附不等式约束的平差理论 － 经典平差模型的扩展

1. 附不等式约束的平差理论　　　　　　－经典平差模型的扩展附不等式约束的平差理论　　　　　　－经典平差模型的扩展 中南大学　朱建军

2. 中南大学 • 中南大学由 湖南医科大学、长沙铁道学院与中南工业大学于2000年合并组建而成 • 全国首批211学校，985 • 国家一级重点学科6个，其他二级重点学科12个，总共25个 • 两院院士15人，博士导师574人，教授及正高职称898人， • 拥有博士学位授权一级学科17个，博士学位授权二级学科102个，博士后科研流动站22个 • 2000年以来，中南大学获国家科技三大奖37项，获奖数居全国高校第二位，其中一等奖3项，居全国高校第一位

3. 中南大学测绘学科 • 1953年筹建 • 1956年招收本科生 • 1959年招收研究生 • 1986年在全国首批获工程测量博士学位授予权 • 2003年获测绘科学与技术一级学科博士点 • 2003年获批测绘科学与技术博士后流动站 • 2003年与湖南省国土资源厅合建湖南省地理空间信息工程技术研究中心 • 2006年湖南省重点学科 • 2008年获湖南省精密工程测量与形变灾害监测重点实验室

4. 学科点的情况 • 博士点： 大地测量学与测量工程　摄影测量与遥感　　　地图制图与地理信息工程　国土资源遥感　　光电测量与信息处理 • 硕士点： 　大地测量学与测量工程　摄影测量与遥感　　地图制图与地理信息工程　国土资源遥感　　光电测量与信息处理　地图学与地理信息系统　土地资源管理

5. 附不等式平差问题的提出 主要研究进展 附不等式约束平差精度实验 存在的主要问题 目录

6. 附不等式平差问题的提出

7. 经典平差模型 • 条件平差：AV＝W • 间接平差模型：L＋V＝BX • 附未知参数的条件平差： AV＋BX＋W • 附条件的间接平差：

8. 经典平差模型 • 概括模型：附有限制条件的条件平差模型 • 最小二乘解为： • 其中

9. 经典平差模型 看看这个模型怎么办？ • 模型： • 附不等式约束的平差问题

10. 不等式约束 • 平差前有先验信息可以用不等式约束表示： • 滑坡一般是沿某个方向； • 大桥一般是沿上下方向振动； • 高层建筑沿水平方向摆动； • 船舶、火车、飞机等动态物体模型的轨迹一定是连续的，并且其高程起伏正常情况下在一定的范围内； • 方差估计中，方差是正的（大于0） • 某某目标位于某某目标的东或南等等 • 这些先验信息是可以用来改善平差结果的

11. 统一模型 • 考虑不等式约束，概括模型可扩展为： • 扩展的模型的意义 • 克服等式限制条件的局限性 • 改善平差结果，提高平差精 • 测量平差理论的发展

12. 两大问题 • 与经典测量平差方法相比不等式约束存在如下两大难题： • 解的显示表达 • 解的统计性质分析

13. 主要研究进展－－附不等式约束平差的主要算法主要研究进展－－附不等式约束平差的主要算法

14. 不等式约束平差经典算法 • 最小距离方法 • 有效约束法 • 椭圆约束法 • Bayes法 • 基于T－K条件的算法 • 虚拟观测方法

15. 最小距离方法 • 对于附不等式约束的平差模型 • 在最小二乘准则下，有

16. 最小距离方法 • 令 • 上式可变换成： • 这是一个典型的最小距离问题，可利用最优方法中的最小距离方法求解。

17. 最小距离方法 • 评述： • 可以得到最后解，但其算法与传统的平差算法相差很远，特别需要测量工作者掌握传统平差知识以外的其它知识。 • 不能得到解向量与观测向量之间的显式表达式，因此也就不能进行精度评定。

18. 有效约束法 • 附不等式约束的平差模型在其最优解处，必定出现两种情况： • 第一种情况下，约束条件对最优解起了约束作用，称为有效约束，第二种情况下，约束对最优解不发生作用，称为无效约束。

19. 有效约束法 • 如果我们事先通过某种方法能找到起作用的有效约束。那么我们可以将不等式约束模型转换为等式约束模型 ： • 该方法的关键是寻找有效约束

20. 有效约束法 • 有效约束法做为二次规划常用算法，它是通过类似穷举法实现对有效果约束的寻找，因此当不等式约束条件数量大时，该方法的计算量也随之增大。 • 虽然许文缘教授对该算法进行了改进，但仍然很难满足大规模运算的需要。

21. 椭圆约束法 • 该方法的思路是将所有不等式约束合并、转换成一个椭圆约束： • 或 • 然后在最大最小准则下，可以求得解为：

22. 椭圆约束法 • 1、解是有偏的，并且不一定能满足不等式. • 2、它只适用于约束条件能形成闭区间的情形. • 3、没有一种有效的方法将不等式转换成椭圆约束，因而实用性差.

23. 贝叶斯方法 • 基本思想：不等式约束代表的是对参数的一种先验知识，这种先验知识可以用某种概率分布来描述。 • 在观测误差服从正态分布的假设下，有：

24. 贝叶斯方法 • 按Bayes方法，可求得参数的验后分布： • 基于后验分布的贝叶斯估计可以获得四种不同的估计： 基于均值　基于中位数　基于众数　损失函数最小点

25. 2-3-(c) 2-3-(b) 2-3-(a) • 　　　基于众数的贝叶斯估计可以表示为 • 图(a)密度最大值位于最小二乘解　　，因此贝叶斯估值就是 • 图(b)密度最大值位于　　，因此贝叶斯估值就是 • 图(c)密度最大值位于　　，因此贝叶斯估值就是

26. 基于均值的贝叶斯解为 ： • 其方差为：

27. 贝叶斯估计的优点在于不仅能够利用先验信息改善解的结果。从使得方差较小方面来说，基于均值的贝叶斯估计也优于传统的解法。贝叶斯估计的优点在于不仅能够利用先验信息改善解的结果。从使得方差较小方面来说，基于均值的贝叶斯估计也优于传统的解法。 • 缺点是不能得到参数与观测值的显式表达，如果参数维数较高时，积分计算较复杂，还需进一步改进。

28. 基于Kuhn—Tucker条件的不等式约束平差算法 • 令　　　　　　　　由约束极值问题中的Kuhn—Tucker条件知,在最优解处必有：

29. 在库恩塔克条件约束的前提下 ，把不等式约束换成等式，根据求极值的方法可以得到： • 联合Kuhn—Tucker条件，可按下式求拉格朗日乘子

30. 最后求得解为：

31. 虚拟误差方程法

32. 根据最小二乘原理： • 组合间接方程为： • 这里的关键是虚拟观测的权：

33. 结果

34. 经典平差模型的扩展与统一 • 经典平差统一模型可扩展为 • 根据上述虚拟观测方法，及一系列推算，统一模型平差的结果可表示为：

35. 经典平差模型的扩展与统一－算法过程 • 1、迭代法： • 2、转换法：

36. 经典平差模型的扩展与统一－算法 根据K-T条件，上式还满足 其中：

37. 如果 显然 由几个正数组成， 此时即为无效约束。这样，我们假设 是一个非负变量，这样重新表示如下： 经典平差模型的扩展与统一－算法过程

38. 附不等式约束平差精度的模拟实验

39. 模拟实验 • 图示为一理想边坡

40. 建立了三个约束条件 • 在不同约束条件下，（1）无约束条件（2）约束条件a，（3）约束条件b，(4)约束条件a和b，用蒙特卡罗模拟方法模拟2000次观测

41. （1）无约束条件

42. （2）约束条件a

43. （3）约束条件b

44. (4)约束条件a和b

47. 实验的结论 • 假设随机误差服从正态分布，附不等式约束的平差的结果并不像我们常见的等式约束平差的结果那样服从正态分布，它的参数的约束区间再也不是一个完整的空间，而是在约束条件所规定的区域内，因此它的结果也就不再服从正态区域，其实这一点也可以从bayes估计的角度来解释。

48. 从统计意义上来说，附不等式约束平差的估计结果一般是有偏的。但这种有偏是误差不对称造成，如果误差对称那么估计就会无偏，或无误差时，估计也是无偏的。从统计意义上来说，附不等式约束平差的估计结果一般是有偏的。但这种有偏是误差不对称造成，如果误差对称那么估计就会无偏，或无误差时，估计也是无偏的。 • 从几何意义上可以认为不满足约束条件的局部最优解通过映射的方式投影到相应的约束边界上，而这些约束边界直线就是有效约束条件。

49. 无约束平差的精度<不等式平差的精度 <等式约束平差的精度

50. 应用前景 • 在病态问题中的应用 • 在边坡和建筑物监测中的应用 • 在粗差探测中的应用