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  1. C

  2. operaciones par-binomio definición par-binomio Historia definición polar-trigon. operaciones polar-trigon. Ampliación Fractales, caos y cuaterniones

  3. Historia C

  4. C soluciona el defecto algebraico de R de que existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. Ej. x2 + 1 = 0. C N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

  5. Girolamo Cardano (1501-1576) Ars Magna (1545) Considerada como la fecha de nacimiento de los números complejos. Resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. “Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra dé 40.” x(10-x)=40 Solución “intrigante”.

  6. Forma general de la ecuación cúbica y solución: Funcionaba bien en algunos casos, como: Pero en otros ... : Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación. Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando como lo hacemos hoy con números complejos.

  7. 60 años después de Bombelli: “A pesar de que podemos pensar que la ecuación x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres raíces,únicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dos… son simplemente imaginarias.” René Descartes "La Géométrie" (1637) René Descartes (1596-1650)

  8. Gottfried vonLeibnitz (1.646 – 1.716) “Los números imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espíritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no ser” Otros términos que han sido usados para referirse a los números complejos incluyen : “Sofisticados” (Cardano) “Sin sentido” (Néper) “Inexplicables” (Girard) “Incomprensibles” (Huygens) “Imposibles” (Diversos autores)

  9. Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática. Leonhard Euler (1.707 – 1.783) “formulam littera i …” Leonhard Euler (1777) i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación. “Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.

  10. A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) “Números íntegros complexos” K. F. Gauss (1831) “¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica:x+iy → (x,y).

  11. “La visualización de los números reales mediante los puntos de una recta o de los números complejos mediante los puntos del plano no solamente penetró sin gran resistencia en el análisis, sino que se puede decir con razón que, en el caso de los números complejos, esta visualización (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposición de la comunidad matemática al dar carta de ciudadanía a los números complejos”. El rincón de la pizarra: ensayos de visualización en análisis matemático. Miguel de Guzmán (1936-2004)

  12. definición forma de par y binónica C

  13. Un número complejoz es un par ordenado de números reales ay b, escrito como: z = (a,b) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas). El conjunto de números complejos, se denota por C a se llama la parte real de z: Re(z):= a b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales: (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2

  14. (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por: (Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica). Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente como : z = a + bi (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño) Si a= 0, se dice que es un imaginario puro. Si b= 0, z se comporta como un número real.

  15. z = (a,b) z = a + bi C

  16. el plano complejo

  17. El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) z = (x,y) Eje imaginario Eje real

  18. Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

  19. C operaciones

  20. conjugado El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.

  21. conjugado Es sencillo demostrar que:

  22. opuesto El opuesto de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el opuesto es una reflexión respecto al punto (0,0)

  23. Sean: Parte imaginaria Parte real Suma y producto “En la facultad teníamos un profesor cojo al que llamábamos el complejo. Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiante de matemáticas Suma Producto

  24. Ejemplos: (1) De modo que podemos sustituir siempre: (2) Ejemplo:

  25. Potencias de i Por ejemplo:

  26. Resta (operación inversa a la suma) División (operación inversa al producto) El cociente de dos números complejos se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

  27. Suma y resta de números complejos en el plano complejo En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores

  28. Ejemplos: (1) Sean: z1=18 + 3iz2 = -7 + 2i (2) Hallar el inverso de i:

  29. Ejemplo: Sean z1=18 + 3iz2 = -7 + 2i Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7 Im(z1) = 3, Im(z2) = 2 z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i más ejercicios

  30. Propiedades algebraicas La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo. Ley de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecena C. Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) Ley distributiva: z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

  31. 0+z = z+0 = z(Neutro para la suma) z+(-z) = (-z)+z = 0(Opuesto para la suma) z ·1 = 1 · z = z(Identidad para el producto) z · z-1 = z-1 · z = 1(Inverso para el producto) (Para todo z distinto de 0) {C,+,·} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los números complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2

  32. Una falacia ...

  33. Falacia ¿1=-1?

  34. Forma polar C

  35. El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) z = (x,y) Módulo: Eje imaginario También llamado “valor absoluto” (el módulo de un real es su valor absoluto) Argumento: Eje real Para z = 0, el ángulo  no está definido. El 0 no tiene forma polar Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …

  36. Forma polar Forma trigonométrica

  37. Ejemplo: Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica: módulo: argumento: solución

  38. Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar módulo y argumento Módulo: La calculadora no distingue Argumento: El argumento está multivaluado.

  39. operaciones polar-trigon. C

  40. Multiplicación

  41. Producto de números complejos en el plano complejo

  42. Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados

  43. Potencias

  44. Abraham de Moivre (1667 - 1754) Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:

  45. El teorema de Moivre es una máquina de generar identidades trigonométricas. Por ejemplo: Igualando las partes reales e imaginarias:

  46. Potencias iguales Distintos números complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia … Esto nos lleva al cálculo de raíces

  47. Potencias repetidas …Raíces Un número complejo tiene tantas raíces como su índice Sus afijos son los vértices de un polígono regular

  48. Raíces Partimos de un número complejo z se llama la raíz enésima de z a cualquier número w que cumple: wn = z, y se escribe como Módulo de w Ángulo de w

  49. Raíces La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en el teorema de Moivre Sean w= R(cosα+ i sinα) z = r(cos + i sin) Por el teorema de Moivre: wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin) Igualando los módulos y los ángulos obtenemos

  50. Raíz cuarta … Primer ángulo Ángulo a añadir