混 沌

1. 混　沌 關我什麼事？？？ 曾 玠 郡 中央研究院物理研究所 September. 01, 2007

2. 混沌(Chaos)的詞意 列子－＜天瑞篇＞ 「有太易，有太初，有太始，有太素。太易者，未見氣也；太初者，氣之始也；太始者，形之始也；太素者，質之始也。氣形質具而未相離，故曰渾淪。渾淪者，言萬物相渾淪而未相離也。」 • 韋氏大字典（Merriam Webster’s Collegiate Dictionary） • 宇宙有序地存在之前的那種狀態，無形的物質與無窮的空間都處於無序之中。 • 極端的混亂與無序。 • 深淵或無底洞。

3. 混沌的概略定義 混沌是在決定性系統下，一種無週期性的長時間行為，其對初始條件的變化相當地敏感．．． Chaosisaperiodic long-term behavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence on initial conditions. - “Nonlinear Dynamics and chaos”,Strogatz, S. H., Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1994.

4. 近代混沌研究的發軔 1963年,氣象學家 Edward Lorentz於《大氣科學雜誌》發表了一篇”確定性非週期流（Deterministic non-periodic flow）”的論文．．． 因為小數點後的幾位誤差， 讓原本的風和日麗 因為小數點後的幾位誤差， 讓原本的風和日麗，霎時變成狂風暴雨

5. 原本天真的以為 這世上 只要幾條簡單的動力學方程式 再配上電腦的超強運算力 人類 便可模擬出自然界的所有現象 ．．．

6. 混沌無處不在 在氣候中； 在海洋湍流中； 在野生動物族群數漲落中； 在脈博和大腦的振動中； 在股票期貨市場的漲跌中； 在人類意識的流動過程中。 ． ． ．

7. 勞倫茲水車

8. 奇異吸子（Strange Attractor） 出現在勞倫茲模型下的奇異吸子

9. 蝴蝶效應（Butterfly effect） “一隻在北京舞動著翅膀的蝴蝶，竟能在堪薩斯掀起一陣颶風？” 混沌系統對”初始條件”非常敏感

10. B B’ 結果卻會差很多！！！ 但這都還只是線性的結果 剛開始只差了一個小角度．．． A

11. 譬如 f(x) = c x 非線性函數就是不具有上述性質的函數 f(x) = a x(x+1) , f(x) = a sin(k x) 譬如 線性 V.S.非線性 線性函數的性質: f(x)　　→　　f(a x + b y) = a f(x) + b f(y)

12. 邏輯映射（Logistic Map） xn+1 = r xn(1 - xn) 原是生態學中用來描述某物種總數（如人口）在同一個區域內，每年的變化情形。 Whenr = 1.0 , x0 = 0.1　→　x1 = →　x2 =→　… 0.09 0.0819

13. 2 F.P. 4 F.P. ● ● ● x ● ● ● n

14. xF.P. rc chaos r 費根堡常數（Feigenbaum constant） 分歧與週期倍增（Bifurcation & Period Doubling）

15. 對初始值的敏感性 x x n n x60 = 0.3629 ~ x60 = 0.8471 Periodic x0 = 0.4000 ~ x0 = 0.4001 r=3.5 x0 = 0.4000 Chaotic ~ x0 = 0.4001 r=3.9

16. 勞倫茲模型（Lorenz Model） 在二維空間中描述大氣在受熱時氣體對流的方程式

18. _ + X _ + Y 蔡氏電路 (Chua’s Circuit)

19. Y X

20. 蔡氏電路 (Chua’s Circuit)

21. 變數變換 Lorenz Model 比較

22. 示波器上的週期倍增（Period Doubling）

23. 但在混沌之中，似乎，又能看到些普適性 結語 這世界終究還是一團混沌

24. Vy Vx 1K+1K (可變) 220 LF411 C2=81.3 nF C1=5.3 nF 混沌電路圖 L=10 mH 220 1.3K 47K 47K 電阻值單位(Ohm) C1 = 5.3 nF = 3.3+1.5+0.5 nF C2 = 81.3 nF = 68+10+3.3 nF

25. 運算放大器LF411 腳位說明圖