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工程数学复习

工程数学复习. 矢量分析与场论. 曲线 x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ) 的 导矢 为 在曲线上的任一点的 切向单位矢量 为. 数量场 u 的等值面方程为 u ( x , y , z )= c , c 为常数. 数量场 u 的梯度公式为 u 在它的等值面上任一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的法线方程为. 数量场 u 在某点 M ( x , y , z ) 在 l = a i + b j + c k 方向上的方向导数的求法. 矢量场 A = P i + Q j + R k 的矢量线方程为 ( 不是特别重要 ).

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Presentation Transcript

  1. 工程数学复习

  2. 矢量分析与场论

  3. 曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)的导矢为在曲线上的任一点的切向单位矢量为曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)的导矢为在曲线上的任一点的切向单位矢量为

  4. 数量场u的等值面方程为u(x,y,z)=c, c为常数.

  5. 数量场u的梯度公式为u在它的等值面上任一点M(x0,y0,z0)的法线方程为数量场u的梯度公式为u在它的等值面上任一点M(x0,y0,z0)的法线方程为

  6. 数量场u在某点M(x,y,z)在l=ai+bj+ck方向上的方向导数的求法.

  7. 矢量场A=Pi+Qj+Rk的矢量线方程为(不是特别重要).矢量场A=Pi+Qj+Rk的矢量线方程为(不是特别重要).

  8. 矢量场A=Pi+Qj+Rk的雅可比矩阵及散度旋度的公式:矢量场A=Pi+Qj+Rk的雅可比矩阵及散度旋度的公式:

  9. 复变函数

  10. 要搞清楚复变函数w=f(z)将z平面的什么区域映射到w平面的什么区域. 例如, w=z2将z平面的第一象限映射到w平面的什么区域.

  11. 一些解析函数的导数完全就是实变函数的导数的延伸, 例如, z2的导数是2z, sin z的导数是cos z, 等等. 包括实变函数的复合函数的导数的求法, 反函数的导数的求法, 等等.

  12. 柯西-西萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零:

  13. 在单连通域B内解析的函数f(z)从z0沿任何一条路线积分到z1的定积分值可用下式计算:其中F(z)是f(z)的一个原函数, F '(z)=f(z)

  14. 记住几个幂级数的公式及收敛半径:

  15. 如果f(z)有一个孤立奇点在z0处, 则可在z0的邻域展开为洛朗级数如果没有负幂项则z0为可去奇点, 如果(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m, 则z0为m级极点, 如果有无限多个负幂项, 则z0为本性奇点. 而(z-z0)-1项前面的系数c-1称之为f(z)在z0点的留数, 记作Res[f(z),z0]

  16. 为了判断z0是f(z)的几级极点, 只需要判断z0是 的几级零点.而要判定z0是一个函数g(z)的几级零点, 可对g(z)不断求导, 每求一次导后都判定一下z0是否还是那个导函数零点, 如果求了m阶导后, g(m)(z0)0, 则z0是g(z)的m级零点.

  17. 留数的计算规则规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则规则2 如果z0是f(z)的m级极点, 则

  18. 规则3 设 ,P(z)及Q(z)都在z0解析, 如果P(z0)0, Q '(z0)0, 则z0为f(z)的一级极点, 而

  19. 有些情况用直接展开成洛朗级数的办法求留数是更为方便的, 例如象函数

  20. 留数在定积分上的应用(不太重要)形如 的积分, 如果R(z)是z的有理函数, 且分子母的次数至少比分子的次数高二次, 则积分值就是R(z)在上半平面的所有极点的留数加起来后再乘2pi.

  21. 形如 的积分, 当R(x)是x的有理函数且分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(z)在实轴上没有孤立奇点时, 积分值为R(z)eaiz在上半平面的所有极点的留数之和加上2pi.

  22. 线性代数

  23. 矩阵Amp=(aij)与Bpn=(bij)相乘的乘积AB, 必须A的列数等于B的行数才能够相乘, 而且乘积的结果矩阵C=(cij)=AB的行数是A的行数, 列数是B的列数. 用以下公式计算:

  24. 用AT表示矩阵的转置, 矩阵的转置具有性质(AB)T=BTAT, 如果矩阵A满足A=AT, 称它为对称矩阵.

  25. 对n阶方阵A,B, 满足|AB|=|A||B|或 det(AB)=det(A)det(B)如果AB=E, 则A与B互为逆矩阵.

  26. 求一个矩阵的秩的方法, 是对此矩阵做初等行变换将其变换为行阶梯形矩阵后, 数一数它的非零行的行数, 就是这个矩阵的秩.

  27. 求一个方阵A的逆矩阵, 有两种方法, 一种是先算出A的伴随矩阵A*, 然后利用公式一种是构造分块矩阵(A,E), 对之求初等行变换, 将左半边变成单位矩阵E时, 右边恰好变成A的逆矩阵, 即

  28. 求解非齐次线性方程组的技术, 是对增广矩阵做初等行变换变成行最简形矩阵后, 将其恢复为线性方程组, 将自由变量移到等号右边, 首先令自由变量都等于零得到方程组的一个特解, 然后令每一个自由变量依次等于1而其它自由变量都等于0, 算出n-r个导出组的基础解系向量, 再表示成一般的通解形式. (不太重要)

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