线性表、堆栈和队列都是线性结构，它们的共同特点：一对一；计算机对弈中的一个格局可能有多个后继格局，用线性结构难以描述。

引入树 • 线性表、堆栈和队列都是线性结构，它们的共同特点：一对一； • 计算机对弈中的一个格局可能有多个后继格局，用线性结构难以描述。 • 树是一种非线性结构，以分支关系定义层次结构，适宜描述一对多的嵌套性数据。

第9章树

主要内容 • 树和二叉树的基本概念 • 二叉树和树的存储结构 • 二叉树的抽象类 • 二叉树的遍历和树的遍历 • 二叉排序树 • 赫夫曼树及其应用

9.1 树和二叉树的基本概念 • 树的定义、术语及基本操作 • 二叉树的定义及其性质

树的定义 • 树是n（n>=0）个结点的有限集合； • 如果n=0，称为空树； • 如果n>0，即在一棵非空树中： (1)有且仅有一个特定的结点称为根，它只有直接后继，但是没有直接前驱；

树的定义 （2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集合T1，T2，...，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称之为根的子树。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。 • 可见，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到树的概念，此即树的固有特性。

J B H I A C D G F E 例：右面的图是一棵树 T T ={ A，B，C，D，E，F，G，H，I，J } A是根，其余结点可以划分为3个互不相交的集合： T1={ B,E,F } T2={ C,G } T3={ D,H,I,J } 这些集合中的每一集合都本身又是一棵树，它们是根 A的子树。对于T1，B是根，其余结点可以划分为两个互不相交的集合： T11={ E } T12={ F } T11，T12是B的子树。

J B H I A C D G F E • 从逻辑结构看： 1）树中只有根结点没有前趋； 2）除根外，其余结点都有且仅一个前趋； 3）树的结点，可以有零个或多个后继； 4）除根外的其它结点，都存在唯一条从根到该结点的路径； 5）树是一种分支结构（除了一个称为根的结点外）每个元素都有且仅有一个直接前趋，有且仅有零个或多个直接后继。

C 文件夹1 文件夹n 文件1 文件2 文件夹21 文件夹22 文件21 文件22 • 树的应用常用的数据组织形式——计算机的文件系统。不论是DOS文件系统还是window文件系统，所有的文件都是用树的形式进行组织。

J B H I A C D G F E 树的术语 • 树的结点：包含一个数据元素的内容及若干指向子树的分支。 • 孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；如E是B的孩子。 • 双亲结点：B结点是A结点的孩子，则A结点是B结点的双亲；如B是E的双亲。 • 兄弟结点：同一双亲的孩子结点；如H、I、J互为兄弟。 • 堂兄结点：同一层上结点；如G与E、F、H、I、J互为堂兄。

J B H I A C D G F E 树的术语 • 祖先结点：某一结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点；如H的祖先为A、D。 • 子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点称为该结点的子孙；如A的子孙为B、C、D、E、F、G、H、I、J。 • 结点的度：结点子树的个数；如D的度为3。 • 叶子结点：也叫终端结点，是度为0的结点；如E、F、G、H、I、J。 • 分支结点：度不为0的结点；如A、B、C、D。

J B H I A C D G F E 树的术语 • 结点层次：根结点的层定义为0，根的孩子为第1层结点，依此类推。 • 树的高度（深度）：树中结点的最大层次；如图所示树的高度为2。 • 树的度：树中各结点的度的最大值；如图所示树的度为3。

B C D E F G H I J K L M 树的术语 root 森林： F A 是 m（m≥0）棵互不相交的树的集合。任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）其中：root 称为根结点，F 称为子树森林。有序树：子树之间存在明确的次序关系的树。无序树：不考虑子树的顺序。

树的基本操作 • 初始化：即置T为空树； • 求根结点：即求树T的根结点或是求结点x所在树的根结点； • 求双亲结点：求树T中结点x的双亲结点； • 求孩子结点：求树T中结点x的第i个孩子结点。

树的基本操作 • 求右兄弟：即求树T中结点x的右兄弟结点； • 建立一棵树：即生成一棵以x为根，以森林F为子树的一棵树； • 插入子树：即将以结点x为根的子树T'作为树T中结点y的第i棵子树。

树的基本操作 • 删除子树：即将以结点x为根的第i棵子树T‘从树T中删除； • 遍历：即按某个顺序依次访问树中的各个结点，并使每个结点只被访问一次； • 清除：即将树T置为空树。

线性结构VS 树型结构 根结点 (无前驱) 第一个数据元素 (无前驱) 多个叶子结点 (无后继) 最后一个数据元素 (无后继) 其他数据元素 (一个前驱、多个后继) 其他数据元素 (一个前驱、一个后继)

二叉树的定义 • 二叉树是一种普遍使用的树形结构； • 二叉树(Binary Tree)或为空树，或是由一个根结点及2棵不相交的左子树和右子树构成，并且左、右子树本身也是二叉树； • 二叉树的子树有左右之分，属于有序树。

二叉树的例子 右子树根结点 A E B C F G D 左子树 H K 特点：1）每个结点的度≤2； 2）是有序树。

二叉树的五种基本形态： 只含根结点空树左右子树均不为空树 N 右子树为空树左子树为空树 N N N L R L R

二叉树的性质1 ： 若二叉树的层次从0开始，则第i层上至多有2i 个结点(i≥0)。用归纳法证明： 1) i = 0层时，只有一个根结点： 2i = 20 = 1； 2) 假设对所有的 j，1≤ j i，命题成立； 3) 二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第 i 层的结点数是i-1层的2倍，即2i-1 2 = 2i。

二叉树的性质2 ： 高度为k的二叉树上至多含 2k+1－1个结点（k≥-1）。证明：基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+      +2k = 2k+1-1。

二叉树的性质3 ：对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2 个度为2的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。证明：设，二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又，二叉树上进入结点的分支总数b： b = n1+2n2(度为1的结点产生一条分支，度为2的结点产生两条分支) b = n-1(一个根结点的二叉树无分支，增加一个结点产生一条分支) b= n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。

两种特殊的二叉树 • 满二叉树(Full Binary Tree)如果高度为k的二叉树，有2k+1-1个结点，则称为满二叉树；或者说在二叉树中每层的结点数达到最大。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

两种特殊的二叉树 • 完全二叉树(Complete Binary Tree)1、树中所含的n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应； 2、一棵二叉树，只有最下一层结点数未达到最大，且最下层结点都集中在该层的最左端。 a a b c c b d e f g d e j h i

完全二叉树的特点是： • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现； • 对任何一个结点，若其右子树的高度为h，则其左子树的高度只能是h或h+1。

二叉树的性质4 ：具有 n 个结点的完全二叉树的高度为： log2(n+1)－1。证明：设完全二叉树的高度为k ，结点数为n，则据第二条性质得2k-1< n ≤ 2k+1-1 2k <n +1≤2k+1 k <log2 (n+1) ≤ k+1 因为 k 只能是整数， k =log2(n+1)- 1 。

二叉树的性质5 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下、从左至右进行 0至 n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i的结点：(1) 若i=0，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为（i-1）/2的结点为其双亲结点。(2) 若 2i+1>n，则该结点无左孩子;若2i+1≤n，编号为2i+1的结点为其左孩子结点。(3) 若 2i+2>n，则该结点无右孩子；若2i+2≤n，编号为2i+2的结点为其右孩子结点。

性质5举例 • 若 i=0，该结点是二叉树的根，无双亲; 若 i≠0，编号为（i-1）/2 的结点为其双亲。 • 若2i+1>n，该结点无左孩子 (i=6,7); 若2i+1≤n，编号为2i+1 的结点为其左孩子(i=4,5)。 • 若 2i+2>n，该结点无右孩子(i= 5,6,7); 若2i+2≤n，编号为2i+2 的结点为其右孩子(i=2,3)。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

小结 • 树的定义 • 树的有关术语 • 树的基本操作 • 二叉树的定义 • 二叉树的性质

9.2 二叉树的存储结构 • 顺序存储结构：数组表示 • 链式存储结构：二叉链表三叉链表

0 F A E D C B 0 1 2 3 4 5 6 1 2 A B C D E F 3 4 5 二叉树的顺序存储对于完全二叉树，采用一组连续的内存单元，按编号顺序依次存储完全二叉树的结点。

0 1 2 3 4 5 6 B C D C B A A E D E G G F F 9 7 8 二叉树的顺序存储对于一棵一般的二叉树，如果补齐构成完全二叉树所缺少的那些结点，便可以对二叉树的结点进行编号。

0 1 2 3 4 5 6 C E D A B G F 9 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E 0F 0 0 G 二叉树的顺序存储将二叉树原有的结点按编号存储到内存单元“相应”的位置上。

顺序存储结构的缺点 一般的二叉树会比完全二叉树少很多结点，造成空间浪费，例如单支树就是一个极端情况。

二叉树的链式存储 1、二叉链表 2、三叉链表

lchild data rchild 1. 二叉链表 Parent A D Data B E C LChild RChild F 结点结构:

二叉链表图示 root A D B A E C   B D F    C E   F

lchild data rchild 二叉链表的结点结点结构: struct BintreeNode{ //结点结构 Type data; //结点的数据域 BintreeNode * Lchild; //左孩子指针 BintreeNode * Rchild; //右孩子指针 }; 在建立其抽象类时，整个二叉树链表需要一个表头指针，它指向二叉树的根结点。

parent lchilddata rchild 2．三叉链表结点结构: root  A   D B    C E   F

parent lchilddatarchild 三叉链表的结点结点结构: struct BintreeNode{ Type data; //结点的数据域 BintreeNode * Lchild; //左孩子指针 BintreeNode * Rchild; //右孩子指针 BintreeNode * Parent ; //双亲结点指针 };

小结 • 顺序存储结构：数组表示 • 链式存储结构：二叉链表三叉链表

9.3 树的存储结构与转换 • 树的存储结构 • 树、森林与二叉树的转换

树的存储结构 • 顺序存储结构：双亲表示法 • 孩子（双亲）表示法：（顺序+链式） • 孩子-兄弟表示法：链式

双亲表示法 • 假设以一组连续空间存储树的各结点，每个结点又设有两个域，结点类型如下： struct TreeNode{ Type data; //结点的数据域 TreeNode *Parent; //结点双亲指针 }; data域记录数据信息，Parent为指针，它指向其双亲结点。 data parent 结点结构:

树的双亲表示法 data parent A 数组下标 0A-1 1B0 2C0 3D0 4E1 5F2 6 G2 7 H 2 B D C E F G H 双亲结点在数组中的位置，-1表示无双亲特点：找双亲方便，找孩子难

树的链式存储 通过保存树中每个结点的孩子结点的位置，表示树中结点之间的结构关系。 • 多重链表 • 单链表

多重链表（类似于二叉链表） • 两种方式：定长结点和不定长结点定长结点：优点是结点结构一致，便于实现树的操作。缺点是浪费一些内存空间。不定长结点：优点是节省内存空间。缺点是不定长的结点会使一些操作实现变复杂。

单链表表示法 线性表 +单链表 • 将每个结点的孩子结点排列起来，构成一个单链表，称为孩子链表； • n个结点共有n个孩子链表（叶子结点的孩子链表为空表）； • n个结点的孩子链表头指针又组成一个顺序表。

孩子链表表示法 此时，单链表中各结点由两个域构成：struct TreeNode{ // 结点定义 Type data; TreeNode *next }; TreeNode *vertex[n]; //顺序表是一个指针数组，数组元素是指向孩子链表的头指针，n个结点n个指针。

线性表、堆栈和队列 都是线性结构，它们的共同特点：一对一； 计算机对弈 中的一个格局可能有多个后继格局，用线性结构难以描述。