YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 4)

1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 4) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

2. Eğri Uydurma

3. 4.1 Giriş • Birçok mühendislik problemi, çözüm için bağımsız değişkenlerden oluşan fonksiyonlarına veya xi,yi, noktaları verilmiş veri gruplarına ihtiyaç duyarlar. • Bu verileri sağlayacak polinomların katsayılarını bulunması, bu bölümde incelenecektir. • Genelde fonksiyonlar polinomlara eğri uydurmak için kullanılır. Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn(4.1.1) • İlk kategoride veri noktalarının sayısına tamamen eşit (n+1). dereceden bir polinomuydurulmalıdır.

4. 4.1 Giriş(Devam) • Bu prosedürde verilen bilgi noktalarında hata olmaması gerekir. Bu noktaların eğri üzerinde olmasını isteriz. • n+1 den daha büyük eğriyle ifade edilen bilgi noktalarının sayısı 2 kategoriyi oluşturur. Bütün bilgi noktalarının arasından n. dereceli polinoma geçiş mümkün değildir. • 2 alternatif vardır.1.si bazı hata vektörlerini ve bu hatada bilgi noktaları ve eğri üzerindeki uygun noktalar arasındaki farkı tanımlar. • 2. alternatif de, verilen bilgi noktalarının alt kümeler arasında bir polinomageçmeye ve bu noktaların toplamından eğri oluşturmaya yarar.

5. 4.2 Tam Polinomal Uydurma Verilen (n+1) noktanın: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn), bu noktadan geçen ve n. derecede olan benzer bir polinom daha vardır. y = Pn(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bnxn(4.2.1) Bu katsayılar b0, b1, b2, … bnlineer denklem eşitliklerinin çözümü ile sağlanabilir. b0+ b1x0 + b2x02 + … +bnx0n = y0 b0 + b1x1 + b2x12 + … +bnx1n = y1 b0 + b1x2 + b2x22 + … +bnx2n = y2 . . . . (4.2.2) . . . … . . . . . . . b0 + b1xn + b2xn2 + … +bnxnn = yn Matris formatında şöyle yazılabilir. [A]{B} = {Y}(4.2.3)   [A] matrisinin elemanları şöyle atanır: aij= (xi-1)j-1i= 1, 2, 3, …, n + 1 (4.2.4) j = 1, 2, 3,…, n + 1

6. Örnek E4.2.1 3. derecedeki polinomunhangi noktalardan geçtiğini karşılaştırınız Çözüm: Verilen bu değerler eşitlik 4.2.2 yerine yazılırsa bunlar elde edilir: b0 + b1(0) + b2(0) + b3(0) = 1 b0 + b1(1) + b2(1) + b3(1) = 0 = b0 + b1(2) + b2(4) + b3(8) = 1 b0 + b1(3) + b2(9) + b3(27) = 0 Bu lineer sistem eşitlikleri LU ayrıştırılması ile çözülür. b0 = 1.0 , b1 = -3.3333 , b2= 3.0 , b3 = -0.66666 (-10/3) (-2/3) Polinomal sonuç ise: y = 1- (10/3)x + 3x2 - (2/3)x3

7. Lagrange Polinomları Atama (4.2.5) Örneğin;n = 2, (4.2.6a) (4.2.6b) (4.2.6c)

8. (n+1) noktasından geçen n. dereceli Lagrangepolinomu şöyle ifade edilir: (4.2.7) BuradaLin(x) denklem 4.2.5 de verilmiştir ve yi = f(xi) ‘ler verilen fonksiyonda x = xi‘ye denk olan değerlerdir.

9. ÖrnekE4.2.2 (0, 1); (1, 0); (2, 1); (3, 0) noktalarından geçen ve 3. derecede olan Lagrangepolinomunu gösteriniz. Bu noktalar örnek 4.2.1’de verilmiştir: Çözüm: L03(x) = = = - (x-1)(x-2)(x-3) L13(x) = = = (x)(x-2)(x-3) L23(x) = = = - (x)(x-1)(x-3)  L33(x) = = = (x)(x-1)(x-2)

10. 3. Derecede polinom aynı zamanda şöyle de bulunabilir, = (1)(-1/6)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 0 + (1) (-1/2)x(x - 1)(x - 3) + 0 veya L3(x) = -1/6(x - 1)(x - 2)(x - 3) – 1/2x(x - 1)(x - 3) Bulunan bu cevabın, örnek 4.2.1’de doğrudan metot kullanarak elde edilen cevap ile aynı olduğunun, okuyucular tarafından gösterilmesi istenilmiştir.

11. NewtonPolinomları Küçük bir veri kümesinden polinom oluşturmanın diğer bir yolu ise Newtonun bölünmüş farklar polinomudur. y = f(x) = b0+ b1(x - x0) + b2(x - x0)(x - x1) +…+ bn(x - x0)(x - x1)…(x - xn-1) (4.2.8) Verilen (n+1) veri noktaları(x0, y0), (x1, y1)…(xn, yn). bi (i = 0, 1, 2, … , n)katsayıları sonlu bölünmüş farklar formülü ile elde edilir. Bölünmüş farkları şöyle tanımlarsak: y[x0, x1] = (y1- y0)/(x1 - x0)(4.2.9a) y[x1, x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) (4.2.9b)

12. (4.2.9c) y[x1, x2, x3, x4] = benzer şekilde . . . Newton polinomunun katsayıları şöyle verilmiştir: b0= y0 b1 = y[x0, x1] b2 = y[x0, x1, x2] (4.2.10) . . . . . . bn = y[x0, x1,…, xn] Bir sonraki örnekte de gösterildiği gibi bölünmüş farklar tablosu hazırlanarak işlemler sadeleştirilebilir.

13. Örnek 4.2.3 (0,1); (1, 0); (2, 1); (3, 0), noktalarından geçen 3.dereceden Newton polinomunun bulunması. Örnek: 4.1.1 ve 4.1.2. Çözüm: Denklem 4.2.9.’da verilen eşitliği oluşturunuz. Katsayılar, bölünmüş farkların en üst satırına eşittir. Böylece; f(x) = 1- (x - 0) + (x - 0)(x - 1) -2/3(x - 0)(x - 1)(x - 2) veya f(x) = 1-x + x(x - 1) - 2/3x(x - 1)(x - 2) İlgili kişiler bu polinomun örnek 4.1.2’de elde edilen polinomla aynı olduğuna bakabilirler.

15. 4.3 En Küçük Kareler Regrasyonu Lineer Regrasyon Tablo4.3.1’de verilen veri grubu küçük bir kasabada 10 - 50 yaşlarında bulunan insanlar için rasgele alınmış veriler olsun.

16. h = a + bw w = c + dh Figür 4.3.1 Küçük bir kasaba için uzunluk ve ağırlık dağılımı En küçük kareler regresyon hata vektörü Ei bileşenlerin karelerinin toplamının minimizasyonu için kullanılan bir yöntemdir.

17. (i) Örneğin W’de hiç hata olmadığını düşünün, böylece fonksiyon şöyle minimize edilir : (4.3.3a) h’deki her bir hata şöyle ifade edilir : Ehi= hi - (a + bwi) ; i = 1, 2, 3, ..., N(4.3.3b) (ii) h’de hiç hata olmadığını varsayın, böylece fonksiyon şöyle ifade edilir. (4.3.4) W’ninher bir noktasındaki hata şöyle hesaplanır: Ewi = wi - (c + dhi) ; i = 1, 2, 3, ..., N(4.3.4b)

18. Devam (iii)Varsayalım ki her iki değişken de hata içersin. Bu durumda h ve w deki kombine hatalarının toplamlarını minimize edeceğiz. Eğer denklem 4.3.1 in içerdiği w, çözersek: w = -(a/b) +(1/b)h(4.3.5) Eğer h ve w verilen hatalar ağırlığa eşit (veya önemli) ise aşağıda verilen fonksiyonun minimize edilebileceği söylenebilir : (4.3.6) Denklem 4.3.3 & 4.3.4, ile verilen Sh or Swminimizasyonu her biri açıkça göstermektedir. Diğer tarafta Shwüstündeki minimizasyon önemli başlıklardır.

19. Devam Fakat ilk olarak doğrusal regrasyonu genel x ve y değişkenlerinin terimleriyle formüle edelim. y = a0 + a1x(4.3.7) ve (4.3.8) Sminimumu bulurken ilk a0 türevi alınarak ise a1 ve bunları sıfıra eşitlersek (4.3.9a) (4.3.9b) Açıklama:EQS noktasında S fonksiyonugösterilebilir. 4.2.9a & b S minimuma sahiptir (maksimum değildir). Bu dadenklem 4.3.8 de gösterilen a0ve a1gözlenen S ninminimum çözümlerine uygundur.

20. Devam N = 7 ; (xi) = -2.0 ; (yi) = -8.0 ; (xi2) = 56.0 ; (xiyi) = 30.0 Bundan dolayı denklemler kümelenerek çözülebilir.: 7a0 + -2.0a1 = - 8.0 a0 = -1.0 -2.0a0 + 56.0a1 = 30.0 a1 = 0.5 Denklem 4.3.9a & b yeniden düzenlersek ve basitleştirirsek Na0 + (xi)a1 = y(4.3.10a) (xi)a0+ (xi2)a1 = xiyi(4.3.10b) Burada i = 1 denNkadar tümünü özetleyelim. Bu iki denklem a0ve a1katsayılarına karar vermek için yeterlidir.

21. ÖrnekE4.2.4 Tablo 4.3.1 de verilen veriler düz bir doğruya uygundur, ilk olarak w (ağırlık) değerlerinde hata olmadığını varsayalım ve (yükseklik) değerlerinde de hata yok ise her iki denklemin sonuçlarını karşılaştıralım Çözüm: Tablo 4.3.1 den: N = 11 ; (hi) = 18.75 ; (wi) = 775 ; (hi2) = 32.0853 ; (wi2) = 55,131 ; (hiwi) = 1,328.05 Denklemler h = a + bwiçin çözülürse x = w, y = h, a0 = a içerir ve denklem 4.2.10a & b deki a1 = b 11a + 775b = 18.75 775a + 55,131b = 1,328.05 Çözümler: a = 0.768; b = 0.0133 Bu yüzden, h = 0.768 + 0.0133w

22. Devam Denklemlerw = c + d h için çözülürse denklem 4.3.10a & b de x = h, y = w, a0 = c, a1= diçerir. 11c + 18.75d = 775.0 18.75c + 32.0853d = 1,328.05 Çözümler: c = -25.32; d = 56.19 Bu yüzden, w = -25.32 + 56.19 h iki durumdaki sonuçları karşılaştırırsakh = a + bwiçin: w = -(a/b) + (1/b)h Eğer w de hata yoksa c = -(a/b) = -57.74 ved = (1/b) = 75.19, farklı anlamlı basamakla bulduğumuzu varsayalım w değerleri hataya sahiptir fakat h değeri değildir. Doğru cevaplar bunların arasında bir yerde olmalıdır.

23. Devam (a, b) ve (c, d) değerlerinin her ikisinin verilen ağırlıkları eşit verilmiştir. Denklem 4.2.1 & 4.2.2 kenarına ekleme yoluyla h çözülebilir: h = [(a-c)/(1+d)] + [(1+b)/(1+d)]w h = 0.456 + 0.018wveyaw = -25.33 + 55.56h doğrusal olmayan analizi kullanarak problemleri çözebiliriz. Burada hatanın kareleri toplamını minimum yapmaya ihtiyaç duyarızEi2 = [Ehi2 + Ewi2]1/2.

24. PseudoDoğrusal Olmayan Regresyon Üssel ve güç kural fonksiyonlarının formu y = a ebx ; y = a xb(4.3.11) Ölçülen bu tahmini veriler genellikle mühendislikte kullanılır. Örneğin denklem (4.3.11) verilen basit üstel eğriye uydurma yoluyla hata fonksiyonunun minimizasyonuna ihtiyaç duyulur. S(a,b) =  [ yi -( a ebxi) ] 2(4.3.13) S in türevi alınarak a ve b sıfıra eşit ise aşağıdaki doğrusal olmayan denklemler kullanılarak a ve b parametrelerine karar verilebilir.  [ yi -( a ebxi) ] (-2 ebxi) = 0 (4.3.14a) [ yi -( a ebxi) ] (-2axiebxi ) = 0 (4.3.14b) Denklemler basitçe a zi2 = ziyi (4.3.15a) a xi zi2 = xiziyi (4.3.15b) burada zi= ebxi(4.3.15c)

25. Devam Denklem (4.3.11) verilen üstel fonksiyon gözlenerek problemi basitleştirmek isteriz. Doğrusallaştırmaiçin her iki tarafın doğal logaritmasını alırsak. ln(y) = ln(a) +b x (4.3.16a) yeni değişkenler tanımlayarak y* = ln(y); a* = ln(a); b*=b; x*=x Bu yüzden y* = a* + b* x* (4.3.16b) Bu pseudodoğrusal olmayan regresyon olarak adlandırılır.

26. Örnek E4.3.2 Denklem (4.3.11) verilen verilerin üstel fonksiyonu uydurmak için pseudodoğrusal olmayan metot kullanılır. Direk doğrusal olmayan metot kullanılarak denklem 4.2.15 a&bnin içerdiği a ve b parametreleri için sonuçlar karşılaştırılır. y = a ebx i: 1 2 3 4 5 6 7 ------------------------------------------------------------ x: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 ------------------------------------------------------------ y: 0.55 0.75 1.00 1.40 2.00 2.70 3.75 Her iki tarafın doğal logaritması alınarak ln(y) = ln (a) + b x “y* = ln(y);a* = ln(a); b* = b, ve x* = x, değişken dönüşümü ile tablo değiştirilse i: 1 2 3 4 5 6 7 -------------------------------------------------------------------------- x*: 0.05 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 2.40 -------------------------------------------------------------------------- y*: -0.598 -0.288 0.00 0.336 0.693 0.993 1.322 N = 7; x*i= 8.45; (x*i)2 = 14.5625; y*i= 2.4580; (x*i y*i ) = 6.5266

27. Devam Denklemler çözülürse 7 a* + 8.45 b* = 2.4580 8.45 a* + 14.5625 b* = 6.5266 Çözümlera* = -0.63334; b* = 0.81568 Şimdi geri dönüşümle orijinal parametreler hesaplanabilir. a = exp(a*) = 0.5308 , b = b* = 0.81568 İstenen eğri: y = 0.5308 exp( 0.81568 x ) Tüm doğrusal olmayan regresyonçözümleri denklem 4.3.15 a,b,&cmetotları kullanılarak çözülebilir (ikiye bölme metodu) bölüm 2 ye bakın. Doğrusal olmayan regresyonçözümleri: a = 0.5335; b=0.81284

28. Devam Tablo 4.3.2 iki çözümün karşılaştırılması. Hataların karelerinin toplamları:  Ei2 = 2.75E-03 pseudodoğrusal olmayanregresyon için  Ei2 = 2.70E-03 tam doğrusal olmayan regresyoniçin

29. Doğrusallaştırma Verilenfonksiyonuisteğebağlıolarakdoğrusallaştırmakiçingenelbirprosedürbulmakmümkündeğildirfakat mühendislik uygulamalarında fonksiyonların birkaç yaygın kullanımı doğrusal fonksiyonlar içeren tabu formlarıdır. * Not:ln(A + B) lnA + lnB,fakatln(AB) = lnA + lnB; ln(Ab) = b lnA

30. İteratifRegresyon Farz edelim y = a + bxm (4.3.18) . Doğrusallaştırmada ln(y-a) = ln(b) + m ln(x) (4.3.19) y* = ln(y-a), a0 = ln(b), a1 = m, x* = x Burada “a” bulunan fonksiyonun kesişimidir. (y = a yanında x = 0 için m > 0) bu durumda en iyi kullanım iteratifprosedürdür: ilk olarak “a”nın tahmin değerine bağlı olarak b ve m ye karar verilir. Sonra hataların kareleri toplamını minimum yapmaya çalışılır. Eğer “a” nın değeri değişmiyorsa hata fonksiyonu minimize edilene kadar işlemler tekrarlanır.

31. 4.4 PolinomalRegresyon Burada,verilenherhangibirm polinomalderecesinindoğrusalregrasyonuiçinbölüm4.3 tesunulanprosedürügenelleyeceğiz.  (4.4.1) Kısaca2. derecepolinomlariçindenklemtüretelimdahasonragenelolarakuzatalım. Verilen ikinci derece polinomla; (4.4.2) Hataların kareleri toplamı tanımlanırsa (4.4.3) burada N verilen noktaların toplam sayısıdır.

32. Devam Shata fonksiyonunun minimumuma karar vermek için aşağıdaki denklemler çözülürse; (4.4.4a) (4.4.4b) (4.4.4c)

33. Devam m dereceden polinom için (m+1) denklem vardır ve toplu matris formunda yazarsak; . . . . . . . . . . (4.4.5) . . . . .

34. ÖrnekE4.4.1 Verilere uygun kübik polinom örnek . E4.3.2.de verilmiştir Çözüm: Aşağıdakidenklemgrubu POLYREG programıkullanılarakeldeedilmiştir 7.000000 a0 + 8.450001 a1 + 14.562500 a2 + 28.224130 a3 = 12.150000 8.450001 a0 + 14.562500 a1 + 28.224130 a2 + 58.240010 a3 = 20.407500 14.562500 a0 + 28.224130 a1 + 58.240010 a2 + 124.938300 a3 = 40.297380 28.224130 a0 + 58.240010 a1 + 124.938300 a2 + 275.132500 a3 = 84.611270 Bunun çözümü a0 = 0.5297; a1 = 0.4676; a2 = 0.07936; a3 = 0.1182 Kübikpolinomdaneldeedilensonuçlargüncelvereilerlekarşılaştırılmıştır. Bunun sonuçlarının çok iyi olduğu görülmektedir. Hatakarelerinintoplamıüslüsayılardadahaazdır(Örnekte görülür E4.3.2). Dolayısıylabirkübikpolinombusoruniçiniyibirseçimolacaktır.

35. Devam

36. 4.5 Çok BoyutluDoğrusalRegresyon Kısacaifadeedersekörnektesadeceikibağımsızdeğişkendikkatealınmalıdır; F = F(x,y); e.g. F(x,y) = a + bx + cy (4.5.1) Verinoktalarıkümesiniverilen (4.5.1) formunun en küçükkaresinesığdırmakiçinhatafonksiyonunu en azaindirmemizgerekmektedir. Aşağıda verilmiştir; S(a,b,c) = (4.5.2)

37. Devam Aşağıdakieşitliklerieldeetmekiçinsıfırı, a, b ve c ileilgiliolarakSnin türevine ayarlayabiliriz: (4.5.3) Yeniden düzenleme ve basitleştirmenin ardından şunu elde ederiz: (4.5.4) Bu işlemler üç bilinmeyenli, a, b ve c denklemlerini belirler

38. Devam Çok boyutluproblemlerdegüçfonksiyonlarıdoğrusalbiçimdeindirgenebilir. Şöyleki; F = axbyc(4.5.5) ln(F) = ln(a) + bln(x) + cln(y) (4.5.6) F* = ln(F); x* = ln(x); y* = ln(y); a* = ln(a); b* = b; and c* = c elde etmek için; F* = a* + b*x* + c*y* (4.5.7) Denklem 4.5.1 deverilendoğrusal fonksiyon şöyledir:

39. ÖrnekE4.5.1 Aşağıdakiverilerbilinmeyenbirgazınbasınçölçümlerinden (P),sıcaklığından(T) veyoğunluğundan()eldeedilmiştir.Bu türlerin ideal birgazolupolmadığınıbelirlemekiçinP = Teşitliğininçokboyutluregrasyonanalizinikullanaraköğrenin. Çözüm: Yukarıdaverilengüçkanunu her ikitarafınlogaritmasınıvermeküzeredoğrusallaştırılabilir. F = ln P,x = ln, y = ln T, a = ln, b = , c = . Dolayısıyla iki bağımsız değişkenli bir lineer denklem elde ederiz. F = a + bx + cy (4.5.1)dekiDenklem ile aynıdır.Çözülecekdenklemgrubudenklem (4.5.4)teverilmiştir. N=20 eklenerek, toplamlarındeğerleriTablo E4.5.1 denklemindeverilmiştir.20a + 27.08282b + 135.605975c = 267.5132 27.08282a + 42.95078b + 181.5625c = 366.4602 135.605975a + 181.5625b + 921.51621c = 1813.819

40. Devam Çözüm Gauss eliminasyonmetodukullanılarakeldeedilmiştir.Şöyle ki; a = 5.2438, b = 0.99994, c = 0.99964 Bundan dolayı  = ea = 189.39;  = b = 0.99994;  = c = 0.99964 P T R =  = Sabit gaz; R = 189.39 J/kgK, Ru = 8314 J/kmolK Moleküler ağırlık şöyle verilmiştir M = = = 43.90 Bu gazbüyükihtimalleağırlığı 44 oranındabirmolekülolan CO2dirve ideal birgazdırçünküduruma en yakındenklem P = RT, dir.

41. Devam

42. Devam

43. 4.6 Spline EğriUydurmaveİnterpolasyon 50 noktaiçerenbirverisetiverildiğinidüşünün, nasıl49.derecebirpolinomgibigörünecektirvekatsayılarıbelirlemek ne kadarzorolacaktır.Tümverilerin alt kümesinepeace-wisepolinomlarısığdırmakalternatifbiryöntemdir. (Aynıanda, iki, üçya da dörtnoktadandemek istiyoruz), dahasonra, Şekil 4.6.1 'de gösterildiğigibiikikomşuaralıkiçinortakolanbirnoktadaburayayama yapınız. Sınırlarıbirbirinekomşuikiaralığıolannoktalaristenildiğigibiseçilebilir fakat bizimamacımız ‘düzgün’ eğrilereldeetmektir.

44. Devam Düzgünlükderecesieşitortaknoktadakifonksiyonlarınıntürevleriniyaparakgeliştirilebilir. "Spline" adıeğrilerinyumuşaklığınıifadeedervebu spline olarakanılanmühendislertarafındanuçaktaverilennoktalarıneğriyumuşaklığınıayarlamakiçinkullanılanelastikçubuklardantüretilir.

45. İkinci dereceden Spline Burada, her aralıkiçinbelirlenecekpolinomlar 2. derecedirve şöyle ki; Pi (x) = ai+ bix + cix2 (4.6.1) i = 1, 2, 3, …, n N aralığının sayısı böyle bulunur. Önceliklebiz her polinomaralığınınikiuçnoktadangeçmesigerektiğiniöngörmekteyiz .Herinci aralık için böyledir. yi-1= ai + bixi-1 + cixi-12 (4.6.2a) yi = ai + bixi + cixi2(4.6.2b) For i = 1, 2, 3, …, n Şekil 4.6.1 'de görüldüğügibii‘nciaralığın her ikiucu(xi-1, yi-1) ve(xi, yi) dir.

46. Devam Denklem4.6.2 2n denklemleriniteşkilederancakderecesi 3 olan n polinomlarıiçinbilinmeyenkatsayısayısı 3n'dir.  Sonra, eğriyumuşaklıklarınıbirleştirmedeikikomşupolinomun ilk türevlerininbağlantılınoktaladaeşitolmasıgerekir. bi +2cixi = bi+1+2ci+1xi+1 (4.5.2c) Bu bizeek n-1 denklemleriniverir. Öncekigereklidenklem, genellikle her birincipolinomunveya ilk veya son noktadakisonrakisıfırpolinomununikincitürevigerektiğindentüretilir.Bu, tabiki ilk ya da son eğrinindüzbirçizgiolduğuanlamınagelir. Dolayısıylaproblemimiziçindahauygunolan c1 = 0 yada cN = 0ı alırız.

47. ÖrnekE4.6.1 İkinci dereceden spline eğrisinif(x) = 1/(1+x2)dan türetilen aşağıda verilen veriye 3 aralığında uydurunuz. Çözüm: Denklem 4.6.2 a ve4.6.2b elde edilir(unutmayın ki ilk polinom için, ikinci türev 0 değeri alır. =0 ) i = 1 a1 + b1x0 = y0 a1 + b1x1 = y1 i = 2 a2 + b2x1 + c2x12 = y1 a2 + b2x2 + c2x22 = y2 i = 3 a3 + b3x2 + c3x22 = y2 a3 + b3x3 + c3x32 = y3

48. Devam Denklem4.6.2c i = 1 b1 + 0 = b2 + 2c2x1 i = 2 b2 + 2c2x2 = b3 + 2c3x2 Buradaçözülecek 8-denklem 8 - bilinmeyenkatsayılarıtespitetmekiçindir.. Tablodakix ve y değerleriniyukarıdakidenklemeyerleştiririzveaşağıdakimatrisdenkleminieldeetmekiçinyenidendüzenleriz.[A] {C} = {R}

49. Devam Çözüm MATLAB 4.2 kullanılark şu şekilde elde edilir; a1 = 1.0, b1 = -0.4, a2 = 0.9, b2 = 0.0, c2 = -0.4 a3 = 2.1308, b3 = -2.4615, c3 = 0.8308 Her aralık için polinomlar şu şekildedir; i = 1 y = 1.0 – 0.4x = p1(x) i = 2 y = 0.9 + 0.0x – 0.4x2 = p2(x) i = 3 y = 2.1308 – 2.4615x + 0.8308x2 = p3(x)

50. Bölüm 4 Sonu