หน่วยที่ 2

1. หน่วยที่ 2 อนุพันธ์และการประยุกต์ • ผู้เขียน อ.ภิรมย์ คงเลิศ

2. เรื่องที่ 2.1.2 สูตรเบื้องต้น สำหรับการหาอนุพันธ์

3. กำหนดให้f(x) = c เมื่อ cเป็นค่าคงตัว แล้ว = 0 สูตร 1 ตัวอย่าง f(x) = 9 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

4. = 0 จากสูตร 1 จะได้ว่า วิธีทำ เนื่องจาก 9 เป็นค่าคงตัว ดังนั้น

5. เป็นจำนวนจริงใด ๆ = nxn-1 สูตร 2 กำหนดให้ f(x) = xnเมื่อn แล้ว ตัวอย่าง f(x) = x3 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

6. = 3x3-1 = 3x2 วิธีทำ จากf(x) = x3 เมื่อเทียบกับสูตร2 แล้วจะได้n = 3 ดังนั้น

7. กำหนดให้f(x) = cg (x)เมื่อcเป็นค่าคงตัว แล้ว = สูตร 3 ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันf(x) = 10x3

8. = = วิธีทำ = = จากสูตร 3 จะได้ว่า

9. กำหนดให้f(x) = u(x) + v(x)เมื่อ uและ v เป็นฟังก์ชันของxที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้ว = + สูตร 4 สูตรอนุพันธ์ผลรวม

10. กำหนดให้f(x) = u(x) - v(x)เมื่อ uและ v เป็นฟังก์ชันของxที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = - สูตร 5 สูตรอนุพันธ์ผลต่าง

11. วิธีทำ ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 4x5 + 3x4 – 8x2 + 3

12. = + - + = + - + = + - + = + - จากf(x) = 4x5 + 3x4 – 8x2 + 3 ดังนั้น

13. = + สูตร 6 สูตรอนุพันธ์ผลคูณ กำหนดให้f(x) = u(x)v(x)เมื่อ uและ v เป็นฟังก์ชันของxที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว

14. f(x) = (2x3 + 1) (x2 + 4) จงหาอนุพันธ์ของ วิธีทำ = + ตัวอย่าง จากสูตร 6 โดยกำหนดให้u(x) = 2x3+ 1 และv(x) = x2+ 4 จาก

15. = + = + = + = + = + =

16. กำหนดให้ f(x) = = สูตร 7 สูตรอนุพันธ์ผลหาร เมื่อ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x ที่สามารถหา อนุพันธ์ได้ และ v(x)  0 แล้ว

17. จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = วิธีทำ = ตัวอย่าง จากสูตร 7 โดยกำหนดให้ u(x) = 3 – 2x และ v(x) = 3 + 2x จาก

18. = = =

19. = = =

20. เรื่องที่ 2.1.3 กฎลูกโซ่

21. = ถ้ากำหนดให้ y = f(u) โดยที่ u = g(x) แล้ว

22. พิจาณาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = จาก y = และ u=g(x)= กำหนดให้ y=f(u)= จากกฏลูกโซ่ = ; u = = = =

23. = = สูตร 7 กำหนดให้ f(x) = (u(x))n เมื่อ n เป็นค่าคงตัว แล้ว

24. เรื่องที่ 2.1.4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

25. ( logb u) = สูตรที่8 1) อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม ถ้ากำหนดให้ u = f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถ หาอนุพันธ์ได้ และ b > 0 (ln u) = สูตรที่9 .

26. f(x) = จาก f(x) = วิธีทำ กำหนดให้ u = จะได้ว่า f(x) = ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ของ

27. ดังนั้น = = จะได้ = = =

28. (eu) = (eu) สูตรที่ 10 (a u) = a u ln a สูตรที่ 11 2) อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

29. f(x) = จาก f(x) = วิธีทำ กำหนดให้ u = จะได้ว่า f(x) = ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ของ

30. ดังนั้น = = = จะได้ = = =

31. สูตรที่ 12 สูตรที่ 13 สูตรที่ 14 3) อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

32. จงหาอนุพันธ์ของ = วิธีทำ จาก = = = = ตัวอย่าง

33. เรื่องที่ 2.1.5 อนุพันธ์อันดับสูง

34. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งเขียนแทนด้วย (f(x)) หรือ f´(x)ซึ่งเรียกว่า “อนุพันธ์อันดับ หนึ่งของฟังก์ชัน f(x)” และถ้า f´(x) เป็นฟังก์ชัน ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เราจะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f´(x) ว่า “อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)” ซึ่งเขียน แทนด้วย หรือ f ´´(x)

35. หรือ f´´´(x) แทนด้วย และเรียกอนุพันธ์ของ f´´(x) ว่า “อนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชัน f(x)” ซึ่งเขียน โดยการหาอนุพันธ์เช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ ก็จะได้อนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชัน f(x)

36. dy อนุพันธ์อันดับหนึ่ง :y´, f´(x), dx d y d y 2 3 อนุพันธ์อันดับสอง :y´´, f´´(x), dx dx 2 3 อนุพันธ์อันดับสาม :y´´´, f´´´(x), สัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของ y = f(x)

37. วิธีทำ ตัวอย่าง ถ้ากำหนดให้ f(x) = 2x3– 5x + 7 จงหา f(x) จาก f(x)= 2x3– 5x + 7 (2x3– 5x + 7) (f (x)) = f(x) =

38. (6x2– 5) f(x) = (f´ (x)) = (6x2) + = (5) (5x) + (2x3) = (7) – = 6x2 – 5 + 0 = 6x2 – 5 = 12x

39. เรื่องที่ 2.1.6 อนุพันธ์โดยปริยาย

40. y = พิจารณา x2 + y2 = 25 y y 5 5 -5 x x -5 5 -5

41. จาก = = - 0 = 0 = จัดให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันโดยปริยาย จะได้x2 + y2-25 =0

42. จงหา ของ จาก วิธีทำ = = = ตัวอย่าง

43. = - 2x-4 =

44. เรื่องที่ 2.2.1 ค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด และความเว้าของฟังก์ชัน

45. บทนิยาม 2.2.2 ฟังก์ชัน f(x) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่จุด c1 เมื่อ f(c1)f(x) สำหรับทุกค่าของ x บนช่วง (a, b) ฟังก์ชัน f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c2 เมื่อ f(c2)f(x) สำหรับทุกค่าของ x บนช่วง (a, b) และเรียกค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ของฟังก์ชันว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์

46. ฟังก์ชัน f(x) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่จุด c3 เมื่อ f(c3)f(x) สำหรับทุกค่าของ x บนโดเมน ฟังก์ชัน f(x) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่จุด c4 เมื่อ f(c4)f(x) สำหรับทุกค่าของ x บนโดเมน และเรียกค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ของฟังก์ชันว่า ค่าสุดขีดสัมบูรณ์

47. ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

48. บทนิยาม 2.2.3 เราเรียก c ว่า ค่าวิกฤต(critical value)ของf ถ้าf ´(c) = 0หรือf´(c)หาค่าไม่ได้ และเรียก (c,f(c))ว่าจุดวิกฤตของf

49. วิธีทำ (x) =2x-6 จะได้ (x)= 0 เพื่อหาค่าวิกฤต กำหนดให้ (x) = 2x-6 = 0 จะได้ว่า กำหนดให้ f(x) = x2-6x+10 ตัวอย่าง จงหาค่าวิกฤตของ f(x) จาก f(x) = x2- 6x + 10 x = 3 แสดงค่า x = 3 เป็นค่าวิกฤต

50. สามารถวาดกราฟของ f(x) =x2-6x+10 ได้คร่าวๆ ดังนี้