第二章：信號與系統

1. 第二章：信號與系統 • 2.1　類比信號頻率表示及取樣定理 • 2.2　數位信號與系統簡介 • 2.3　數位信號頻域表示 • 2.4　離散傅立葉轉換 第二章：信號與系統

2. 2 信號與系統 信號(signal) 泛指日常生活中的一切，常見的表示方法可分成類比式(analog)與數位式(digital)兩種。 系統(system) 如何處理輸入訊號的模式，用以描述輸入訊號與輸出訊號的關係 頻率 (frequency) 單位: 次/秒 週期 (period) 單位: 秒/次 第二章：信號與系統

3. 數位與類比 • 類比 analog • Continue in time and amplitude • 時間軸連續, 為連續訊號 • 數位 digital • Discrete signal • 數位化 • 取樣 (sampling) : 決定每秒鐘的樣本個數 • 量化 (quantization) : 決定每個樣本的儲存空間 第二章：信號與系統

4. 3.1 影像數位化 圖3-1 信號數位化的程序 圖3-2 取樣量化和編碼 第三章：影像輸入輸出系統 4

5. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 信號分析(signal analysis) 任何信號可以是為由不同頻率與相位的單頻信號所組合而成。 一個頻率為 f Hz (週期為 )，相角為0º的單頻弦波信號可以寫成 單頻信號的三個參數： A: 信號大小 f: 頻率 : 信號的相角（延遲） 第二章：信號與系統

6. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

7. 2.1 不同振福的兩個單頻信號 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

8. 2.1 不同頻率的兩個單頻信號 圖2-2 單頻信號的圖形表示，θ=0 第二章：信號與系統

9. 2.1 相角不同的兩個單頻信號 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

10. 2.1 兩個單頻信號的相加 圖2-2 單頻信號的圖形表示，θ=0 第二章：信號與系統

11. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 圖2-1 x(t)=cos2π f0t+cos2π f1t 的函數圖形 第二章：信號與系統

12. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 正向富立葉轉換的基本概念 任何訊號可以利用頻率為 f 的單頻訊號 ej2ft 的組合而成, 其中 ej2ft = cos2ft + jsin2ft 正向富立葉轉換公式 我們可以將 ej2ft 視為向量空間的基底, 則 X(f) 即為 x(t) 在 ej2ft 的投影量 ej2ft = cos2ft + jsin2ft e-j2ft = cos(-2ft) + jsin(-2ft) = cos2ft - jsin2ft cos2ft = (ej2ft + e-j2ft )/2 sin2ft = (ej2ft- e-j2ft )/2 第二章：信號與系統

13. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 逆向富立葉轉換公式 正向富立葉轉換公式 第二章：信號與系統

14. x(t) x 第二章：信號與系統

15. 第二章：信號與系統

16. 2.1 每四個單位時間取一個樣本 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

17. 2.1 每兩個單位時間取一個樣本 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

18. 2.1 每一個單位時間取一個樣本 單頻信號範例，T=8 sec，θ=0 第二章：信號與系統

19. 第二章：信號與系統

20. 取樣定理的說明 • 將類比的信號轉換成數位化的訊號 • 取樣 • 量化 • 若要能利用數位資料重建類比信號 • 取樣時的頻率至少要是原始類比信號的兩倍以上 第二章：信號與系統

21. 取樣定理的範例 • 標準CD音質 • 取樣頻率 44.1 KHz • 量化位元數 16 bits • 通道數 2 (立體聲) • 人的聽覺範圍 • 20 Hz – 20 KHz 第二章：信號與系統

22. (a) 取樣的實際電路，開關每隔 Ts秒動作一次 (b) 取樣的數學模式 (c) 取樣後的信號 圖2-4 信號取樣的數學模式及電路 第二章：信號與系統

23. 傅立葉頻譜 原始信號 取樣頻率 fs=1/Ts < 2w 取樣信號 (c) 之頻譜 取樣信號 (e) 之頻譜 (a) 與 (c) 相乘的結果 圖2-5 信號取樣及重建圖 第二章：信號與系統

24. 取樣頻率 fs=1/Ts > 2w 取樣信號 (g) 之頻譜 取樣信號 低通濾波器, 截止頻率fs/2 (k) 的反傅立葉轉換 (h) 與 (i) 相乘的結果 圖2-5 信號取樣及重建圖(續)。左邊為原信號，右邊為右邊信號之頻譜。(e) 不滿足取樣定理， (g) 滿足取樣定理 第二章：信號與系統

25. 2.1 類比信號頻率表示及取樣定理 取樣定理經常應用在數位處理信號的程序中，如目前之數位式通信，聲音是以 8000 Hz的頻率取樣，此乃因為音頻範圍小於 3400 Hz。 信號經取樣以後的一些有趣的現象，在日常生活中也常發生，如電影中輪子或風扇的轉速常比實際轉速小，有時甚至會看到倒轉的輪子 高中物理的狹縫實驗也是取樣定理的結果，經由狹縫所看到的風扇是取樣的結果，因此有時看到的風扇不動，或轉動很慢，甚或倒轉 這些都是低取樣頻率所造成的結果，我們稱為重疊失真，接下來我們介紹兩個取樣信號頻譜的性質。 第二章：信號與系統

26. 1. 重疊失真 當取樣頻率小於兩倍信號最高頻率時，信號無法重建回來，且重建回來的信號，高頻信號會以對稱於 fs/2 反摺回低頻區。 第二章：信號與系統

27. fs/2 圖2-6 重疊失真取樣信號之圖例 第二章：信號與系統

28. 2. 取樣信號之頻譜為週期是 1/Ts Hz 之信號 此性質可以從圖 2-5 中得見，或由取樣定理的證明中得知。此性質告訴我們離散信號的頻譜，只需取其一週期來代表即可，此性質在介紹離散傅立葉轉換 (Discrete Fourier Transform) 時可幫助將數位信號賦予實際物理意義。 第二章：信號與系統

29. 2.2 數位信號與系統簡介 數位信號 第二章：信號與系統

30. 2.2 數位信號與系統簡介 數位信號 x[n][n]=x[0]  [n] Example: Let x[-2]=3, x[-1]=2, x[0]=1, x[1]=-1, x[2]=1 x[n] [n]=x[0]  [n]  x[-2]=0, x[-1]=0, x[0]=1, x[1]=0, x[2]=0 實質意義 因為單位取樣信號只有當 n=0 時 [n]=1 只取一個樣本, 其他的樣本不取 第二章：信號與系統

31. 2.2 數位信號與系統簡介 數位信號 x[n][n-k]=x[k]  [n-k] x[n][n]=x[0]  [n] 平移 k 個時間點  第二章：信號與系統

32. 一個數位弦波信號 (頻率為 f0, 相位為 ) x[n]=Acos(2f0n+ ) 圖2-7 一些週期為 16 點的餘弦波信號 x[n]=Acos(2  kn/16) 第二章：信號與系統

33. 2.2 數位信號與系統簡介 cos 數位傅立葉的基底向量 -- 是週期信號 -- 只取一個週期就可表示整個訊號 第二章：信號與系統

34. 2.2 數位信號與系統簡介 m 為任意整數 第二章：信號與系統

35. 2.2 數位信號與系統簡介 第二章：信號與系統

36. 數位系統 第二章：信號與系統

37. 數位系統 y[n] = T{x[n]} y T{x[n-n0]} = y[n-n0] 第二章：信號與系統

38. 數位系統 第二章：信號與系統

39. 數位系統 第二章：信號與系統

40. 第二章：信號與系統

41. 第二章：信號與系統

42. 圖2-8 迴旋運算圖示 第二章：信號與系統

43. 圖2-8 迴旋運算圖示 第二章：信號與系統

44. 2.3 數位信號頻域表示 第二章：信號與系統

45. 第二章：信號與系統

46. 迴旋運算定理 x[n] 之傅立葉轉換為 X( f ) h[n] 之傅立葉轉換為 H( f ) 如　y[n] = x[n] * h[n]　，則　Y( f ) = X( f ) • H( f ) 取樣信號和數位信號之關連 數位信號以 n 表示信號發生的順序，是沒有單位的，不同取樣時間所得到的數位信號對於 n 而言是沒有差別的，例如每隔 1 秒取一樣本，在 0 秒，1 秒，2秒取的樣本稱為 x[0]，x[1]，x[2]。每隔 2 秒取一樣本，在 0 秒，2 秒，4 秒取的樣本也稱為 x[0]，x[1]，x[2]。因此我們必須知道取樣信號和數位信號的關連。若已知時間上的關連，則頻譜的相關又如何呢？由前節的推導，我們知道取樣信號的頻譜的週期是 fs，而數位信號的頻譜的週期是 1，因此要賦予數位信號頻譜物理意義，端看此數位信號是以甚麼取樣頻率而得，亦即數位信號頻譜頻率=1，對應到取樣信號頻率頻譜頻率 fs，頻率 fs/2 是取樣後信號能表示的最高頻率，亦即 0.5 是數位信號頻譜的最大頻率。 第二章：信號與系統

47. 圖2-9 三點取平均值系統頻譜 第二章：信號與系統

48. 圖2-10 三點取平均之輸出 第二章：信號與系統

49. 圖2-11 例 2-12 的輸出圖形 第二章：信號與系統

50. 圖2-12 例 2-11 中 x[n] 的頻譜 圖2-13 例 2-12 中 x[n] 的頻譜 第二章：信號與系統