一、弧微分

1. 第四模块　微积分学的应用 第七节　曲　率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率半径和曲率圆

2. 即该曲线的任一弧段 M0M是有方向的， M0M 为有向弧段. 一、弧微分 　　设函数 y = f (x) 在区间(a, b)内有连续导数，即 f  (x) 连续. 　　　　　　　我们在方程为 y = f (x) (a < x < b)的曲线上取定点 M0(x0, y0) 作为计算曲线弧长的起点， 并规定： 点 M(x, y) 是其上任意一点, (1) 以 x 增大的方向作为曲线的正方向, 简称曲线 y = f (x) 为有向曲线，

3. 　　　　　　　　　　　　　　　 　 当M0M 的方向与曲线的正向相反对，s 取负号. 　当 M0M 的方向与曲线的正向一致时，s 取正号； (2)记有向弧段M0M 的长度为s， 在曲线上相应地有一个点 M(x, y)， 对于任意一个 x  (a, b)， 那么 s 就有 一个确定的值与之对应， 因此弧长 s 为 x 的函数. s = s(x)， 且由规定(2)可知，它是一个单调递增的函数.

4. 函数 s = s(x) 的增量为 s = MM1， y M1 T M N M0 x x x +x O 当 x 增大到 x + dx 时， 而点 M 处的切线 MT 的纵坐标的增量为 dy， 可以证明 s 与 MT 之差是 x 的高阶无穷小量， s 所以函数 s = s(x) 的微分， 根据微分定义， dy 即弧微分

5. 则 若曲线方程为 ≤ ≤ dx =  (t) dt，dy = f (t)dt，

6. y B  s A   + x O 二、曲率及其计算公式 　　定义1弧AB 的切线转角a 与该弧长s之比的绝对值叫做该弧的平均曲率， 记为K，即

7. 定义2当点B 沿曲线L 趋向于A 时(上图(a))， 则称此极限为曲线L 在点A 处的曲率，记为K， 若弧AB 的平均曲率的极限存在， 即

8. B a O a R A 这时，弧 AB 上切线的转角等于半径 OA 与 OB 的夹角， 设圆的半径为 R， 又 s=R · a， 因此

9. 对曲线y = f (x) 的曲率计算问题. 由于 = arctan y， 由于y = tan ， 于是有

10. 若曲线由参数方程 ≤ ≤ 所以其曲率公式为

11. 例1　计算函数y = x3在点(0, 0)与(-1, -1)处的曲率. 解　因为 y= 3x2，y  = 6x， 所以曲线在任意点处曲率为 即得点 M(0, 0)处的曲率 K(0)= 0. 将x = 0 代入上式， 将x = -1 代入上式， 即得点 M(-1, -1)处的曲率为

12. (a > 0)在 t =  处的曲率. 例2　求曲线 解　因为 x = a(1 - cos t)， x = a sin t， y = a sin t， y = a cos t.

13. 所以得曲率 t =  代入上式， 即可得所求的曲率为

14. 三、曲率半径和曲率圆 　　设曲线 y = f (x) 在某点 M (x, y) 的曲率为 K 且不为0， 称为该曲线在M (x, y) 处的曲率半径， 记为 R， 即 沿其凹向一侧的法线上取线段MC， 若在曲线y = f (x) 上的点M 处， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则点C 称为该曲线在点M 处的曲率中心. 其长等于曲率半径R，

15. y y = f (x) C M O x 以曲率半径 R 为半径的圆， 以 C 为中心， 叫做该曲线在点 M 处的曲率圆(如图). 　　在研究曲线上某点附近的弧段的形态时，我们可以用曲线在该点的曲率圆上相应的弧段近似代替，以我们熟悉的圆的知识来分析曲线上这段弧的形态.

16. y y = 0.4x2 x O 例3　设工件表面的截线为抛物线 y = 0.4x2. 现拟用砂轮磨削其内表面， 试问，选用多大直径的砂轮比较合适？ 　　解为了保证工件的形状与砂轮接触处附近的部分不被磨削太多， 　　　　　　　　　　显然所选砂轮的半径应当小于或等于该抛物线上曲率半径的最小值. 为此，首先应计算其曲率半径的最小值，即曲率的最大值.

17. y y = 0.4x2 x O 因为 y= 0.8x ， y = 0.8， 所以曲率 因此，当 x = 0 时， 欲使曲率最大， 应使上式分母最小， 曲率最大， 且 K= 0.8. 于是曲率半径的最小值为 　即直径不超过 2.50 单位长的砂轮. 可见，应选半径不超过 1.25 单位长，