第二章平面力系

第二章平面力系 第一节平面汇交力系的合成与平衡第二节力对点之矩第三节力偶及力偶系第四节力的平移定理第五节平面力系的简化第六节平面力系的平衡条件及其应用第七节物系平衡问题第八节考虑摩擦的平衡问题第九节问题讨论与说明

第一节平面汇交力系的合成与平衡 平面汇交力系——构成力系各个力的作用线位于同一平面，并完全汇交于一点。一、力的投影与分力 1、力在直角坐标轴上的投影力F在x、y轴上的投影为：若已知力F在x、y轴上的投影，则力F的大小及方向为： 2、力的投影与分力关系将力F沿直角坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与力F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。（注：α角为力F与x轴所夹的锐角）

二、平面汇交力系的合成的解析法 合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即其中合力R的大小及方向三、平面汇交力系的平衡方程及应用平衡方程：即为：当物体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时，力系在任意直角坐标轴上的投影的代数和均等于零。

例2-1、用解析法求下图吊钩受合力的大小及方向。例2-1、用解析法求下图吊钩受合力的大小及方向。解：（α角为合力R与x轴所夹的锐角）

例2-2、重G的物块悬于长L的吊索上，以水平力F将物块向右推过水平距离x处。已知G=1.2kN，l=13m，x=5m，求所需水平力F的值。例2-2、重G的物块悬于长L的吊索上，以水平力F将物块向右推过水平距离x处。已知G=1.2kN，l=13m，x=5m，求所需水平力F的值。解：返回第二章目录

第二节力对点之矩 一、力矩的概念物理量Fd及其转向来度量力使物体绕转动中心O的效应，这个量称为立F对O点之矩。简称力矩，记为单位：Nm 其中： O—称为矩心 d—称为力臂力矩的正负规定：力矩在平面上逆时针转动为正，顺时针转动为负。注： 1、当力的作用线通过矩心时，此时力臂的值为零，力矩值为零； 2、力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为此时力、力臂的大小及力矩转向未发生改变。二、合力矩定理平面汇交力系的合力，对平面上任一点之矩，等于力系中各力对同点力矩的代数和。记为

例2-3：图示圆柱直齿齿轮的齿面受一啮合角为α=20°的法向压力Pn=1kN的作用，齿轮分度圆的直径d=60mm。计算力对轴心O的力矩。例2-3：图示圆柱直齿齿轮的齿面受一啮合角为α=20°的法向压力Pn=1kN的作用，齿轮分度圆的直径d=60mm。计算力对轴心O的力矩。解法一：按力对点之矩的定义求解解法二：按合力矩定理求解返回第二章目录

第三节力偶及力偶系 一、力偶概念 1、力偶定义：一对等值反向不共线的平行力构成的力系称为力偶。 2、力偶的三要素： 1）、力偶矩的大小单位：Nm 力偶矩： m—力偶矩 d —力偶臂 F—力的大小正负规定：顺时针转动为正，逆时针转动为负。 2）、力偶的转向 3）、力偶作用面方位力偶作用面在空间的位置及旋转轴的方向；用垂直于作用面的垂线指向来表征。凡是空间相互平行的平面，它们的方位均相同。 3、力偶的等效条件力偶三要素相同的力偶，彼此相等效，可互相置换。

二、力偶的性质 1、力偶对其作用面内任意点的力矩值恒等于此力偶的力偶矩，而和力偶与矩心间的相对位置无关。 2、力偶无合力。 3、力偶在任何坐标轴上的投影恒为零。三、平面力偶系的合成与平衡 1、平面力偶系的合成平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。即为 2、平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充分与必要条件为：此力偶系中各力偶矩的代数和为零。

例2-4 用四轴钻床加工一工件上四个空，如下图。每个钻头对工件的切削力偶为m=6Nm，固定工件的两螺栓A、B与工件成光滑接触，且AB=0.3m，求两螺栓所受的力。解：返回第二章目录

第四节力的平移定理 讨论力对其作用线以外一点的作用效果。将作用于A点的力F平移到平面上任一点O，可在O点施加一对与力F等值的平衡力F′与F″，取F与F″为一对等值、反向、不共线的平行力组成一力偶，称为附加力偶，力偶矩值等于原力F对O点的力矩，即力的平移定理：作用于刚体上的力，均可平移到刚体内任一点，但必需同时增加一个附加力偶，其值等于原来力对该点之矩。结论：力对作用线以外任一点的作用效应为：一是平移力产生的移动效应；二是附加力偶对物体产生转动效应。返回第二章目录

` 第五节平面力系的简化一、平面力系向任一点简化过程平面力系中所有力向简化中心平移。 1、由所有平移力构成的平面汇交力系——合成得到主矢量R′ 2、由全部附加力偶构成的平面力偶系——合成得到主矩Mo 结论：平面任意力系向任一点简化，其一般结果为作用在简化中心的一个主矢量与一个作用在平面上的主矩。

二、简化结果讨论 1、R′≠0，Mo≠0 可将主矢量、主矩进一步合成一个单力——力系的合力R。过程如下：其中：取 2、R′≠0，Mo＝0 简化中心恰好选在合力的作用线上，主矢量可单独代表力系的合力。 3、R′＝0，Mo≠0 主矩可单独代表力系的作用而称为力系的合力偶。在此情况下，简化结果与简化中心位置无关。 4、R′＝0，MO＝0 处于平衡状态。

三、固定端约束力 一端被固定的约束类型，如建筑上的阳台，焊、铆接和用螺栓联接的结构，刀具的锥柄，以及机器主轴的锥孔配合等，都可认为是固定端约束。其力学模型和约束力画法如下。返回第二章目录

第六节平面力系的平衡条件及其应用 一、平面力系的平衡条件平面力系平衡的充分与必要条件为：力系向任一点简化得到的主矢量及主矩都等于零。即可得平面力系的平衡方程即在平面力系中所有力任一轴的投影代数和为零及对任一点的力矩代数和为零。

二、几种特殊平面力系的平衡方程 1、平面汇交力系的平衡方程 2、平面平行力系的平衡方程注：力系不平行y轴（或x轴）

例2-5、如下图所示起重机的横梁重W=10kN,重心位于H点，悬重G=24kN作用于M点，KH=6m， KM=10m,α=30°。求钢索EH的拉力及支座K铰处的约束力。解：（1）取横梁为研究对象，画受力图；（2）选H点为矩心，列平衡方程求解。

解得：钢索EH的拉力THE=100kN，支座K 铰处的约束力NKx=86.6kN，NKy=-16kN。

例2-6、已知起重机的自重W=100kN，a=8m，b=2m，求图示状态时，最大的起重重量G？例2-6、已知起重机的自重W=100kN，a=8m，b=2m，求图示状态时，最大的起重重量G？解：（1）取整体为研究对象，当达到临界状态时，起重机右轮不受力；（2）选A点为矩心，列平衡方程求解。返回第二章目录

第七节物系平衡问题 一、物系平衡问题物体系统（简称物系）：由多个物体通过约束而组合在一起的结构（或机构）。物体系统平衡时，组成物系的每一个构件也必为平衡状态，在一般情况下，只单独以整体或只以系统内的某一部分为研究对象，都不能求出全部的未知量。在此情况下，一般是选取多个研究对象，逐步求解。解题步骤与技巧：（1）根据实际结构的力学性质，将实际结构简化、抽象为力学模型；（2）确立求解问题的关系，明确研究对象，画研究对象的受力图；（3）选取合适的力的投影轴，即：最好使多数未知力与投影轴垂直，使多数未知力与取矩轴相交或平行。（4）根据实际情况列平衡方程求解。

例题2-7 如下图所示，发动机图，已知气缸活塞受力F=200kN，OA=0.2m。求：当OA与水平垂直且α=30°时，连杆AB受力，O点的约束力。解：（1）做分离体，画受力图，如上；（2）分别取研究对象，列平衡方程求解。

取B作为研究对象，有 取AB作为研究对象，有二、静定与静不定问题取OA作为研究对象，有在分析物体或物系的平衡问题时，根据其受力情况可判断独立平衡方程数目。当所研究的平衡问题的未知量数等于或小于能够列出的独立平衡方程数目时，则全部未知量都能由平衡方程求解，这样的问题称为静定问题。如果所研究的平衡问题的未知量数大于能够列出的独立平衡方程数目时，则由只根据平衡方程不能求解全部未知量，这样的问题称为静不定问题。返回第二章目录

第八节考虑摩擦的平衡问题 一、滑动摩擦两个相互接触的物体，发生相对滑动，或存在相对滑动的趋势时，彼此之间就有阻碍滑动的力存在，此力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。 1、静滑动摩擦两个相互接触的物体，存在相对滑动的趋势时，彼此之间就有阻碍滑动的力存在，此力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。临界摩擦力Fm近似值为即临界摩擦力的值与两物体间的正压力成正比。其中f为静滑动摩擦系数，由实验确定。静滑动摩擦力的三要素为：（1）大小：摩擦力F的范围为 0 ≤F ≤ Fm，具体值由平衡条件来确定。（2）方向：摩擦力在两物体接触面的切线上，其指向与物体间相对滑动的趋势方向相反。（3）作用点：摩擦力的作用点在两物体的接触面上，具体位置由物体的平衡条件确定。

2、动滑动摩擦 两个相互接触的物体，存在相对滑动时，彼此之间就有阻碍滑动的力存在，此力称为动滑动摩擦力。其大小与接触面之间的正压力成正比，即其中f′为动滑动摩擦系数，由实验确定。动滑动摩擦力的三要素为：（1）大小：（2）方向：摩擦力在两物体接触面的切线上，其指向与物体间相对滑动的方向相反。（3）作用点：接触点或接触面上摩擦力合力的作用点。

二、摩擦角的概念及自锁 如右图，当主动力P小于Fm时，摩擦力具有切向有限约束力的性质。全反力：物体所受的切向有限约束力F与法向约束力N合成，其合力R代表约束面对物体的全部作用，称为全反力。当物体处于平衡状态时，全反力R与法向夹角φ的变化范围为: 摩擦角：全反力R与接触面法线所形成的最大偏角φm称为摩擦角。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。摩擦教表示全反力能够生成的范围，如物体与支撑面的摩擦系数在各个方向均相同，则这一个范围在空间形成一个锥体，成为摩擦锥。全反力的作用不可能超出这个锥体。自锁：若主动力Q作用在摩擦锥范围内，则约束面必产生一个等值、反向、共线的全反力与主动力构成平衡，且无论主动力Q的增加到多大，都不会使物体滑动，这种情况称为自锁。自锁条件：主动与法线的夹角不大于最大摩擦角。即返回第二章目录

第九节问题讨论与说明 一、受力分析的重要性力学模型的建立，对问题的求解起着至关重要的作用。它关系到力学求解的正确与否，求解的精度是否足够。二、关于物系平衡问题的讨论灵活选择平衡对象的原则之一，尽量做到用一个平衡方程求解一个未知数。在物系平衡问题求解当中，首先要从具有可解条件的构件入手，通过对解未知量的求解，可将与之关联的构件上的未知量变为已知量，使其由静不定问题转变为静定问题，最后完全求解未知量。即使是在计算机发达的当代，也要强调这一点。三、关于特殊力系的平衡问题对与平面一般力系的平衡方程在特殊力中的应用，应注意部分的平衡方程的适用性。在平面汇交力系中，力矩平衡的表达式具有一定的条件，即矩心不能选择在力系的汇交点上，所以在平面汇交力中，不把力矩平衡的表达式作为平衡的判据。在平面平行力系中，应注意平行力系的方向，在与平行力系垂直的坐标轴上，力系的投影恒为零，故该平衡方程也不能用。返回第二章目录

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