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計算可能性. 計算可能性の理論 可解 (solvable) 非可解 (unsolvable). 問題 A を解くアルゴリズムが存在するとき、 A は可解であるという。. 問題 A を解くアルゴリズムが存在しないとき、 A は非可解であるという。. 非 可 解. プログラムの停止問題は非可解. 入力: プログラム P 、データ x 出力: 計算が有限ステップで停止するならば Yes, そうでなければ No. 計算可能性. 計算可能性の理論 可解 (solvable) 非可解 (unsolvable).

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Presentation Transcript
slide1
計算可能性

計算可能性の理論

可解(solvable)

非可解(unsolvable)

問題Aを解くアルゴリズムが存在するとき、

Aは可解であるという。

問題Aを解くアルゴリズムが存在しないとき、

Aは非可解であるという。

slide2
非 可 解

プログラムの停止問題は非可解

入力: プログラムP、データx

出力: 計算が有限ステップで停止するならば Yes,

そうでなければ No

slide3
計算可能性

計算可能性の理論

可解(solvable)

非可解(unsolvable)

問題Aを解くアルゴリズムが存在するとき、

Aは可解であるという。

問題Aを解くアルゴリズムが存在しないとき、

Aは非可解であるという。

slide4
複雑さのクラスP

クラスP

多項式時間で解ける問題のクラス

  • ソート
  • グラフの最短経路
  • 平面グラフの判定
  • 最小木
  • . . .
slide5
計算量

多項式オーダー

ある定数kを用いて、O(nk)で書けるという意味である。

線形オーダー

O(n)と書けるという意味である。

slide6
計算の複雑さ

データ   10 20 30 40 50 60 70 80 90

A10万分の1秒 100分の1秒 11秒 3時間 130日 371年 37万年 4億年 4千億年

B1秒        32秒   4分  17分  52分 2時間 5時間  9時間 16時間

なぜ、多項式時間か?

データがn個の問題を解くのに2種類のアルゴリズムがある。

アルゴリズムAは2n回の演算を用いて問題を解く

アルゴリズムBが1000n5回の演算を用いて問題を解く

もし、1秒に1億回の演算をする計算機を使うと、

この問題を解くのにかかる時間は

np nondeterministic polynomial
複雑さのクラスNPnondeterministic polynomial

クラスNP

決定問題Aに対し、非決定性アルゴリズムが存在して、

規模nの問題例について、それがyesの解をもつ

場合にはnの多項式オーダー長でyesを与えるものが

少なくとも一つ存在するならば AはクラスNPに属する.

  • 3SAT問題
  • 最大独立点集合問題
  • ハミルトン閉路
  • . . .
slide10
複雑さのクラスPとNP

簡単

クラスP

多項式時間で解けば

クラスNP

例挙された解が条件を満たすかどうかの判定が

多項式時間で可能でありさえすれば

slide11
複雑さのクラスPとNP

最小全域木問題

簡単

クラスP

多項式時間で解けば

クラスNP

例挙された解が条件を満たすかどうかの判定が

多項式時間で可能でありさえすれば

satisfiability problem sat
Satisfiability Problem(SAT)

SAT

リテラルx1 ,x1 ,x2 ,x2 ,… , xn ,xnから作られたリテラルの和の節C1,C2, …,Cmが与えられたとき、全ての節を1にするような変数への0,1の割り当てがあるかどうか判定せよ。

C1 =1

C2 =1

C3 =1

C1 =x1 + x2 + x3

x1=1, x2=0, x3=0, x4=1

C2 =x2 + x3

C3 =x3 + x4

x1=1

C1 =1, C2 =0

C1 =x1

C2 =x1

x1=0

C1 =0, C2 =1

slide13
複雑さのクラスPとNP

簡単

SAT問題

クラスP

多項式時間で解けば

クラスNP

例挙された解が条件を満たすかどうかの判定が

多項式時間で可能でありさえすれば

slide14
問題間の帰着

問題Aの任意の問題例Xに対し、問題Bの問題例f(X)を

構成でき、AにおけるXの答(yesあるいはno)とBにおける

f(X)の答が一致するとき、AはBに帰着可能である。

ただし、f は多項式時間で計算できる場合には、

多項式的に帰着可能という。

np np p50 93 138
NP困難とNP完全(P50,93,138)

クラスNPの任意の問題Aがある問題Bに多項式的に帰着

可能であれば、BはNP困難(NP-hard)であるという。

さらに、このB自身がNPに属していれば、

BはNP完全(NP-complete)であるという。

slide16
未解決問題:P=NP ?

もしNP完全に属する問題の一つが、多項式時間で解けたら、

クラスNPに属する問題は全て多項式時間で解ける。

即ち、P=NP。

NP

1971年以来世界中の研究者がトライしても、

未解決なので、P=NPだと予想されている。

NP完全

P

slide17
NP完全問題の例

現在、数千(もしくは、さらに多くの)NP完全問題が

知られている。

  • SAT
  • 3SAT
  • Clique
  • Vertex-cover
  • Vertex-coloring
  • Edge-coloring
  • Subset-sum
satisfiability problem sat1
Satisfiability Problem(SAT)

最初にNP完全であることが証明された問題   S.A. Cook 1971年

SAT

リテラルx1 ,x1 ,x2 ,x2 ,… , xn ,xnから作られたリテラルの和の節C1,C2, …,Cmが与えられたとき、全ての節を1にするような変数への0,1の割り当てがあるかどうか判定せよ。

C1 =1

C2 =1

C3 =1

C1 =x1 + x2 + x3

x1=1, x2=0, x3=0, x4=1

C2 =x2 + x3

C3 =x3 + x4

x1=1

C1 =1, C2 =0

C1 =x1

C2 =x1

x1=0

C1 =0, C2 =1

slide19
NP完全の証明

知られたNP完全の問題

多項式時間の帰着

証明したい問題

slide20
NP完全の証明

Clique問題

グラフが与えられたとき、サイズkのclique(完全部分グラフ)を

持つかどうか判定せよ。

演習問題1

Clique 問題がNP完全であることを証明せよ。

slide21
NP完全の証明

証明:

Clique問題がNPに属するのは自明です。

演習問題1

Clique 問題がNP完全であることを証明せよ。

slide22
NP完全の証明

知られたNP完全の問題

多項式時間の帰着

証明:

Clique問題がNPに属するのは自明です。

3SAT問題がClique問題に多項式時間帰着可能であることを示せばいい。

3SAT問題

演習問題1

Clique 問題がNP完全であることを証明せよ。

証明したい問題

Clique問題

slide23
NP完全の証明

3SATのインスタンス

Clique問題

サイズ3のclique?

C1 =x1 + x2 + x3

C2 =x1 + x2 + x3

x1

x2

x3

C3 =x2 + x3 + x4

x2

x1

x3

x1=*, x2=1, x3=0, x4=*

x1=1, x2=0, x3=0, x4=1

C1 =1

C2 =1

C3 =1

x2

x3

x4

Yes

Yes

Q.E.D

slide24

NP完全の証明

グラフGにすべての点を通る閉路Zがあるとき、Gはハミルトングラフ(Hamiltonian graph)といい、Zをハミルトン閉路という。

演習問題2

出発点

ハミルトングラフ問題がNP完全であることを証明せよ。

slide25
NP完全の証明

知られたNP完全の問題

多項式時間の帰着

証明:

ハミルトングラフ問題がNPに属するのは自明です。

3SAT問題がハミルトングラフ問題に多項式時間帰着可能であることを示せばいい。

3SAT問題

演習問題2

ハミルトングラフ問題がNP完全であることを証明せよ。

証明したい問題

ハミルトングラフ問題

slide26
NP完全の証明

部品

C1 =x1+ x2+ x3

B

A

C2 =x1+ x2+ x3

C3 =x1+ x2+ x3

x1

x3

x2

slide27
NP完全の証明

部品

C1 =x1+ x2+ x3

B

A

x1 =1

C2 =x1+ x2+ x3

x2 =1

C3 =x1+ x2+ x3

x3 =1

x1

x3

x2

Q.E.D

ハミルトン閉路