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与函数有关的综合题

与函数有关的综合题. 分类思想、数形结合思想. 例 1 如图 , 在直角坐标系中 , O 为原点， A(4,12) 为双曲线 上的一点 . (1) 求 k 的值； (2) 过双曲线上的点 P 作 PB⊥x 轴于点 B, 连结 OP, 若 RtΔOPB 的两直角边的比值为 ，求点 P 的坐标 . (3) 坐标轴上是否存在点 C, 使得 ΔOPC 为直角三角形 ? 若存在 , 求点 C 的坐标，不存在 ……. 小结：. 解题时，应首先梳理好解题的基本思路，理清各个知识点之间的联系，善于找到解题的突破口。.

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与函数有关的综合题

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  1. 与函数有关的综合题 分类思想、数形结合思想

  2. 例1 如图,在直角坐标系中,O为原点，A(4,12)为双曲线 上的一点. (1)求k的值； (2)过双曲线上的点P作PB⊥x轴于点B,连结OP,若RtΔOPB的两直角边的比值为 ，求点P的坐标. (3)坐标轴上是否存在点C,使得ΔOPC为直角三角形?若存在,求点C的坐标，不存在……

  3. 小结： • 解题时，应首先梳理好解题的基本思路，理清各个知识点之间的联系，善于找到解题的突破口。

  4. 例2 如图,已知抛物线的顶点为C(1,0)，直线y=x+m与抛物线交于点A，B,其中A(3,4), B点在y轴上. (1)求m的值及抛物线的解析式; (2)P为线段AB上的动点(不与A，B重合),过P作x轴的垂线与抛物线交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

  5. 例2 如图,已知抛物线的顶点为C(1,0)，直线y=x+m与抛物线交于点A，B,其中A(3,4), B点在y轴上. (3)D为直线AB与抛物线对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,求出P点的坐标,若不存在，请说明理由.

  6. 例3 如图,在直角坐标系中,矩形ABCD的 对角线AC所在解析式 . (1)在x轴上存在这样的点M,使得ΔMAB为等腰三角形，…… (2)动点P从点C开始在线段CO上…，动点Q从点O开始在线段OA上… ①求使得ΔOPQ与ΔBCP相似的时刻t ②求 ΔBPQ的面积S与t之间的函数关系式…

  7. 评注： • 分类思想在综合题中应用非常广泛，分类时一定注意不能漏解；应用二次函数求最大(小)值时一定要注意自变量的存在性，思考自变量的值是否在其取值范围之内。

  8. 例4 抛物线 与x轴相交于点A，B,与y轴相交于点C. (1)求点A，B，C的的坐标; (2)求证： ΔAOC∽ΔCOB； (3)过点C作CD∥ x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后， PQ=AC?

  9. 练习2、已知x1、x2是一元二次方程x2－2kx＋2k－1＝0的两根，求 的最小值。 =(x1＋x2)2－2 x1•x2＝4k2－2(2k－1) ＝4k2－4k＋2 ＝4(k－ )2＋1 ∴ 当k＝ 时， 有最小值，最小值为１ 练习1、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。 解:由韦达定理得：x1＋x2＝2k ，x1•x2＝2k－1

  10. 例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A D B C (2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米） (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米 解： ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） (3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米

  11. 例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。（2003湖北）例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。（2003湖北） （1）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？

  12. 例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。（2003湖北）例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。（2003湖北） （2）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价x（元），应确定在什么范围。

  13. 例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC = AP•PB CQ•PB = S△PCQ＝ 即S＝ 　 (0<x<2） 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时

  14. S△PCQ＝ 即S＝　 (x>2） 当P在线段AB的延长线上时

  15. ＝２ ②　 ＝２ ∴ x1=1+ , x2=1－ (舍去) ∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC (2)当S△PCQ＝S△ABC时，有 此方程无解

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