智能技术

1. 智能技术 普通高校本科计算机专业特色教材精选 曹承志 编著

2. 总 目 录 第1章 概论 第2章 知识表示技术 第3章 知识推理技术 第4章 模糊逻辑技术 第5章 神经网络技术 第6章 遗传算法

3. 总 目 录 第7章专家系统 第8章 机器学习

4. 4.1 模糊逻辑的数学基础 4.1.1 模糊集合 4.1.2 模糊集合的表示方法 4.1.3 模糊集合的运算 4.1.4 隶属函数确定方法 4.1.5 模糊关系

5. 4.1.1 模糊集合 在人类的思维中，有许多模糊的概念，如大、小、冷、热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述；有的概念具有清晰的内涵和外延，如男人和女人。我们把前者叫做模糊集合，用大写字母下添加波浪线表示，如A表示模糊集合，而后者叫做普通集合(或经典集合)。 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素的总合叫做模糊集合。 例如，胖子就是一个模糊集合，它是指不同程度发胖的那群人，它没有明确的界线，也就是说你无法绝对地指出哪些人属于这个集合，而哪些人不属于这个集合，类似这样的概念，在人们的日常生活中随处可见。

6. 隶属函数 在普通集合中，曾用特征函数来描述集合，而对于模糊性的事物，用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊性事物的归属，可以把特征函数取值0、1的情况，改为对闭区间[0，1]的取值。这样，特征函数就可取0～1之间的无穷多个值，即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数——隶属函数，它是模糊数学中最基本和最重要的概念，其定义为： 用于描述模糊集合，并在[0，1]闭区间连续取值的特征函数叫隶属函数，隶属函数用μA(x)表示，其中A表示模糊集合，而x是A的元素，隶属函数满足： 0≤μA(x)≤1

7. 表示青年的集合 有了隶属函数以后，人们就可以把元素对模糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是一个集合，用普通集合表示时为集合A，并且有 A＝{x|15岁≤x≤25岁} 则这时的特征函数如图4–1(a)所示。如果用模糊集合A表示，并且有 μA(x)＝e 则这时的隶属函数如图4–1(b)所示。

9. 从图4–1中可以看出，隶属函数较为正确地表示了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心，其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就越小。 从图4–1中可以看出，隶属函数较为正确地表示了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心，其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就越小。 这样，一个模糊的概念，只要指定论域U中各个元素对它的符合程度，这个模糊概念也就得到一种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作元素对集合的隶属程度，那么指定各个元素的隶属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可由隶属函数所刻划。

10. 4.1.2 模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界，只能有一种描述方法，就是用隶属函数描述。Zadeh于1965年曾给出下列定义：设给定论域U，μA为U到[0，1]闭区间的任一映射， μA：U [0，1] xμA(x) 都可确定U的一个模糊集合A，μA称为模糊集合A的隶属函数。x∈U，μA(x)称为元素x对A的隶属函数，即x隶属于A的程度。 当μA(x)值域取值[0, 1]闭区间两个端点时，即取值 {0, 1}时，μA(x)即为特征函数，A便转化为一个普通集合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广，而普通集合则是模糊集合的特殊情况。

11. 1.有限论域 若论域U，且论域U＝{x1，x2，…，xn}，则U上的模糊集合A可表示为： A＝ ＝ 其中：μA(xi)（i＝1，2，…，n）为隶属度，xi为论域中的元素。当隶属度为0时，该项可以略去不写。例如： A＝1/a＋ 0.9/b＋ 0.4/c＋ 0.2/d＋ 0/e 或A＝1/a＋ 0.9/b＋ 0.4/c＋ 0.2/d 注意，与普通集合一样，上式不是分式求和，仅是一种表示法的符号，其分母表示论域U中的元素，分子表示相应元素的隶属度，隶属度为0的那一项可以省略。

12. 2．无限论域 在论域是无限的情况下，上面的记法就不行了，为此需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间，这时U的模糊集合A可以用实函数来表示。不论论域是否有限，都可以表示为： A＝ 其中：积分号不是高等数学中的积分意义，也不是求和号，而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式。 当然，给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集。

13. 4.1.3 模糊集合的运算 由于模糊集和它的隶属函数一一对应，所以模糊集的运算也通过隶属函数的运算来刻划。 ⑴空集。模糊集合的空集是指对所有元素x，它的隶属函数为0，记作，即 A＝ μA(x)＝0 ⑵等集。两个模糊集A、B，若对所有元素x，它们的隶属函数均相等，则A、B也相等，即 A＝BμA(x)＝μB(x)

14. ⑶子集。在模糊集A、B中，所谓A是B的子集或A包含于B中，是指对所有的元素x，有μA(x) ≤μB(x)，记作AB，即 ABμA(x) ≤μB(x) ⑷并集。模糊集A和B的并集C，其隶属函数可表示为μC(x)＝max [μA(x), μB(x)]，x∈U，即 C＝A∪BμC(x)＝max [μA(x), μB(x)]＝μA(x)∨μB(x) ⑸交集。模糊集A和B的交集C，其隶属函数可表示为μC(x)＝min [μA(x), μB(x)]，x∈U，即 C＝A∩BμC(x)＝min [μA(x), μB(x)]＝μA(x) ∧μB(x) (6) 补集。模糊集A的补集B，其隶属函数可表示为μB(x)＝1－μA(x)，x∈U，即 ＝B＝μB(x)＝1－μA(x)

15. 模糊集运算的基本性质 ⑺模糊集运算的基本性质。与普通集合一样，模糊集满足幂等律、交换律、吸收律、分配律、结合律、摩根定理等，但是，互补律不成立，即 A∪ ≠Ω，A∩ ≠ 式中：Ω——整数集 ——空集 例如，设μA(x)＝0.2，（x）＝0.8，则 (x)＝0.8≠1 (x)＝0.2≠0

16. 4.1.4 隶属函数确定方法 隶属函数的确定，应该是反映出客观模糊现象的具体特点，要符合客观规律，而不是主观臆想的。但是，一方面由于模糊现象本身存在着差异，而另一方面，由于每个人在专家知识、实践经验、判断能力等方面各有所长，即使对于同一模糊概念的认识和理解，也会具有差别性，因此，隶属函数的确定又是带有一定的主观性，仅多少而异。正因为概念上的模糊性，对于同一个模糊概念，不同的人会使用不同的确定隶属函数的方法，建立不完全相同的隶属函数，但所得到的处理模糊信息问题的本质结果应该是相同的，以下介绍几种常用的确定隶属函数的方法。

17. 1.模糊统计法 模糊统计是对模糊性事物的可能性程度进行统计，统计的结果称为隶属度。 对于模糊统计试验，在论域U中给出一个元素x，再考虑n个有模糊集合A属性的普通集合A*，以及元素x对A*的归属次数。x对A*的归属次数和n的比值就是统计出的元素x对A的隶属函数： μA(x)＝ 当n足够大时，隶属函数μA(x)是一个稳定值。 采用模糊统计进行大量试验，就能得出各个元素xi（i＝1，2，…，n）的隶属度，以隶属度和元素组成一个单点，就可以把模糊集合A表示出来。

18. 相对比较法是设论域U中元素x1，x2，…，xn，要对这些元素按某种特征进行排序，首先要在二元对比中建立比较等级，而后再用一定方法进行总体排序，以获得各种元素对于该特性的隶属函数，具体步骤如下。 2.相对比较法

19. 设给定论域U中一对元素（x1，x2），其具有某特征的等级分别为 (x1)和 (x2)，意思就是：在x1和x2的二元对比中，如果x1具有某特征的程度用 (x1)来表示，则x2具有该特征的程度表示为 (x2)。并且该二元比较级的数对 （ (x1)， (x2)）必须满足： 0≤ (x1) ≤10≤ (x2) ≤1 令 g(x1/x2)= (4-1) 即有 g(x1/x2)＝ (4-2)

20. 其中：x1，x2 U，若由g(x1/x2)为元素构成矩阵，并设g(xi/xj)，当i＝j时，取值为1，则得到矩阵G，被称为“相及矩阵”表示式为： G＝ 对于n个元素x1，x2，…，xn，同理可得相及矩阵G表示式为： G＝ （4-3）

21. 若对相及矩阵G每行各元素取最小值，如第i行取值为： gi＝min[g(xi/x1),g(xi/x2),…,g(xi/xi1) ,1,g(xi/xi+1),…,g(xi/xn)] 然后按其值gi（i＝1，2，…，n）大小排序，即可得到各元素x1，x2，…，xn对某特征的隶属函数。

22. 3.专家经验法 专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属函数的一种方法。如果专家经验越成熟，实践时间和次数越多，则按此专家经验确定的隶属函数将取得更好的效果。

23. 例如，对于某大型设备需停产检修的“状态诊断”，设论域U中模糊集合A，包含该设备需停产检修的全部事故隐患因子xi（i＝1，2，…，10）。若10个事故隐患因子xi分别代表“设备温度升高”、“有噪声发生”、“运行速度降低”、“机械传动有振动”等，并把每个因子xi作为一个清晰集合Ai，其特征函数为：例如，对于某大型设备需停产检修的“状态诊断”，设论域U中模糊集合A，包含该设备需停产检修的全部事故隐患因子xi（i＝1，2，…，10）。若10个事故隐患因子xi分别代表“设备温度升高”、“有噪声发生”、“运行速度降低”、“机械传动有振动”等，并把每个因子xi作为一个清晰集合Ai，其特征函数为： (xi)

24. 则根据专家经验，对每一个事故隐患赋予一个加权系数ki，确定“该大型设备需停产检修”模糊集合A的隶属函数μA(x)为：则根据专家经验，对每一个事故隐患赋予一个加权系数ki，确定“该大型设备需停产检修”模糊集合A的隶属函数μA(x)为： μA(x)＝ 若某因子几个xi使A隶属度μA(x)≥υ（υ为给定水平）,则诊断为该大型设备必须立即停产检修，否则可继续生产，继续诊断。

25. 4.1.5 模糊关系 1．关系 客观世界的各事物之间普遍存在着联系，描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用符号R表示。 ⑴关系的概念。若R为由集合X到集合Y的普通关系，则对任意xX，yY都只能有以下两种情况： x与y有某种关系，即xRy； x与y无某种关系，即xy。 ⑵直积集。由X到Y的关系R，也可用序偶（x，y）来表示，所有有关系R的序偶可以构成一个R集。

26. 在集合X与集合Y中各取出一元素排成序对，所有这样序对的全体所组成的集合叫做X和Y的直积集（也称笛卡尔乘积集），记为：在集合X与集合Y中各取出一元素排成序对，所有这样序对的全体所组成的集合叫做X和Y的直积集（也称笛卡尔乘积集），记为： 显然R集是X和Y的直积集的一个子集，即 例如，有集合A和B分别是： A={1,3,5}, B={2,4,6} 它们的直积集A×B中，每个元素分别含A的元素和B的元素，并且A的元素排在前，B的元素排在后，即 A×B＝{(1,2),(1,4),(1,6) (3,2),(3,4),(3,6) (5,2),(5,4),(5,6)} 若只考虑选取A元素大于B元素的序偶所组成的集合R，则 R＝{(3,2),(5,2),(5,4)} 显然 R A×B

27. ⑶自返性、对称性和传递性等关系。 ①自返性关系。一个关系R，若对x∈X，都有xRx，即集合的每一元素x都与自身有这一关系，则称R为具有自返性的关系。例如，同族关系便具有自返性，但父子关系不具有自返性。 ②对称性关系。一个X中的关系R，若对x，y∈X，有xRy，必有yRx，即满足这一关系的两个元素的地位可以对调，则称R具有对称性关系。例如，兄弟关系和朋友关系具有对称性，但父子关系不具有对称性。 ③传递性关系。一个X中的关系R，若对x，y，z∈X，有xRy，yRz，必有xRz，则称R具有传递性关系。例如，兄弟关系和同族关系具有传递性，但父子关系不具有传递性。 具有自返性和对称性的关系称为相容关系，具有传递性的相容关系称为等价关系。

28. 两组事物之间的关系不宜用“有”或“无”作为肯定或否定回答时，可以用模糊关系来描述。两组事物之间的关系不宜用“有”或“无”作为肯定或否定回答时，可以用模糊关系来描述。 设X×Y为集合X与Y的直积集，R是X×Y的一个模糊子集，它的隶属函数为μR(x，y)刻划，函数值μR(x，y)代表序偶（x，y）具有关系R的程度。 例如，设X＝Y＝{1,5,7,9,20},R是X上的模糊关系“大得多”，直积空间X×Y中有25个序偶，序偶（20，1）中第一个元素比第二个元素确实大得多，可认为它从属于大得多的程度为1，而序偶（9，5），从属于大得多的程度为0.3。类似的讨论可得到其它x和y具有关系“x比y大得多”的程度，如表4–2所示。 2. 模糊关系

30. 相应的模糊矩阵为 : R＝

31. ①自返性。一个模糊关系R，若x∈X，有μR(x,x)＝1，即每一个元素x与自身隶属于模糊关系R的程度为1，则称R为具有自返性的模糊关系。例如，相像关系就具有自返性，仇敌关系不具有自返性。①自返性。一个模糊关系R，若x∈X，有μR(x,x)＝1，即每一个元素x与自身隶属于模糊关系R的程度为1，则称R为具有自返性的模糊关系。例如，相像关系就具有自返性，仇敌关系不具有自返性。 ②对称性。一个模糊关系R，若x，y∈X，均有μR(x，y)＝μR(y，x)，即x与y隶属于模糊关系R的程度和y与x隶属于模糊关系R的程度相同，则称R为具有对称性的模糊关系。例如，相像关系就具有对称性，而相爱关系就不具有对称性。 ③传递性。一个模糊关系R，若x，y，z∈X，均有μR(x，z) ≥min[μR(x，y),μR(y，z)]，即x与y隶属于模糊关系R的程度和y与z隶属于模糊关系R的程度中较小的一个值都小于x与z隶属于模糊关系R的程度，则称R为具有传递性的模糊关系。 模糊关系的自返性、对称性、传递性。

32. 3. 模糊矩阵 当X＝{xi|i=1,2, …,m}, Y={yj|j=1,2, …,n}是有限集合时，则X×Y的模糊关系R可用下列m×n阶矩阵来表示： R＝（4-4） 其中：元素rij＝μR(xi，yj)。该矩阵被称为模糊矩阵，简记为： R＝[rij]m×n

33. 为讨论模糊矩阵运算方便，设矩阵为m×n阶方阵，即R＝[rij]m×n，Q＝[qij]m×n，此时模糊矩阵的交、并、补运算为：为讨论模糊矩阵运算方便，设矩阵为m×n阶方阵，即R＝[rij]m×n，Q＝[qij]m×n，此时模糊矩阵的交、并、补运算为： ⑴模糊矩阵交 R∩Q＝[rij∧qij]m×n （4-5） ⑵模糊矩阵并 R∪Q＝[rij∨qij]m×n（4-6） ⑶模糊矩阵补 Rc＝[1－rij] m×n（4-7）

34. 模糊矩阵的合成运算 设合成算子“。”，它用来代表两个模糊矩阵的相乘，与线性代数中的矩阵乘极为相似，只是将普通矩阵运算中对应元素间相乘用取小运算“∧”来代替，而元素间相加用取大“∨”来代替。具体定义如下： 设两个模糊矩阵P＝[pij]m×n，Q＝[qij]n×l合成运算P。Q的结果也是一个模糊矩阵R，则R＝[rik]m×l。模糊矩阵R的第i行第k列元素rik等于P矩阵的第i行元素与Q矩阵的第k列对应元素两两取小，而后再在所得到的j个元素中再取大，即

35. 例如 设： P＝ ， Q＝ R＝PQ＝ 式中：

36. 当P＝ ，Q＝ 时，有 PQ＝ QP＝ 可见，一般PQ≠QP 。特殊情况下当PQ ＝QP ，称P与Q可换。

37. 4. 模糊变换 设A＝ 是一个m维模糊向量，而 R＝ 是一个m×n维模糊矩阵表示的模糊关系，则称 AR＝B 为一个模糊变换，它可以确定一个唯一的n维模糊向量B＝

38. 讨论 若在上面求取 的过程中， ① A是输入量论域V上的模糊向量； ② B是输出控制量论域W上的模糊向量； ③R是输入和输出论域V和W之间的关系。 则上述B＝AR就是从输入到输出的模糊变换过程，也就是从输入量A通过输入输出关系R求取输出量B的过程，所得的结果B就是输出控制模糊量。可见，以模糊矩阵合运算所执行的模糊变换在控制上意义重大。

39. 4.2 模糊逻辑的推理 4.2.1 模糊命题 4.2.2 模糊逻辑 4.2.3 模糊语言 4.2.4 模糊推理

40. 4.2.1 模糊命题 在二值逻辑中，一个命题不是真命题就是假命题，但在实际问题中，要作出这样的判断是比较困难的。如“他很年轻”，这句话的涵义是明确的，是一个命题，但很难判断其真假，这就是模糊命题。 模糊命题是清晰命题概念的推广，清晰命题的真假相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值在[0, 1]闭区间中取值，相当于隶属函数值。 模糊命题的一般形式是： A：e is F （或e是F） 其中：e是模糊变量，F是某一模糊概念所对应的模糊集合。

41. 4.2.2 模糊逻辑 模糊命题的真值在[0, 1]闭区间上连续取值，因此称研究模糊命题的逻辑为连续性逻辑，由于主要用它来研究模糊集的隶属函数，也称为模糊逻辑。设x为模糊命题A的真值，y为模糊命题B的真值，在连续逻辑中，逻辑运算规则如下； ·逻辑命题并：x∨y＝max（x，y） ·逻辑交：x∧y＝min（x，y） ·逻辑非： ·限界差： y＝0∨（x－y） ·限界和： ∧（x＋y） ·限界积： 0∨（x＋y－1） ·蕴涵： 1∧（1－x＋y） ·等价： （1－x＋y）∧（1－y＋x）

42. 4.2.3 模糊语言1. 语言变量 人类在日常生活及生产过程的交往是通过自然语言进行的。尽管有些语言具有模糊性，但并不妨碍人们的信息交流。事实上，正是这些模糊性使自然语言所包含的信息量更大，使用起来更灵活而不机械，应该说这是自然语言的重要特点。 目前一般微机均是按二值逻辑设计的，不具有模糊性，它无法理解人类语言的灵活性。要使微机能判断与处理带有模糊性的信息，提高微机“智能度”，首先要构成一种语言系统，既能充分体现模糊性，又能被微机所接受。由于模糊集的应用为系统地处理不清晰、不精确概念的方法提供了基础，这样就可以应用模糊集来表示语言变量。 Zadeh L A在1975年提出了语言变量的概念，语言变量实际上是一种模糊变量，它用词句而不是用数学表达式来表示变量的“值”，通过引入语言变量，就构成模糊语言逻辑。

43. 语言变量是由一个五元体来表征的变量，各元的意义如下：语言变量是由一个五元体来表征的变量，各元的意义如下： ⑴N是变量名称， ⑵T（N）是N的语言真值的集合，每个语言真值都是论域U上的模糊集合。T（N）的元素可以分成原始项和合成项两类。原始项是表示语言真值的最小单位，合成项可以由原始项和语气算子、否定词、联接词等组成。 ⑶U是N的论域。 ⑷M是词义规则，词义用M(x)表示，M(x)∈U,词义规则M规定了U中元素x对T(N)的隶属度。 ⑸G是词法规则，它规定原子词，即原始项构成合成项之后的词义变化。合成项也称合成词。 语言变量的定义：

44. 例如，在组成合成词时，要用到否定词“非”和联接词“或”、“且”；则词法规则为：例如，在组成合成词时，要用到否定词“非”和联接词“或”、“且”；则词法规则为： μ非A＝1－μA μA或B＝μA∨μB μA且B＝μA∧μB 语言变量的五元体可以用图4–3的结构来表示。 图4-3

45. 2. 语言算子 语言算子是指语言系统中的一类前缀词，通常加在一个词构成单词的前面，用来调整一个词的词义。这些前缀词有“比较”、“大致”、“有点”、“偏向”等，根据经常使用的这些语言算子的不同功能，可分成如下几类： ⑴语气算子。语气算子是表示语气程度的模糊量词，它有集中化算子和散漫化算子两种，为了规范语气算子的意义作如下约定：用Hλ作为语气算子来定量描述模糊集。若模糊集为A，则把Hλ定义为： HλA＝Aλ 当λ>1, Hλ成为强化算子；当λ<1时，Hλ成为淡化算子。常用语气算子如表4–3所示。

46. 不难看出，集中化算子使隶属函数曲线趋于尖锐化，而且幂次越高越尖锐；相反，散漫化算子使隶属函数曲线趋于平坦化，幂次越高越平坦。不难看出，集中化算子使隶属函数曲线趋于尖锐化，而且幂次越高越尖锐；相反，散漫化算子使隶属函数曲线趋于平坦化，幂次越高越平坦。

47. ⑵模糊化算子。 把一个明确的单词转化为模糊量词的算子称为模糊化算子。诸如“大概”、“大约”、“近似”等这样的修饰词都属于模糊化算子。设模糊算子为F，若它作用在数目“5”上，则F（5）就是一个峰值在5的模糊数5，它一般符合正态分布如图4–4所示。 图4-4 模糊化算子 (a) 确定的5 (b) 模糊的5

48. 模糊化算子具有十分重要的实用价值 在模糊控制中，采样的输入值总是精确量，要实现模糊控制，首先必须把采样的精确值进行模糊化，而模糊化实际上就是用模糊化算子来实现的，所以引入模糊化算子具有十分重要的实用价值。

49. ⑶判定化算子 把一个模糊词转化为明确量词的算子称为判定化算子。诸如“属于”、“接近于”、“倾向于”、“多半是”等均属于判定化算子。设有模糊矩阵。 R＝

50. 化模糊为肯定 为化模糊为肯定，类似于“四舍五入”处理，把隶属度等于0.5作为判定标准，即矩阵元素值“属于”0.5以上者为有效，此时的模糊矩阵变为普通矩阵。 R0.5= 因此，判定化算子将模糊量变成了精确量。