บทที่ 3

1. บทที่ 3 การแจกแจงปกติ

2. การแจกแจงปกติ การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงที่สำคัญที่สามารถใช้แทนการแจกแจงของข้อมูลในหลาย ๆ ด้าน เช่น ความสูง น้ำหนัก คะแนนสอบ เป็นต้น กราฟของการแจกแจงปกติเรียกว่า โค้งปกติ มีลักษณะเป็นรูประฆัง (ที่สมมาตร)

3. คุณสมบัติของโค้งปกติ 1) เป็นโค้งปกติสมมาตร 2) มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ  และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ  3)พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 หรือ 100% 4)ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมมีค่าเท่ากันและอยู่ตรงกลางของกราฟ ดังนั้นจะแบ่งพื้นที่ใต้ โค้งปกติออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ครึ่งละ 0.5 หรือ 50% พื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมด = 1 หรือ 100%

4. คุณสมบัติของโค้งปกติ 5) ปลายหางทั้งสองข้างของโค้งปกติ จะเข้าใกล้แกนนอน แต่จะไม่ตัดแกนนอน และพื้นที่ระหว่างแกนนอนกับเส้นโค้งปกติ จะมีค่าใกล้ศูนย์เมื่ออยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตไปมาก ๆ

5. คุณสมบัติของโค้งปกติ • โค้งปกติจะมีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต () และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน () ซึ่งเป็นค่าพารามิเตอร์ ดังนั้น เมื่อทราบค่าพารามิเตอร์ 2 ค่านี้ จะสามารถหาพื้นที่ใต้โค้งปกติ ในช่วงที่กำหนดให้ได้ จึงมีโค้งปกติได้มากมายขึ้นอยู่กับค่า  และ นี้ โดย  จะเป็นค่าบนแกนนอนที่จะแบ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และ จะเป็นค่าที่จะทำให้โค้งปกติโด่งมากหรือโด่งน้อย เช่น กราฟของโค้งปกติด้านข้างเป็นโค้งปกติที่มีค่า เท่ากันแต่ ต่างกัน 3 ค่า

6. การแจกแจงปกติมาตรฐาน • เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งก็คือความน่าจะเป็น ดังนั้นเมื่อต้องการหาค่าความน่าจะเป็นหรือพื้นที่ใต้เส้นโค้งในช่วงใดช่วงหนึ่ง ต้องใช้วิธีการอินทิเกรต เนื่องจากเป็นตัวแปรแบบต่อเนื่อง ซึ่งทำได้ยาก จึงสร้างตารางเพื่อหาพื้นที่หรือความน่าจะเป็นสำหรับ = 0 และ = 1 เรียกว่า การแจกแจงปกติมาตรฐานใช้สัญลักษณ์ Z โดย เมื่อ X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ  และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ และ Z มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 คะแนนมาตรฐานมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่ 2 ค่าขึ้นไปว่ามีค่ามากหรือน้อย โค้งการแจกแจงปกติมาตรฐาน = 0 , = 1

7. ตัวอย่าง • ความเร็วเฉลี่ยของรถบรรทุกบนถนนไฮเวย์เท่ากับ 70 กม.ต่อชม. และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5 กม.ต่อ ชม. มีรถบรรทุก 3 คัน ขับรถบนถนนไฮเวย์ด้วยความเร็ว 80 และ 62 และ 70 กม. ต่อชม. จงหาค่ามาตรฐานของความเร็วรถทั้ง 3 คัน

8. ตัวอย่าง • ความเร็วเฉลี่ยของรถบรรทุกบนถนนไฮเวย์เท่ากับ 70 กม.ต่อชม. และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กม.ต่อชม. จงหาความเร็วเมื่อทราบค่ามาตรฐานเป็น 1.96, -2.33 และ 0 • ให้ X เป็นความเร็วของรถบรรทุก • Z = • = 70 , = 5 • x = + Z • Z = 1.96 x = 70 + 1.96(5) = 70 + 9.80 = 79.80 กม.ต่อ ชม. Z = -2.33 x = 70 + 2.33(5) = 70 – 11.65 = 58.35 กม.ต่อ ชม. Z = 0 x = 70 - 0(5) = 70 กม.ต่อ ชม. • ความเร็ว 79.8 กิโลเมตร/ชั่วโมง มีค่าสูงกว่าความเร็วเฉลี่ย • 58.35 กิโลเมตร/ชั่วโมง มีค่าต่ำกว่าความเร็วเฉลี่ย • 70 กิโลเมตร/ชั่วโมง มีค่าเท่ากับความเร็วเฉลี่ย

9. ตัวอย่าง • จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก Z = 0 ถึง Z = 1.95

10. ตัวอย่าง • จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจาก Z = -2.17 ถึง Z = 0

11. ตัวอย่าง • จงหาพื้นที่ดังต่อไปนี้ 1. พื้นที่ (Z > 2.32) 2. พื้นที่ (Z < -1.54) 3. พื้นที่ (1.19 < Z < 2.12) 4. พื้นที่ (-1.56 <Z < 2.13) 5. พื้นที่ (Z > -75) 6. พื้นที่ (-2 < Z < -.5)

12. ตัวอย่าง • พื้นที่ (Z > 2.32) • = 0.5 – พื้นที่ (0 < Z < 2.32) • = 0.5 - .4848 • = 0.0152 • พื้นที่ (Z < -1.54) • = พื้นที่ (Z > 1.54) • = 0.5 – พื้นที่ (0 < Z < 1.54) • = 0.0618 • พื้นที่ (1.19 < Z< 2.12) • = พื้นที่ (0 <Z < 2.12) – พื้นที่(0 < Z < 1.19) • = 0.4830 - 0.3830 • = 0.10

13. ตัวอย่าง • 4. พื้นที่ (-1.56 <Z < 2.13) • = พื้นที่ (-1.56 < Z < 0) + พื้นที่(0 < Z < 2.13) • = พื้นที่ (0 < Z < 1.56) + พื้นที่ (0 < Z < 2.13) • = .4406 + .4834 • = .9240 • 5. พื้นที่ (Z > -75) • = พื้นที่(Z < .75) • = 0.5 + พื้นที่ (0 < Z < .75) • = 0.5 + .2088 • = .7088 • พื้นที่ (-2 < Z < -.5) • = พื้นที่ (.5 < Z < 2) • = พื้นที่ (0 < Z < 2) – พื้นที่ (0 < Z < .5) • = .4772 - .1915 • = .2857

14. การแจกแจงปกติมาตรฐาน สามารถสรุปได้ดังนี้ 1) พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานในช่วง 1 หน่วยของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยเท่ากับ 68.26% พื้นที่ (-1 < Z < 1) = 68.26% พื้นที่ที่ต้องการหาเป็นผลบวกของพื้นที่ระหว่าง Z= -1 ถึง Z=0 และระหว่าง Z=0 และ Z= -1 ซึ่งพื้นที่แต่ละช่วงเป็น 0.3413 หรือ 34.13% ดังนั้นพื้นที่ระหว่าง Z = -1 ถึง Z = 1 เท่ากับ 34.13 + 34.13 หรือ 64.13%

15. การแจกแจงปกติมาตรฐาน สามารถสรุปได้ดังนี้ 2)พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตาฐานในช่วง 2 หน่วยของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยเท่ากับ 95.44% พื้นที่ (-2 < Z < 2) = 95.44 % • พื้นที่ที่ต้องการหาเป็นผลบวกของพื้นที่ระหว่าง Z = -2 ถึง 0 และระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 2 ซึ่งพื้นที่แต่ละช่วงเป็น 0.4772 หรือ 47.72%ดังนั้นพื้นที่ระหว่าง Z = -2 ถึง Z = 2 เท่ากับ 47.72 + 47.72 หรือ 95.44%

16. การแจกแจงปกติมาตรฐาน สามารถสรุปได้ดังนี้ 3) พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานในช่วง 3 หน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยเท่ากับ 99.74% พื้นที่ (-3 < Z < 3) = 99.74 % พื้นที่ที่ต้องการหาเป็นผลบวกของพื้นที่ระหว่าง Z = -3 ถึง 0 และระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 3 ซึ่งพื้นที่แต่ละช่วงเป็น 0.4987 หรือ 49.87%ดังนั้นพื้นที่ระหว่าง Z = -3 ถึง Z = 3 เท่ากับ 49.87 + 49.87 หรือ 99.7%

17. ตัวอย่าง จงหาความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐาน 1. P(0 < Z < 5.67) = 0.5 - .5 = 0 2. P(Z < -5.35) = P(Z > 5.35) = .5 – P(0 < Z < 5.35) = .5 - .5 = 0

18. ตัวอย่าง ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 25 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4จงหา • พื้นที่ (25 < X < 32) • = พื้นที่ • = พื้นที่ (0 < Z < 1.75) • = 0.4599 • พื้นที่ (18 < X < 34) • = พื้นที่ • = พื้นที่ (-1.75 < Z < 2.25) • = พื้นที่ (-1.75 <Z< 0) + พื้นที่ (0< Z<2.25) • = 0.4599 + .4878 • = 0.9477

19. ตัวอย่าง ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 40 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5 จงหาความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้จงหา • P(X > 55) • = • = P(Z > 3) • = 0.5 - 0.4987 • = 0.0013 • P(X < 49) • = • = P(Z < 1.8) • = 0.5 + .4641 • = 0.9641

20. ตัวอย่าง ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 จงหา P(30 < X < 39) P(30 < X < 39) = = P(-2.50 < Z < -1.38) = P(-2.50 < Z < 0) – P(0 < Z < -1.38) = 0.4938 - 0.4162 = 0.0776

21. ตัวอย่าง ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีการแจกแจงปกติที่มี  = 80 และ  = 12 จงหา • พื้นที่จาก X = 70 ถึง X = 135 • = พื้นที่ (70 < X < 135) = พื้นที่ • = พื้นที่ (-.83 < Z < 4.58) • = พื้นที่ (-.83 < Z< 0)+พื้นที่(0< Z< 4.58) • = 0.2967 + 0.5 • = 0.7967

22. ตัวอย่าง ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีการแจกแจงปกติที่มี  = 80 และ  = 12 จงหา 2. พื้นที่ทางซ้ายของ X = 27 = พื้นที่ (X < 27) = พื้นที่ = พื้นที่ (Z < -4.42) = 0.5 – พื้นที่ (-4.42 < Z < 0) = 0.5 – 0.5 = 0