有关线面垂直的问题

1. 有关线面垂直的问题 主讲教师：北京四中 安东明

2. 基本定理： • 1．直线与直线垂直： • (1)如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另 • 一条直线也垂直于第三条直线； • (2)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于 • 平面内的所有直线； • (3)三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一 • 条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线 • 垂直； • 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与这个 • 平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在这个平面 • 内的射影垂直；

3. 2．直线与平面垂直： • (1)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直； • (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； • (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个； • (4)两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面；

4. 3．平面与平面垂直： • （1）如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么么这两个平面垂直； • （2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；

5. O P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例题选讲 例1.已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。

6. O P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例题选讲 • 例1.已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。 • 方法一：利用线面垂直导出线线垂直 • 证明：连接AC、BD，设交点为O，连接NO、MO， • ∵ABCD为矩形， • ∴点O为AC、BD的中点， • ∵ M为AB的中点 • ∴OM//AD，∴OM⊥AB， • ∵N为PC的中点， ∴NO//PA， • ∵PA⊥底面ABCD， • ∴NO⊥底面ABCD ,∴NO⊥AB， • ∴AB⊥面OMN，∴MN⊥AB

7. Q P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例题选讲 例1.已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。 • 方法二：利用线面垂直、面面平行导出线面垂直，导出 • 线线垂直 • 证明：连接PD，取CD的中点Q，连接NQ、MQ， • ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB • ∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB • ∴AB⊥面PAD • ∵Q为CD的中点， N为PC的中点， • ∴NQ//PD， • ∵M为AB的中点，QM//AD • ∴面MNQ//面PAD • ∴AB⊥面MNQ，∴MN⊥AB

8. P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例题选讲 例1.已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。 • 证法三： • 证明：连接AC，PB，NA，NB， • ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC • ∵N为PC的中点， • ∴AN为Rt⊿PAC斜边的中线， • ∴AN= PC • ∵PA⊥底面ABCD，AB⊥CB • ∴PB⊥BC，∴BN= PC • ∴AN=BN • ∵M为AB的中点， ∴MN⊥AB。

9. A B P α β a γ 例2．已知：平面α、β、γ，直线a，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a， 求证：a⊥γ。

10. A B P α β a γ • 例2．已知：平面α、β、γ，直线a，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a， 求证：a⊥γ。 • 证明：在平面γ内任取一点P， • 在平面γ内作PA垂直于平面α与平面γ的交线于A， • 在平面γ内作PB垂直于平面β与平面γ的交线于B， • ∵α⊥γ，∴PA⊥α • ∵α∩β=a，∴PA⊥a • 同理：PB⊥a， • ∴a⊥面PAB，即a⊥γ。

11. P Q A B α β a γ 例2．已知：平面α、β、γ，直线a，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a， 求证：a⊥γ。 • 证明： • 在平面α内任取一点P，在平面α内作PA垂直于平面α与 • 平面γ的交线于A， • 在平面β内任取一点Q，在平面β内作QB垂直于平面β与 • 平面γ的交线于B， • ∵α⊥γ，∴PA⊥γ • ∵β⊥γ，∴QB⊥γ • ∴PA//QB, PA//β • ∵α∩β=a, • ∴ PA//a • ∴ a⊥γ

12. A1 C1 B1 Ａ C M B 例3．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1，其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。

13. A1 C1 B1 Ａ C M B • 例3．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1，其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。 • 方法一：利用三垂线定理导出线线垂直 • 证明：取BC中点M，连接AM、B1M， • ∵ ABC–A1B1C1是正三棱柱， • ∴ΔABC是正三角形， • 侧面四边形B1BCC1是矩形， • 且侧面与底面垂直， • ∵M是BC的中点，∴AM⊥BC， • ∴AM（垂线）⊥面B1BCC1

14. N A1 C1 B1 Ａ C M B 例3．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1，其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。 • ∵AB1（斜线）⊥BC1， • ∴B1M（射影）⊥ BC1 ， • 取B1C1中点N，连接A1N、NC， • 同理可证A1N（垂线）⊥面B1BCC1 • ∵侧面四边形B1BCC1是矩形， • ∴B1M//NC • ∴NC（射影）⊥ BC1 • ∵A1N（垂线）⊥面B1BCC1 • ∴CA1（斜线）⊥ BC1

15. C2 Ａ2 B2 A1 C1 B1 Ａ C B 例3．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1，其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。 • 方法二：利用平面几何中全等三角形ABC–A1B1C1 • 证明：在正三棱柱ABC–A1B1C1下方接一个全等的三棱柱ABC–A2B2C2，组成一个新的正三棱柱A1B1C1–A2B2C2 • 利用正三棱柱的概念及平面几何的 • 知识得： • AB1//A2B且AB1=A2B • BC1//B2C且BC1=B2C • CA1//C2A且CA1=C2A • ∵AB1⊥BC1，∴A2B⊥BC1， • ∴∠A2BC1=900，

16. C2 Ａ2 B2 A1 C1 B1 Ａ C B 例3．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1，其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。 • ∵ΔA2BC1与ΔA1CB2中， • A2B=A1C，BC1=B2C，A1B2=A2C1 • ∴ΔA2BC1≌ΔA1CB2 • ∴∠A2BC1=∠A1CB2=900 ， • ∴CA1⊥CB2 • ∴CA1⊥BC1

17. E D M B C N A 例4．已知：△ABC为正三角形，EC⊥面ABC，BD//EC，且EC=CA=2BD，M为EA中点， 求证：（1）DE=DA；（2）面BDM⊥面ACE。

18. E D M B C N A • 例4．已知：△ABC为正三角形，EC⊥面ABC，BD//EC，且EC=CA=2BD，M为EA中点， • 求证：（1）DE=DA；（2）面BDM⊥面ACE。 • 证明（1）取AC的中点N，连接BN、MN， • ∵△ABC为正三角形， • ∴BN⊥AC， • ∵EC⊥面ABC，∴EC⊥BN， • ∴BN⊥面AEC， • ∵M为EA中点，N为AC中点， • ∴MN//EC，MN= EC，

19. E D M B C N A 例4．已知：△ABC为正三角形，EC⊥面ABC，BD//EC，且EC=CA=2BD，M为EA中点， 求证：（1）DE=DA；（2）面BDM⊥面ACE。 • ∵BD//EC，BD= EC， • ∴MN与BD平行且相等， • ∴四边形BDMN是平行四边形， • ∴DM//BN，∴DM⊥面AEC， • ∴DM⊥AC， • ∵M为EA中点，∴DE=DA • （2）∵DM⊥面AEC， ∴面BDM⊥面ACE。

20. 有关线面成角问题

21. 基本知识： • 1．异面直线所成的角： • 经过空间任意一点，分别引两条异面直线a、b的平行 • 线a’、 b’，a’、 b’所成的锐角（或直角）叫做异 • 面直线a、b所成的角。（00<θ≤900） • 2．直线与平面所成的角： • (1)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做斜 • 线与平面所成的角； • (2)当线面垂直时，垂线与平面所成的角为直角； • (3)线面平行或线在面内，规定线面角为零角。 • （00≤θ≤900）

22. 3．平面与平面所成的角： • (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 • 叫做二面角。 • (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点， • 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所 • 成的角叫做二面角的平面角。 • （00<θ≤1800）

23. P A O • 二面角平面角的求法： • 1.利用定义： • 2.利用二面角棱的垂面： • 3.利用三垂线定理及逆定理：

24. 空间的角→ 平面的角 利用平面角的大小来定义空间的角 注意：角的取值范围 求角时要把角放到三角形中， 最好是直角三角形

25. A B D C 例题选讲 例1.已知：正四面体ABCD中，E、F分别为BC 、DA的中点， （1）求：AC、BD所成角的大小； G

26. A B D C 例题选讲 • 例1.已知：正四面体ABCD中，E、F分别为BC 、DA的中点， • （1）求：AC、BD所成角的大小； • 解：取BD的中点G，连接AG、GC， • ∵ ABCD是正四面体， • ∴ 各个面都是正三角形， • ∴AG⊥BD ， CG⊥BD， • ∴BD⊥平面AGC， • ∴BD⊥AC， • 即： AC、BD所成角是直角。 G

27. A B D C 例题选讲 例1.已知：正四面体ABCD中，E、F分别为BC 、DA的中点， （1）求：AC、BD所成角的大小； 解：取BD的中点G，连接AG、GC， ∵ ABCD是正四面体， ∴ 各个面都是正三角形， ∴AG⊥BD ， CG⊥BD， ∴BD⊥平面AGC， ∴BD⊥AC， 即： AC、BD所成角是直角。 G 正四面体对棱互相垂直

28. A F B D O E C 例1.已知：正四面体ABCD中，E、F分别为BC 、DA的中点， • （2）求：AE与CF所成的角。 • 解：连接DE，取DE的中点O，连接FO、CO， • ∵ F是DA的中点，∴FO//AE， • ∴∠CFO是AE与CF所成的角， • 设正四面体的棱长为2，则：AE=CF=DE= • RtΔOEC中，EC=1,OE= , ∴OC= • ΔOFC中,CF= ,FO= ,CO= • ∴ AE与CF所成的角是

29. E A F B D C 例2。正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上， 并且 （λ>0），若α为异面直线EF与AC所成 的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β（ 　） (A) (B) (C) (D) 与λ有关的变量 G

30. E A F B D C • 例2。正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上， • 并且 （λ>0），若α为异面直线EF与AC所成 • 的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β（ 　） • (A) (B) (C) (D) 与λ有关的变量 • 解：过E作EG//AC于G，连接GF • ∵EG//AC， ，且∠FEG为 • EF与AC所成的角，即：∠FEG=α • ∴GF//BD，∴∠EFG为EF与BD所成的角，即：∠EFG=β， G

31. E A F B D C 例2。正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上， 并且 （λ>0），若α为异面直线EF与AC所成 的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β（ 　） (A) (B) (C) (D) 与λ有关的变量 • 解：∵EG//AC，GF//BD， • ∴∠EGF为AC与BD所成的角， • ∵A-BCD为正三棱锥， • ∴∠EGF=900， • ∴α+β=900。 G

32. D M C’ C B’ A N B 例3．已知：等腰梯形ABCD，AB=20，CD=12，高为 ， M、N分别为CD、AB中点，沿MN把图形折成1200的二面角， （1）求：AC的长；

33. D M C’ C B’ A N B • 例3．已知：等腰梯形ABCD，AB=20，CD=12，高为 ， • M、N分别为CD、AB中点，沿MN把图形折成1200的二面角， • （1）求：AC的长； • 解：∵等腰梯形ABCD， M、N分别为CD、AB中点， • ∴MN为等腰梯形ABCD的高，MN= • 即：MN⊥AN，MN⊥NB， MN⊥MC，MN⊥MD • ∴ MN⊥平面ANB, MN⊥平面DMC, • 折成二面角后的垂直关系没有改变， • ∴∠DMC、∠ANB均为二面角的 • 平面角， • 即：∠DMC=∠ANB=1200，

34. D M C’ C B’ A N B 例3．已知：等腰梯形ABCD，AB=20，CD=12，高为 ， M、N分别为CD、AB中点，沿MN把图形折成1200的二面角， （1）求：AC的长； 解：过C作CE//MN交NB于E，连AE ΔANE中，AN=10，NE=MC=6，∠ANB=1200 则：AE=14 ∵MN⊥平面ANB， ∴ CE⊥平面ANB ∴RtΔAEC中， AC2=AE2+CE2=256, ∴AC=16。

35. D M C’ E C B’ A N B • 例3．已知：等腰梯形ABCD，AB=20，CD=12，高为 ， • M、N分别为CD、AB中点，沿MN把图形折成1200的二面角 • (2)求：AC与面ANB所成的角； • 解：∵CE⊥平面ANB， • ∴ ∠CAE是AC与面ANB所成的角 • RtΔAEC中， • ∴ AC与面ANB所成角的大小为 ∴

36. F D M C’ C B’ A N B 例3．已知：等腰梯形ABCD，AB=20，CD=12，高为 ， M、N分别为CD、AB中点，沿MN把图形折成1200的二面角， • (3)求：AC与面ADMN所成的角。 • 解：∵MN⊥平面DMC,∴ 平面ADMN⊥平面DMC， • 过C作CF⊥MC’于F，连接AF，则CF⊥平面ADMN， • ∠CAF为AC与面ADMN所成的角， • RtΔCAF中，AC=16，FC= • ∴ AC与面ADMN所成角的 • 大小为

37. D C 1 1 B A 1 1 D C F G A E B 例4．已知：长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= 4， AD =3，AA1= 2。E是线段AB上的点，且EB=1。 求：二面角C—DE—C1的正切值；

38. D C 1 1 B A 1 1 D C F G A E B • 例4．已知：长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= 4， • AD =3，AA1= 2。E是线段AB上的点，且EB=1。 • 求：二面角C—DE—C1的正切值； • 解：过C作CG⊥DE于G，连C1G，则∠C1GC即为二面角 • C—DE—C1的平面角, • ∵ AB= 4， AD =3，AA1= 2。 • EB=1 • ∴CE= ，CD=4，DE= • ∴ΔCDE的高CG= , • （利用等面积：CD×AD=DE×CG） • ∴ tan∠C1GC= 。

39. A1 A D C1 C B B1 例5.已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点， （1）求证：AB1//面BDC1； O

40. A1 A D C1 C B B1 • 例5.已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点， • （1）求证：AB1//面BDC1； • 证明：（1）连接B1C交BC1于O，连接OG， • ∵正三棱柱ABC—A1B1C1的 • 侧面B1BCC1是矩形， • ∴O为BC1与B1C的中点， • ∵D为AC的中点， • ∴OD//AB1， • ∵OD在面BDC1上， • ∴ AB1//面BDC1。 O

41. A1 A D C1 C O B B1 例5.已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点， • （2）若AB1⊥BC1，求：二面角D-BC1-C的大小。 • 解：过D作DG⊥BC于G，连接OG， • ∵正棱柱的底面与侧面垂直，∴ DG⊥平面BCC1B1， • ∴ AB1⊥BC1， OD//AB1，∴ OD⊥BC1 • ∴ OG⊥BC1，∴∠DOG为二面角D-BC1-C的平面角， • 且ΔBDC1是等腰三角形，设AB=1，则 G

42. A1 A D C1 C O B B1 例5.已知：正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点， （2）若AB1⊥BC1，求：二面角D-BC1-C的大小。 • ∵DG是正三角形ABC高的一半， G