於下午2點15分, 測得該船在北65˚東的Q處, 若雷達站A與P, Q分別相距30公里與50公里, 試求： • 的距離. • 船航行的方向. • 解： • 在△APQ中, ∠PAQ = 120°, • 由餘弦定理得 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  40. 隨堂練習5 請看課本p.74 • 在雷達站A處觀察以定速直線行駛的一船, 於中午12點15分, 測得該船在北55˚西的P處, 於下午2點15分, 測得該船在北65˚東的Q處, 若雷達站A與P, Q分別相距30公里與50公里, 試求： • 的距離. • 船航行的方向. • 解： •  • 所以　　=70（公里）. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  41. 隨堂練習5 請看課本p.74 • 船航行的方向. • 解： • 設∠APQ = θ, 由餘弦定理得 •  0.7857, • 由例題6知θ  38°13', • 又因為∠APB = 90°  55° = 35°, • 所以∠BPQ 38°13'  35° = 3°13', • 故船航行的方向約為東3°13'北. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  42. 例題6 請看課本p.74 小明與小華想要測量總統府中間樓頂的高度, 由於憲兵不讓兩人靠近總統府, 因此小明與小華只好在總統府前方的凱達格蘭大道上觀測. 此時, 總統府中間樓頂的方位在小明的北55˚東, 在小華的北35˚西, 而小明測得其仰角為45˚；小華測得其仰角為30˚, 又兩人相距120公尺. 設總統府中間樓頂的高度為x公尺.試以x表示小明與總統府中間正門的距離. 試以x表示小華與總統府中間正門的距離. 求總統府中間樓頂的高度. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  43. 例題6 請看課本p.75 試以x表示小明與總統府中間正門的距離. • 解： • 設D為總統府的中間樓頂, 且垂直於地面 的垂足為C, A與B分別為小明與小華的 觀測點, 如右圖. • 在△ACD中, • tan 45˚ =　　 又　　= x, • 所以 1 =　　 即　　= x, • 故小明與總統府中間正門的距離為x公尺. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  44. 例題6 請看課本p.75 試以x表示小華與總統府中間正門的距離. • 解： • 在△BCD中, tan30°=, 又　　= x, • 所以 即 • 故小華與總統府中間正門的距離為　 x公尺. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  45. 例題6 請看課本p.75 求總統府中間樓頂的高度. • 解： • 由於總統府中間樓頂的方位在小明的 北55˚東及在小華的北35˚西, 所以 ∠ACB = 90˚, • 即△ABC為直角三角形, • 由畢氏定理得 • 整理得 • 所以 x = 60, • 故總統府中間樓頂的高度為60公尺. 總統府為五層樓的建築物, 建於西元1918年,第二次世界大戰末期,這棟建築曾遭到轟炸而嚴重毀損. 臺灣光復後,在民國35年重建完成, 實際高度約為60公尺.  前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  46. 隨堂練習6 請看課本p.75 公園有一塔, 塔高不滿80公尺, 甲在塔的正西方A點, 測得塔頂的仰角為30°, 然後往東30°南方向前進100公尺至B點, 又測得塔頂的仰角為45°, 試求塔的高度. • 解： • 依題意先繪製略圖, 如右圖. • 設塔高為h公尺, • 因為△APQ與△BPQ皆為直角三角形, 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  47. 隨堂練習6 請看課本p.75 公園有一塔, 塔高不滿80公尺, 甲在塔的正西方A點, 測得塔頂的仰角為30°, 然後往東30°南方向前進100公尺至B點, 又測得塔頂的仰角為45°, 試求塔的高度. • 解： • 在△ABQ中, 由餘弦定理得 • 整理得h2 – 150 h + 5000 = 0, • 因式分解得(h – 50)(h – 100) = 0, 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  48. 隨堂練習6 請看課本p.75 公園有一塔, 塔高不滿80公尺, 甲在塔的正西方A點, 測得塔頂的仰角為30°, 然後往東30°南方向前進100公尺至B點, 又測得塔頂的仰角為45°, 試求塔的高度. • 解： • 所以h = 50或h = 100, 又塔高不滿80公尺, 故塔的高度為50公尺. 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  49. 例題7 請看課本p.76 如右圖, P, Q, R為一條筆直公路上的三點, 且 公尺, 設公路旁有一大型的廣告看板, 今有人駕車行駛在公路上, 且由P, Q, R觀測看板頂端A所得的仰角分別為30˚, 45˚, 60˚, 設A在地面上的垂足為B且 　　x公尺, 試以x表 求廣告看板的高度 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

  50. 例題7 請看課本p.76 試以x表 • 解： • 由於△PAB, △QAB, △RAB皆為 直角三角形, • 所以 前一主題 返回 下一主題 例4 隨4 例5 隨5 例6 隨6 例7 隨7

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