1 / 28

数 学 分 析

数 学 分 析. 第八章定积分的应用和近似计算. 教学目标：. 1 使学生深刻理解定积分的概念及其思想， 了解它在微积分学中的地位。 2 通过知识学习，使学生初步具有应用定积分的思想进行分析应用的能力。 3 掌握定积分的几何应用和物理应用。. y. o. a. x. b. 问题的提出. 回顾. 曲边梯形求面积的问题. 面积表示为定积分的步骤如下. （ 3 ） 求和，得 A 的近似值. 面积元素. y. o. a. x. b. （ 4 ） 求极限，得 A 的精确值. 提示. 元素法的一般步骤：. 这个方法通常叫做 元素法 ．.

emma-blackwell
Download Presentation

数 学 分 析

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 数 学 分 析 第八章定积分的应用和近似计算 教学目标： 1 使学生深刻理解定积分的概念及其思想， 了解它在微积分学中的地位。 2 通过知识学习，使学生初步具有应用定积分的思想进行分析应用的能力。 3 掌握定积分的几何应用和物理应用。

  2. y o a x b 问题的提出 回顾 曲边梯形求面积的问题

  3. 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值

  4. 面积元素 y o a x b （4） 求极限，得A的精确值 提示

  5. 元素法的一般步骤：

  6. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

  7. 轴所围成的曲边梯形的面积为： 定 积 分 的 几何应 用 § 1  平 面 图 形 的 面 积 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的：理解定积分的意义； 学会、掌握元素法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 一、直角坐标系下平面图形的面积 ： 与直线： 由定积分的几何意义，连续曲线

  8. y y 0 x o a b x o e a c d b

  9. 右下图所示图形面积为

  10. 在第一象限所围 例1.计算两条抛物线 所围图形的面积 . 解:由 得交点

  11. 与直线 所围图形 例2.计算抛物线 的面积 . 得交点 解:由 为简便计算, 选取y作积分变量, 则有

  12. y o x a b y b a o x x—区域 y—区域

  13. D B A C a o b x F G E 如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型 区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图： y 上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成4个x—型区域。

  14. B A 所给的区域不是一个规范的x-域, 如图需将其切成两块, 即可化成x-形区域的面积问题。 第一块的面积 ： ,第二块的面积 ： ,总面积：

  15. 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由参数方程表示

  16. 且： 在 上连续， ， 则 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 2）从 参数方程 定义域的分析确定

  17. 例3. 求椭圆 所围图形的面积 . 有 解:利用对称性 , 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b时得圆面积公式

  18. 例4. 求由摆线 的一拱与 x轴所围平面图形的面积 .

  19. 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 ,所以其面积为: 解:

  20. 三、极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为

  21. 对应 从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 到 2所围图形面积 . 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停

  22. 所围图形的 例6. 计算心形线 面积 . (利用对称性) 解:

  23. 与圆 例7.计算心形线 所围图形的面积 . 解:利用对称性 , 所求面积

  24. 所围图形面积 . 例8.求双纽线 则所求面积为 解:利用对称性 ,

  25. y x

  26. 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案:

More Related