第四章 杆件内力分析

1. 第四章 杆件内力分析 第一节 杆件内力与截面法 第二节 内力分量 第三节 内力方程与内力图 第四节 应力与应变的概念 第五节 应力状态分析 第六节 问题讨论与说明

2. 第一节 杆件内力与截面法 在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料。保障构件具有足够的强度、刚度及稳定性。 一、基本假设： （1） 均匀、连续假设： 构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间。 （2） 各向同性假设： 构件材料的力学性能没有方向性。 （3） 小变形假设： 主要研究弹性范围内的小变形。小变形假设可使问题得到如下的简化： a) 忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响； b) 构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。

3. 二、内力 ： 在外力作用下构件发生变形，构件内部相邻各质点间沿力作用方向的相对位置发生变化，同时构件各质点之间产生附加内力（简称内力），其作用是力图使各质点恢复其原始位置。 三、求内力的方法——截面法 ： 截面法是材料力学研究内力的一个基本方法，其步骤如下： （1）截开： 在需求内力的截面处，将构件假想截分为两部分； （2）代替： 任取一部分为研究对象，弃去另一部分，并以内力代替弃去部分对留下部分的作用； （3）平衡： 对留下部分建立平衡方程，求出该截面的内力。 四、杆件变形基本形式： 杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种： 拉伸 ( 或压缩 ) 、剪切、扭转和弯曲 。其他一些复杂的变形都可以由以上四种变形组合而成。 返回第四章目录

4. 第二节 内力分量 一、应用截面法求内力 2、取左右两部分任一部分（如图取左部分）；用内力代替右部分对左部分的作用 1、假想用一截面将构件截开； 4、将主矢、主矩沿过截面形心O点的坐标轴分解。 3、将分布力系向截面形心简化得主矢Q′、主矩M0；

5. 扭矩T：当扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。扭矩T：当扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。 轴力N：拉伸时轴力（背离截面）为正，压缩时轴里（指 向截面）为负。 剪力Q：若简练对分离体内任一点的矩为顺时针时，其剪力为正；反之，剪力为负。 弯矩M：使微段发生“上凹下凸”的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。 二、六个内力分量： 三、叠加原理 一个构件上同时作用着多个外力，这多个外力引起的内力等于每个外力引起的内力之和。 四、内力的正负规定

6. 例4-1如图所示钻床，在力 F 的作用下，确定 m-n截面的内力。 解： 1）应用截面发将构件截开，得轴力N、弯矩M; 2）由平衡方程可求得： 例4-2求如图所示的简支梁 m-n 截面上的内力，其上的载荷已知。 解： 1）求约束力 2）应用截面法求内力——剪力Q、弯矩M 返回第四章目录

7. 第三节 内力方程与内力图 一、内力方程 以杆件轴线为自变量坐标轴 —— x轴，各截面内力均为其位置坐标 x 轴的函数，这个内力与 x 间的函数关系式称为内力方程。 二、内力图 内力方程的图像表示，称为内力图。内力图可以直观地反映出内力与截面位置间的变化关系，从而确定出最大内力的数值及其所在的位置，即确定危险截面，为构件承载能力分析提供依据。 三、内力图分类 1）轴力图； 2）扭矩图； 3）剪力图、弯矩图。 下一节

8. 轴力与轴力图 一、轴力 轴力： 垂直与横截面且过横截面形心的内力，常用符号 N 来表示。 轴力 = 截面一侧所有外力的代数和 外力正负规定： 与截面外法线方向相反的外里为正（即相对截面拉伸的外里为正）；反之为负。 正的外力产生正的轴力。 二、轴力图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。

9. 例4-3 如图变截面圆钢管。已知 F1=10kN，F2=35kN，F3=20kN。求各段横截面上的轴力，画轴力图。 解： 应用截面法在1-1、2-2、3-3截面处将杆截开，取右边部分，各截面轴力分别为N1、N2、N3都按正向规定设为拉力。 返回第三节

10. 扭矩及其扭矩图 一、扭矩 扭矩： 矢量方向与横截面法线相重合（即作用面沿横截面）的内力偶矩，常用符号 T 来表示。 扭矩T（T′）=截面一侧（左或右）所有外力偶矩代数和 扭矩正负规定： 右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外法线方向一致为正，反之为负。 外力偶矩正负规定： 右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外法线方向相反为正，反之为负。 正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负的扭矩。 外力偶矩的计算 其中： P ——为转轴的功率单位为 kW n ——为转轴的转速单位为 r/min 二、扭矩图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上扭矩的数值，从而绘出表示扭矩与横截面位置关系的图线，称为扭矩图。

11. 例4-4 传动轴的转速 n=200r/min，功率由A轮输入，B、C 两轮输出。已知，PA=40kW，PB=25kW，PC=15kW。要求画扭矩图确定 Tmax值。 （1）计算外力偶矩 解： （2）画出轴的计算简图 （3）计算扭矩 轴AB段各截面的扭矩 轴BC段各截面的扭矩 （4）画扭矩图 由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大 返回第三节

12. 剪力、弯矩及其内力图 一、剪力、弯矩 剪力： 沿截面分布且过截面形心的内力，常用符号 Q 表示； 弯矩： 作用面垂直与截面的内力偶矩，常用符号 M 表示。 剪力Q（Q′）=截面一侧所有横向外力代数和 弯矩M（M′）=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和 二、剪力、弯矩的正负 剪力： 若剪力对分离体内任一点的矩为顺时针时，其剪力为正；反之，剪力为负。 弯矩： 使微段发生“上凹下凸”的弯曲变形的弯矩 M 为正，反之为负。

13. 外力、外力矩与剪力、弯矩正负关系（注外力的上下、外力矩的顺逆是相对截面而言）： 三、剪力方程与弯矩方程 表示沿梁轴线各截面上剪力和弯矩变化规律的函数，称为剪力方程与弯矩方程。 四、剪力图与弯矩图 用函数图像表示的剪力与弯矩随梁横截面变化的关系的图像，称为剪力图与弯矩图。

14. 例4-5 求如图所示梁的内力方程并画内力图。 解： 1）求约束力 2）分区间建立内力方程 3）作内力图 4）内力最大值为 返回第三节 返回第四章目录

15. 第四节 应力与应变的概念 一、应力 1、应力——是内力在截面上分布的集度 平均应力： aa截面 K 点应力： 将应力分解为： 一垂直截面的应力——正应力σ 一沿截面的应力——剪应力τ 说明：知道内力的大小，并不能判断构件受力的强弱程度。因为内力仅代表内力系的总和，而不能表明截面上各点受力的强弱程度。因此，需引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应力。 2、应力特征 1）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的。因此，讨论应力必须明确是在哪一截面上的哪一点。 2）在某一截面上一点处的应力是矢量。规定离开截面的正应力即拉应力为正，指向截面的正应力即压应力为负；对截面内部（靠近截面）的一点产生顺时针转向力矩的剪应力为正，反之为负。 3）应力单位为帕：1 Pa=1 N/m2 4）整个截面上各点处的应力与微面积 dA 之乘积的合成，即为该截面上的内力。

16. 二、变形与应变 绝对变形：即总的伸长量或缩短量。△与△d分别为轴向与横向变形 应变（相对变形）：单位长度内的变形量。ε与ε1分别为轴向与横向线应变 当应力未超过某一限度时，横向线应变与轴向线应变之间成正比例关系，即 μ称为泊松系数或泊松比。 三、剪应变 线段 bb′（或 cc′）为面bc相对ad面的滑移量，称为绝对剪切变形。而 称为相对剪切变形或剪应变。剪应变γ是直角的改变量，又称为角应变。 返回第四章目录

17. 第五节 应力状态分析 一、一点的应力状态 在受力构件内，通过其内部任意点的各个不同截面上在该点处的应力情况。也就是说“把通过受力构件内任意一点的各个不同截面上的应力情况的集合，称为一点的应力状态” 单元体——围绕所研究点截取一个正六面体，当各边边长充分小时，六面体便趋近于宏观上的点。这种六面体称为“微单元体”，简称“单元体”。 一点应力状态的表示（如右图） 单元体的性质 1、由于单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以认为单元体每个面上的应力是均匀分布的。 2、单元体内相对平行面的同类应力大小是相等的，方向相反，但是，正负相同。 二、剪应力互等定律 过一点的两个正交面上，如果有与相交棱边垂直的剪应力分量，则这两个面上的剪应力分量一定大小相等、方向则相对或相背离该棱边。 证明：上右图 单元体平衡，对 z 轴取矩有

18. 四、应力状态的分类 围绕受力构件内任意一点，可截出无限多个不同方位的单元体。但通过受力构件内任一点可以找到三对相互正交截面，使截面上只有正应力而没有剪应力。这样的截面称为主平面，由主平面构成的单元体称为主单元体。主平面上的正应力称为主应力。主单元体由三个相互垂直的主平面组成，其上主应力分别为σ1、σ2、σ3其关系为： 1、三向应力状态 三个主应力都不为零。如沉没于水中的物体内一点，三向受压。 2、二向应力状态或称平面应力状态 三个主应力只有两个不为零。 3、单向应力状态 三个主应力中只有一个不为零。 五、二向应力状态分析——解析法 最大正应力、最小正应力： 最大剪应力、最小剪应力： 返回第四章目录

19. 第六节 问题讨论与说明 一、轴力与轴力图的讨论。 以外载荷作用截面作为分界线（讨论分界线之间无分布载荷的情况） 在分界线上左右两侧无限接近的截面上轴力发生突变；从左向右，外载荷方向向上，则轴力正突变，突变值等于集中载荷的大小（反应到轴力图上为向上突变），反之，相反；在分界线之间轴力不变（反应到轴力图上为水平线）。 二、扭矩与扭矩图的讨论。 以外载荷作用截面作为分界线（讨论分界线之间无分布载荷的情况） 在分界线上左右两侧无限接近的截面上扭矩发生突变；从左向右，外载荷方向向上，则扭矩正突变，突变值等于集中载荷的大小（反应到扭矩图上为向上突变），反之，相反；在分界线之间扭矩不变（反应到扭矩图上为水平线）。

20. 三、剪力、弯矩及其内力图的讨论。 1、集中载荷作用截面内力的特点 集中力作用的左右两侧无限接近的截面上的内力特点： C_截面（从左无限接近C的截面）与C+截面（从右无限接近C的截面）： 结论：集中力左右两侧无限接近的截面上，弯矩相同，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小。在剪力、弯矩图反应出，从左向右，向上的集中力作用截面上，剪力图向上突变（正突变）；反之，相反。弯矩图在该截面发生转折。 集中力偶作用的左右两侧无限接近的截面上的内力特点： F_截面（从左无限接近F的截面）与F+截面（从右无限接近 F 的截面）： 结论：在集中力偶两侧无限接近的截面上，剪力相等，弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。在剪力、弯矩图反应出，从左向右，顺时转向的力偶使弯矩图在该截面向上突变，突变值等于集中力偶矩值；反之，相反。而剪力图不发生变化。

21. 2、分界线之间内力的特点 a、分界线之间无分布载荷，即 q = 0： 剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，如上图的AC、CD、EF、FB段。剪力为正值时，对应段的弯矩图的斜率为正；反之，相反。 b、分解线之间存在均布载荷，即q = C： 剪力图为斜直线，如上图的 DE 段。q 为正值时，对应段的剪力图的斜率为正；反之，相反。 弯矩图为抛物线，如上图的 DE 段。q 为正值时，对应段的弯矩图开口向上；反之，相反。当剪力图与 x 轴存在交点时，该点对应截面上的弯矩有极值。如上图 D 点对应的截面上的剪力、弯矩。 返回第四章目录