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Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用

Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用. 南 さつき、曽我部知広、杉原正 顯 、張紹良 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻 . 発表の流れ. 1. 研究の背景   大規模線型方程式の数値解法( Krylov 部分空間法) 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用   ・ Bi-CG 法系統への適用: TFQMR 法、 QMRCGSTAB 法   ・ Bi-CR 法系統への適用:各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題. 積型解法. 積型解法. 連立一次方程式の数値解法. Krylov 部分空間法. Bi-CG 法.

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Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用

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  1. Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用 南 さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻 

  2. 発表の流れ 1. 研究の背景   大規模線型方程式の数値解法(Krylov部分空間法) 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用   ・ Bi-CG法系統への適用:TFQMR法、QMRCGSTAB法   ・Bi-CR法系統への適用:各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題

  3. 積型解法 積型解法 連立一次方程式の数値解法 Krylov部分空間法 Bi-CG法 CG法 積型解法 Bi-CR法 CR法 積型解法 MINRES法 GMRES法

  4. 基底アルゴリズム (ランチョス原理、アーノルディ原理・・・) 残差条件 (Ritz-Galerkin条件、残差最小条件・・・) Krylov部分空間法 Krylov部分空間: 1.基底             を生成 2.近似解を構成

  5. 新たな解法 研究概要 残差条件 PGアプローチ + 各積型解法の条件 QMRアプローチ + QMRアプローチ 基底 CGS法 Bi-CGSTAB法 GPBi-CG法 TFQMR法 QMRCGSTAB法 双ランチョス原理 × 積型部分 CRS法 Bi-CRSTAB法 GPBi-CR法 A-双直交原理 × 積型部分

  6. Bi-CR部分:残差多項式 • 積型部分:加速多項式 Bi-CR法の積型解法 定義:

  7. Bi-CR部分: A –双直交原理 :A-双直交原理の中で計算される (n+1)×nの三重対角行列 • 積型部分:積型原理 :積型部分により計算される (n+1)×nの三重対角行列 Bi-CR法の積型解法 基底アルゴリズム 定義:

  8. Bi-CR部分:Petrov-Galerkinアプローチ • 積型部分:各解法の条件 Bi-CR法の積型解法 残差条件 定義:

  9. Bi-CR法の 積型解法の 基底 アルゴリズム QMR アプローチ Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 基底アルゴリズム 残差条件 Bi-CR部分 Bi-CR部分 A-双直交 原理 Petrov-Galerkin アプローチ 新しい解法 Bi-CR法の 積型解法 積型部分 積型部分 各積型解法 の条件 積型原理

  10. A-双直交原理 積型原理 基底アルゴリズム: :対角要素   、下対角要素に    を持つ(m+1)×m下三重対角行列 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 基底アルゴリズムの式

  11. 近似解 残差 擬似残差 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 QMRアプローチ 基底アルゴリズム: 残差条件:準最小残差アプローチ

  12. Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 各解法の定義 パラメータ     の選び方によって各解法が導かれる の選び方 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

  13. (Second QMR and update iterate) (First QMR and update iterate) QMRアプローチ Bi-CR法の積型解法

  14. (Second QMR and update iterate) 各解法の分類 (First QMR and update iterate)

  15. 各解法の分類 の計算 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

  16. 実験環境

  17. 実験結果 –Matrix Market

  18. Matrix Market SHERMAN5:油層シミュレーション

  19. Matrix Market SHERMAN5:油層シミュレーション

  20. まとめ • QMRアプローチをBi-CR法の積型解法に適用する一般的な方法を示した • 数値実験よりTFCRQMR法は  ・ 他の3解法に比べて高い精度 ・ CRS法よりも滑らかな収束性 ・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の  振る舞いを反映 を示した

  21. 今後の課題 • QMRCRSTAB法・QMRGPBi-CR法に  ついても数値実験を行い、性能評価

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