briciole di MaTeMaTiCa

1. briciole di MaTeMaTiCa PrO.gReSs.Io.Ni ArIt.M.eTi.ChE alcuni esempi mbassi Università della Liberetà 2007-’08

2. una CURIOSITÀ Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) “Il più grande matematico dell’inizio del XIX secolo era tedesco ….. Figlio di un operaio di Braunschweig, da fanciullo frequentò la scuola locale dove l’insegnante aveva la fama di essere molto esigente nei riguardi dei suoi allievi. Un giorno per tenerli occupati, assegnò loro l’esercizio di sommare tutti i numeri da uno a cento, chiedendo che ciascuno deponesse la sua lavagnetta su un tavolo non appena avesse finito il calcolo. Quasi immediatamente Carl depose sul tavolo la propria lavagnetta dicendo “ecco fatto”; l’insegnante gli diede un’occhiata sprezzante ….. Quando alla fine, l’insegnante esaminò i risultati ottenuti dai vari allievi, trovò che la lavagnetta di Gauss era l’unica a presentare il calcolo esatto, 5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo, che aveva allora dieci anni, evidentemente calcolato mentalmente la somma della progressione aritmetica: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100, utilizzando forse la formula m • (m+1) ………” 2 tratto da: Storia della matematicadi Carl B. Boyer

3. progressioni aritmetiche DEFINIZIONE Si chiamaprogressione aritmeticauna SUCCESSIONE(❋) ottenuta a partire da un primo termine addizionando ogni volta lo stesso numero. Tale numero è detto ragione della progressione DEFINIZIONE Si chiamaprogressione geometicauna successione ottenuta a partire da un primo termine moltiplicando ogni volta lo stesso numero (diverso da 0). Tale numero è detto ragione della progressione Queste definizioni consentono la costruzione dei termini di una successione con un algoritmo iterativo (❋) Si chiamaSUCCESSIONEuna funzione il cui insieme di definizione è N, oppure un suo sottoinsieme numerabile

4. progressioni aritmetiche Es. 1) 2 5 8 11 14 17 … progr. aritm. di ragione 3 Es. 2) 2 6 18 54 162 486 … progr. geom.. di ragione 3 Es. 3) 1 10 19 28 37 46 … progr. aritm. di ragione 9 1 x x2 x3 x4 x5 … progr. geom.. di ragione x Es. 4) progr. aritm. di ragione 0 o progr. geom. di ragione 1 Es. 5) 3 3 3 3 3 … … … I termini di una progressione aritmetica si indicano con a1, a2, a3, ……… an, …… ; an è il termine n-simo (occupa il posto n) Gli infiniti termini di una progressione aritmetica sono determinati, una volta che si conoscono il termine iniziale a1 e la ragione d an = a1 + (n – 1) d

5. progressioni aritmetiche TeoremaL’ennesimo termine di una progressione aritmetica di valore iniziale a1e di ragione d è : an = a1 + (n – 1) d dimostrazione a1 a2=a1+ a3=a1+ a4=a1+ ………. an =a1+(n-1) d d 2d 3d + d +d +d Esempio trovare il ventesimo termine della progressione aritmetica che ha come primo termine -2 e come ragione 1/2 I primi termini sono : -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 …. Il ventesimo termine è a20 = -2 + (20 - 1) • 1/2 = - 2 + 19/2 = 15/2

6. TeoremaLa somma Sndei primi n termini di una progressione aritmetica è n volte la media aritmetica tra il primo e l’ennesimo termine ↳ a1 + an Sn = n • dimostrazione 2 EsercizioCalcolare la somma dei primi n numeri dispari I numeri dispari costituiscono una progressione aritmetica di ragione 2. L’ ennesimo numero dispari è: an = 1 + 2•(n – 1) La somma è perciò: 1+1+2 •(n – 1) Sn = n • = n2 2

7. ↳ a1 + an Sn = n dimostrazione • 2 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an Sn = an + an-1 + .. .. .. + a2 + a1 Sommando membro a membro le due uguaglianze si può scrivere 2•Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an-1+a2) + (an+a1) ❋termini equidistanti dagli estremi tali espressioni sono tutte uguali ad (a1+an) ↳ a1 + an 2•Sn = (a1 + an)•n da cui Sn = • n 2 ❋TEOREMA In una progressione aritmetica finita, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi

8. I numeri quadrati perfetti si ottengono addizionando i successivi numeri dispari 1 n2 = (n – 1)2 + (2n -1) 4 = 1 + 3 3° numero 9 = 4 + 5 9 = 1 + 3 + 5 16 = 1 + 3 + 5 + 7 4° numero 16 = 9 + 7

9. PROBLEMI • Il nono termine di una progressione aritmetica è 4 e il quarto termine 5. Trovare la ragione d e il primo termine • In una progressione aritmetica la somma del primo e del quinto termine è 18 e la somma dei primi dieci termini è 165. Trovare la ragione d. • Quanti termini della progressione aritmetica 1; 5; 9; … … devono essere considerati se si vuole che la loro somma sia 190? • Qual è il numero minimo di termini che deve essere preso perché la loro somma superi 900? RISPOSTE 1) -1/5; 28/5 2) 3 3) 10; 22

10. PROBLEMI ancora… alcuni • I tre lati di un triangolo rettangolo sono in progressione aritmetica. Sapendo che il cateto maggiore è di 24 cm., determinare gli altri lati del triangolo. • Verificate che un triangolo avente gli angoli in progressione aritmetica e un angolo di 30° è necessariamente rettangolo • Un orologio a pendolo batte un colpo all’una e alle tredici, due colpi alle due e alle quattordici, e così via. Quanti colpi batte in ventiquattro ore? • Una lumaca deve salire un muro alto 17 m. Ogni giorno sale di 3 m., • ma di notte scivola in giù di un metro. Dopo quanti giorni raggiungerà la cima del muro? RISPOSTE 4) 18cm. ; 30cm; 6) 156 7) 8 giorni

11. PROBLEMI e… altri • Nell’ipotesi che la temperatura del sottosuolo cresca di 1°C ogni 30 metri di profondità e che alla superficie la temperatura sia di 20°C, quale temperatura si avrà a 600 metri di profondità? • Due veicoli partono rispettivamente da A e da B e percorrono il tratto rettilineo in senso opposto, il primo percorre 2 metri nel primo minuto, 3m. nel secondo, 4 m. nel terzo e così via. Il secondo percorre 1 m. nel primo minuto, 3 m. nel secondo, 5 m. nel terzo e così via. Sapendo che la distanza AB è di 630 m., dopo quanti minuti si incontreranno i due veicoli? E a quale distanza da A? • Un tale per estinguere un debito di € 3.300 , paga il primo mese € 150 e in ciascun mese successivo €40 in più del precedente. In quanti mesi estinguerà il debito? RISPOSTE 8) 40°C ; 9) 20 minuti; 230 metri 10) 10

12. alcune considerazioni tratte liberamente da….. • Maraschini – Palma • multi FORMAT • moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore • e altro … …

13. briciole … di pro.gress.io.ni aritm. e.ti.che f I n E