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第 七 章 扭 转. § 7 -1 扭转概念和工程实例. § 7 -2 自由扭转杆件的内力计算. § 7 -3 关于切应力的若干重要性质. § 7 -4 圆轴扭转时横截面上的应力. § 7 -5 扭转变形 扭转强度和刚度计算. § 7 -6 圆轴扭转破坏分析. § 7 -7 矩形截面杆的自由扭转. § 7 -1 扭转概念和工程实例. 一、扭转的工程实例. 1 、螺丝刀杆工作时受扭 。. M e. 主动力偶. 阻抗力偶. 2 、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。. 3 、机器中的传动轴工作时受扭。. 二、扭转的概念.
E N D
第七章 扭 转 §7-1扭转概念和工程实例 §7-2 自由扭转杆件的内力计算 §7-3 关于切应力的若干重要性质 §7-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §7-5扭转变形 扭转强度和刚度计算 §7-6 圆轴扭转破坏分析 §7-7 矩形截面杆的自由扭转
§7-1 扭转概念和工程实例 一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 Me 主动力偶 阻抗力偶
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 Me 主动力偶 阻抗力偶 主要发生扭转变形的杆——轴。
右 图 §7-2 自由扭转杆件的内力计算 一、外力偶矩计算 设：轴的转速n 转／分 (r／min) ，其中某一轮传输的功率为： N 千瓦( KW） 实际作用于该轮的外力偶矩m ，则 外力偶矩计算式
m T m m 二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图 1、扭转杆件的内力（截面法） 取左段为研究对象： 取右段为研究对象： m T 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
+ T T - T 2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
m2m3m1m4 n A B C D 3、内力图（扭矩图）： 表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 扭矩图作法：同轴力图： [例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 N1=500kW，从动轮输出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，试绘制扭矩图。
m2m3m1m4 n A B C D n =300r/min，输入 N1=500kW，输出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW 解：①计算外力偶矩 ②求扭矩（扭矩按正方向设）
– 1 2 – 3 T（kN.m） m4 6.37 n x 3 2 1 4.78 9.56 m2m3m1m4 1-1截面： 2 - 2截面： A B C D T1 T3 T2 3 - 3截面： ③绘制扭矩图 BC段为危险截面。
例 试分析图示轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩） 截面法求扭矩 T 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x 曲线）－扭矩图
, r0为平均半径） (壁厚 §7-3关于切应力的若干重要性质 薄壁圆筒轴的扭转 • 一、薄壁圆筒横截面上的应力 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验：
2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。
（2） 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。 4、定性分析横截面上的应力 （1） 因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。 （3） 认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。
da 5、切应力的计算公式： tdA对圆心的矩 → t dAr0 薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
T τ 纵轴 T—— 横轴 τs τp τb 二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 做薄壁圆筒的扭转试验可得 γ
γ τs τp τb τ 剪切虎克定律 在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
dz t' t' dx y t t dy a d O b c x z 2、切应力互等定理 单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 Me Me 自动满足 存在t' 得
dz t' t' dx t' y t d a t dy a d t O b t c c b t' x z 切应力互等定理 在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。
§7-4 圆轴扭转时横截面上的应力 一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验： 2、变形规律： 圆周线—形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
（1） （2） 2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。 4、定性分析横截面上的应力 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
D A D’ 5、切应变的变化规律： 取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
D A D’ 5、切应变的变化规律： D’ 取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 微段扭转变形dj A点处的切应变 a点处的切应变
→ → dj /dx－扭转角变化率 二）物理关系： 弹性范围内 方向垂直于半径。
t → max 扭转切应力分布 t t max max T T t max （实心截面） （空心截面）
T dA 令 代入物理关系式 得： O 三）静力关系： 扭转变形计算式 圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式: 二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — Ip—截面的极惯性矩，单位： 单位： —抗扭截面模量， 整个圆轴上——等直杆： 三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
dr r O d 四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp 实心圆截面：
dr r d D O 四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp 空心圆截面：
dr r d D O 注意：对于空心圆截面
例 AB轴传递的功率为 ，转速 。 如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。 已知 。试计算AC以及CB段的最大切应力。 ， 解：（1）计算外力偶矩、扭矩 由截面法 （2）计算极惯性矩 , AC段和CB段横截面的极惯性矩分别为 （3）计算应力
≤ ≥ ≤ §7-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: 1、强度条件： 等截面圆轴: 2、强度条件应用： 1）校核强度: 2）设计截面尺寸: 3）确定外载荷:
例已知T =1.5 kN.m，[t]=50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与a =0.9的空心圆轴。 解：1. 确定实心圆轴直径 2. 确定空心圆轴内、外径 3. 重量比较 空心轴远比实心轴轻
例R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为d1 =5mm，d2 =4mm，m =3500N. m/m，l=1m，[t] = 50MPa，试校核圆管强度。 解：1. 计算扭矩作扭矩图
例R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为d1 =5mm，d2 =4mm，m =3500N. m/m，l=1m，[t] = 50MPa，试校核圆管强度。 解：1. 计算扭矩作扭矩图 2. 强度校核 危险截面： 截面A 与 B 圆管强度足够
MA 22 MB Ⅰ Ⅱ MC A C B 14 例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t] = 80MPa，试校核该轴的强度。 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 T图（kN·m） AB段 BC段 该轴满足强度条件。
0.62kN•m 1.43kN•m 例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径 分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1＝ 0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60 MPa，G＝8×104MPa，试校核该轴的强度。 解（1）作出扭矩图（见图b） （2）强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同，横截面上的扭矩也不相同，因 此，对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。 阶梯形圆轴
AC 段 BD 段 0.62kN•m 1.43kN•m 例 有一阶梯形圆轴，轴的直径 分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已知T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60MPa，G＝8×104MPa，试校核该轴的强度。 阶梯形圆轴 计算结果表明，轴的强度足够
