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随机变量的数字特征

随机变量的数字特征. 数学期望(均值) ( Mathematical expectation) 方差、协方差 ( Variance.Covariance) 相关系数( correlation coefficient) 矩( moment).

emiko
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随机变量的数字特征

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  1. 随机变量的数字特征 • 数学期望(均值) • (Mathematical expectation) • 方差、协方差 • (Variance.Covariance) • 相关系数(correlation coefficient) • 矩(moment)

  2. 随机变量的概率分布能够完整地描述随机现象的统计特性,然而，在实际问题中,求随机变量的概率分布往往不是一件容易的事情。就某些实际问题而言，通常也没有必要对随机变量进行详细全面的考察，因而，不要求出它的概率分布。只要知道随机变量的某些综合性的指标，以便更集中更突出地描述随机变量，这些量大多是某种平均值。例如检查一批棉花质量时,我们既关心棉花纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离

  3. 程度。平均纤维长度越长，而偏离长度较小，质量就“好”，这里所讲的“平均长度”与“偏离程度”刻划了随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论上和实践上都具有重要的意义，常用的随机变量的数字特征有：数学期望（均值）方差和矩等。程度。平均纤维长度越长，而偏离长度较小，质量就“好”，这里所讲的“平均长度”与“偏离程度”刻划了随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论上和实践上都具有重要的意义，常用的随机变量的数字特征有：数学期望（均值）方差和矩等。

  4. §1 数学期望(Mathematical expectation) 一、引例: 例1:将一枚骰子随机地投掷102次，记录每次出现的点数: x1,x2,……,x102. 其平均出现点数如何求？最合理的结果是什么？ 用X表示投骰子出现的结果，X的分布率为： 平均出现点数= (x1+x2+……+x102）÷102

  5. 乘客数 390 400 410 420 430 440 天数 2 4 7 5 1 1 例2: 为了调整车辆,对某个公共汽车站的乘客数进行了20天的观察,其结果为: 求平均每天乘客数. 解: 20天中,平均每天乘客数为 =(390×2+400×4+410×7+420×5+430×1+440×1)/20 =390×2/20+400×4/20+410×7/20+ 420 ×5/20+ 430×1/20+440×1/20=411 这里2/20，4/20是“乘客数为390人”“乘客数为400人”的频率，若将其视为相应的概率。则可建立如下模型(用X表示日乘客数)：

  6. 1、定义1 设离散型随机变量X的分布律为： X x1 x2 x3………xn… 若当级数 绝对收敛时，称 为随机变量X的 Pk p1 p2 p3 ………pn… 二、数学期望的定义 数学期望，记为E（X），即 E(X)= (1) 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则当积分 绝对收敛时，称此积分的值为随机变量X的数学期望，记为 E（X），即 E（X）= (2)

  7. xi xi+1 解释： E(X)= xi=xi+1-xi f(i)xi为随机变量 X落在区间[xi,xi+1] 中的概率的近似值。 按照离散型随机变量的数学期望的定义 根据定积分的定义，有

  8. 有 =f(x), 所以f(x)dx=dF(x). 于是 • E(X)= • 即数学期望也可以通过分布函数的积分来表示 问题:数学期望E(X)与分布函数F(X)有何关系? 对于连续型随机变量X,在其密度函数f(x)的连续点处

  9. 工人 甲 已 X1 X2 废品数 0 1 2 3 0 1 2 3 概率Pk 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 2、意义： 随机变量X的数学期望E(X)是反映随机变量X取值的“平均状态”这一统计特征的,所以也称它为X的均值. 例3： 甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是： 设两人的日产量相等,问谁的技术更好? 解： E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1 E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9 可见甲平均废品数比乙多10%,因此乙的技术好

  10. 3、已知随机变量的分布,求期望（用定义） 例4： 解： 例5:已知 ，求E（X） 解：

  11. 例6 设随机变量X的概率密度函数为 且E(X)=3/5,试确定常数A与B。 解：由连续型随机变量的概率密度函数的性质可得

  12. 例7 设随机变量X的概率密度函数为f(x),且存在常数c满足对任意x>0,f(c+x)=f(c-x),有E(X)存在，试证：E(X)=c. 证：因为E(X)存在,则

  13. 例8 现有两个独立工作的电子装置,其寿命X1,X2均服从参数为λ的指数分布,试分别就(1)两装置串联成一整机;(2)两装置并联成一整机，求整机寿命的数学期望。

  14. 解：由题设， X1,X2的分布函数为 （1）X=min{X1,X2}它的分布函数为

  15. （2）Y=max{X1,X2}它的分布函数为

  16. 4、重要分布的期望值: 二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 X～Ep(λ) 要求:①能熟练验证; ②熟记结果.

  17. ⑴离散型R.V: X的分布率为：P﹛X=xk﹜=Pk k=1,2… 三、随机变量函数的数学期望: 1 、 已知随机变量X的分布,求其函数Y=g(X)的期望: (3) ⑵连续型R.V: X的概率密度为f(x) (4) 2 、已知随机变量(X,Y)的分布,求函数Z=g(X,Y)的数学期望 （1）离散型R.V （X，Y）的分布律为： (5)

  18. （2）连续型R.V(X，Y)的概率密度为: 则有 (6) 对这六个基本公式要理解并会用

  19. 例9 设风速V在（0，a）上服从均匀分布，又设飞机机翼受的正压力W=k （k>0为常数），求W的数学期望。 解：V的概率密度为 因为W=KV2 ，故有 例10：已知随机变量X的概率密度为 求 的期望

  20. 例11 已知随机变量（X，Y）的概率密度为 ,求E（XY） 解： Y 1 D X 1

  21. 例12 某商品的年需求量是随机变量X（单位:吨),它服从区间[2000,4000]上的均匀分布，设每售出1吨这种商品净得3万元，但售不出去积压于仓库，每吨需花保养费1万元，试确定组织多少货源，才能使收益最大？ 解 设y为组织货源量(2000≤y≤4000),则收益为：

  22. 四、数学期望的性质： （1）设C是常数，则E（C）=C 这里C视为退化的随机变量. (2)设X为一随机变量,C为常数,则有 E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有 E（X+Y）=E（X）+E（Y） (4)若X,Y为两个相互独立的随机变量, 则有 E（XY）=E（X）E（Y） 证：设二维随机变量(X,Y)概率密度函数为f(x,y)

  23. 例14 设二维随机变量(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，试证 E(XY)=E(X)E(Y) 证：因为 所以　　E(XY)=E(X)E(Y)

  24. 所以f(x,y)≠fX(x)fY(y),即X与Y不相互独立。这一例题说明由E(XY)=E(X)E(Y)得不出X与Y相互独立这一结论的。所以f(x,y)≠fX(x)fY(y),即X与Y不相互独立。这一例题说明由E(XY)=E(X)E(Y)得不出X与Y相互独立这一结论的。

  25. 例13：客车载有20位乘客，开出后有10个车站可以下车，每位旅客在各站下车是等可能的且各乘客是否下车是相互独立的。如果在一个站没人下车，则不停，记X为总停车次数，求E（X）.例13：客车载有20位乘客，开出后有10个车站可以下车，每位旅客在各站下车是等可能的且各乘客是否下车是相互独立的。如果在一个站没人下车，则不停，记X为总停车次数，求E（X）. 解法1 ①先求X的分布律； ②再由分布律求E（X）。 X的可能取值为:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 1 2 3 10 思路对头,方法拙笨!!

  26. 解法2 记Xi= “在第i站客车的停车次数”， i=1，2…10。 则有 由期望的性质有 20个人都不从此站下 i=1，2…10。 方法思想：把复杂随机变量X分解为数个简单随机变量Xi之和，再利用性质求期望.

  27. ① E（X）不存在的例子： 五﹑补充说明： 发散 ②若E(X)存在，则是一个确定的实数.

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