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数学中的动 点 问 题 探 究

数学中的动 点 问 题 探 究. 店口二中 寿春锋. 动点题并不可怕，需要有信心！ 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题 ---- 动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找 确定的关系式 ，就能找到解决问题的途径。. 小试牛刀. 1 、已知：直角坐标系中 A （ 5 ， 3 ）， B （ —3 ， 3 ），在 X 轴上有一动点 P ，求 AP+BP 的最小值.

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Presentation Transcript

  1. 数学中的动 点 问 题 探 究 店口二中 寿春锋

  2. 动点题并不可怕，需要有信心！ 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题----动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

  3. 小试牛刀 1、已知：直角坐标系中A（5，3），B（—3，3），在X轴上有一动点P，求AP+BP的最小值.

  4. 2、如图，已知抛物线： y＝—0.25x2＋o.5x＋2 与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标。 H(1，1.5) H D

  5. 3、如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值 (结果不取近似值）。 A D P B Q C

  6. 4、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° 问题情景 (1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。 若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ 若△PBC为等腰三角形 则PB=BC 4 30° ∴7-t=4 P 7 ∴t=3

  7. 如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° 4 7 二、问题情景变式 (2)若点P从点A沿AB运动，速度仍是1cm/s。 射线 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ P

  8. 4 P 4 4 P 7 当BP=BC时（锐角) 当BP=BC时（钝角） 7 7 P P ∟ E 当CB=CP时 当PB=PC时 E 4 30° 7 （三）师生互动 探索新知

  9. 4、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ 4 P 4 4 4 7 当BP=BC时(锐角) 当BP=BC时 当BP=BC时(钝角) 当BP=BC时 7 7 7 ∟ E 当CB=CP时 当CB=CP时 当PB=PC时 当PB=PC时 E 4 30° ∴t=3或11或7+ 或 /3时 △PBC为等腰三角形 7 （三）师生互动 探索新知 (2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ P P P P 探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程

  10. 4、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° （四）动脑创新 再探新知 （3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？ 解决动点问题的好助手： 数形结合定相似比例线段构方程 E P E P

  11. 5、已知：Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，5、已知：Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y， (1)求y与x之间的函数关系式？ (2)若重叠部分的面积为等腰直角ΔＰＭＮ面积的一半，求x？ P A D 2 N B 8 M 8 C

  12. A D 2 B 8 C ∴S重叠＝SΔCEM＝ x2 第一种情形： P A D G E 2 B 8 M F 8 N C 解：(1)当0≤x≤2时， ∵MC＝xcm，∠PMN＝450 ∴CE＝xcm，

  13. A A D D 2 B B C C 8 ∴S重叠＝S梯形MCDG＝ （x-2+x） 2= 2x-2 第二种情形： P H G F M 8 T N 解：(２)当２＜x≤６时， ∵MC＝x，ＭＦ＝ＧＦ＝２, ∴CF＝GD= x-2

  14. A D B C A D C B ＝12－ (8－x)2 第三种情形： P H G Q F T M 8 N 解：(3)当6＜x≤8时， ∴S重叠＝S五边形GMCQH＝Ｓ梯形ＧＭＮＨ－ＳΔＱＣＮ

  15. x2， ∵ＳΔＰＭＮ＝　×４×８＝16 P 若　x2＝8，则x＝±４，不合题意舍去 12－ (8－x)2， N M (2)若重叠部分的面积为等腰直角ΔＰＭＮ面积的一半，求x？ 0≤x≤2 2x-2， ∵y= ２＜x≤６ 6＜x≤8 8 若２x－２ ＝8，则x＝５，合题意，保留 若12－ (8－x)2＝8，则x＝0或x＝-16 ，均不合题意，舍去。

  16. P A D 2 N B 8 M 8 C ∴当x=5时，重叠部分的面积为RtΔPNN的面积的一半

  17. 小结： 综合体验清点收获 动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。第三，确定自变量范围，画相应的图象。 必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。 收获一：化动为静 收获二：分类讨论 收获三：数形结合 收获四：构建函数模型、方程模型

  18. 谢谢！ 请各位老师批评指正！

  19. 例2、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O A B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O A B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？ C B O A P

  20. C B O A 第一种情形： D P 解：(1)当0≤x≤2时， ,易证ΔPOD为一等边三角形， ∴y＝3OP ＝3x

  21. C B O A 第二种情形： M N P Q 解：(２)当２＜x≤4时， y＝3OP－OQ ＝3x －(x－2) ＝2x＋2

  22. C B O A 第三种情形： Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ 解：(3)当４＜x≤６时， y＝OC+BC+AQ+AP ＝4OA－OQ－BP ＝16 －（x－２） －（８－x） ＝10

  23. C B O A 第四种情形： M N P Q 解：(4)当6＜x≤8时， y＝NQ＋BN＋QP ＝３QB－ＰＢ ＝３［４－２（x－６）］ －（８－x） ＝40－5x

  24. 3x， 0≤x≤2 2x＋2， ２＜x≤4 y= 10， ４＜x≤６ 40－5x， 6＜x≤8 ∴当４≤x≤６时，周长y是一个定值，定值为10

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